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        含較少非線性非忠實不可約特征標的有限冪零群

        2024-01-01 00:00:00李亞利鐘佐琴何滿意
        關鍵詞:子群標的個數(shù)

        摘要:有限群不可約特征標核的性質對群結構有重要的影響.刻畫了非線性非忠實不可約特征標個數(shù)至多為2的有限冪零群的結構.

        關鍵詞:p-群; 冪零群;非線性非忠實不可約特征標;特征標核

        中圖分類號:O 152""" 文獻標志碼:A""" 文章編號:1001-988Ⅹ(2024)05-0125-04

        Finite nilpotent groups with few nonlinear

        non-faithful irreducible characters

        LI Ya-li,ZHONG Zuo-qin,HE Man-yi

        (School of Mathematics and Computer Science,Yunnan Minzu University,Kunming 650500,Yunnan,China)

        Abstract:The properties of irreducible character kernels heavily influence the structure of finite groups.The structure of finite nilpotent groups having at most two nonlinear non-faithful irreducible characters is characterized.

        Key words:p-group;nilpotent group;nonlinear non-faithful irreducible character;character kernel

        設G為有限群,符號Irr(G)和Irr1(G)分別表示群G的不可約特征標和非線性不可約特征標組成的集合,字母p表示某個素數(shù),符號π(G)表示群G的階的素因子集合.

        我們知道,有限群G的任意正規(guī)子群均可以表示為G的某些不可約特征標核的交集,因此探討有限群的不可約特征標核的性質對刻畫群結構有著重要的作用.Berkovich等[1]用符號Kern(G)表示群G的非線性不可約特征標核組成的集合,并且提出了如何刻畫滿足條件|Kern(G)|≤3的群結構的問題,這一問題至今沒有被完全解決.2008年,Qian等[2]對Kern(G)中元素具有包含關系的鏈的有限p-群進行分類.2012年,Doostie等[3]刻畫了|Kern(G)|≤3的有限p-群G的結構.2023年,Li等[4]使用不同于文獻[3]的方法也對|Kern(G)|≤3的有限p-群進行分類,并且對任意有限群G,給出了集合Kern(G)的一些性質.

        從另一個角度講,群G的非線性非忠實不可約特征的數(shù)量影響著集合Kern(G)的階.例如,若群G只含有0個非線性非忠實不可約特征,即群G的非線性不可約特征標均忠實,則Kern(G)={1}.Berkovich等[1]稱滿足Kern(G)={1}的群為J0-群并且給出了J0-群的刻畫.如果群G只有1個非線性非忠實不可約特征標χ,由于群的所有非線性不可約特征標核的交為1,因此Kern(G)={1,kerχ}.2012年,Saeidi[15]考察了只含有1個非線性非忠實不可約特征標的可解群的性質.同理,如果群G只有2個非線性非忠實不可約特征標,則|Kern(G)|≤3.2019年,Li等[6]分類了含有2個非線性非忠實不可約特征標的有限p-群.此外,Chen等[7]證明了只含有2個非線性非忠實不可約特征標χ1,χ2且kerχ1∩kerχ2=1的任意有限群是p-群.文獻[8]考察了含有2個非線性非忠實不可約特征標的不能直積分解的可解群的性質.

        本文繼續(xù)探討含有較少非線性非忠實不可約特征標的有限群的結構,刻畫了非線性非忠實不可約特征標個數(shù)至多為2的有限冪零群的結構.

        1 預備知識

        引理1[9] 群G僅含有一個非線性不可約特征標當且僅當下列條件之一成立:

        (1)G是超特殊2-群;

        (2)G是Frobenius群,其Frobenius補H可換,F(xiàn)robenius核G′是初等可換p-群且|G′|-1=|H|.

        為了方便,本文把只含有1個非線性不可約特征標的有限群稱為Seitz-群.

        引理2[10] 群G只含有兩個非線性不可約特征標當且僅當下列條件之一成立:

        (1)G是超特殊3-群;

        (2)G是Frobenius群,有可換的Frobenius補H及初等可換的Frobenius核N且|N|-1=|H|;

        (3)G是Frobenius群,其中Frobenius核同構于8階四元數(shù)群,F(xiàn)robenius補同構于C3×C3;

        (4)G是冪零類為3的2-群,且G/Z(G)是超特殊2-群,以及|G′|=4,|Z(G)|=2;

        (5)|G|=22n且G/Z(G)初等可換,以及|G′|=2,|Z(G)|=4,其中n為正整數(shù).

        引理3[8] 設群G只含有兩個非線性不可約特征標χ1,χ2,則下列結論成立:

        (1)引理2中結論(1),(2),(5)發(fā)生當且僅當kerχ1=kerχ2=1.特別地,此時結論(5)中的群中心是循環(huán)群.

        (2)引理2中結論(3)發(fā)生當且僅當群G有唯一的忠實非線性不可約特征標,設為kerχ2=1;并且另一個非線性不可約特征標的核kerχ1是Frobenius核.

        (3)引理2中結論(4)發(fā)生當且僅當G有唯一的忠實非線性不可約特征標,設為kerχ2=1;并且另一個非線性不可約特征標的核kerχ1=Z(G).

        (4)引理2中結論(5)發(fā)生且結論(5)中的群中心Z(G)非循環(huán)當且僅當kerχ1和kerχ2是Z(G)的兩個不同的2階子群.

        引理4 設G是p-群,令|Kern(G)|=t,則以下結論成立:

        (1)t=1當且僅當|G′|=p以及Z(G)循環(huán).

        (2)t=2當且僅當下列陳述之一成立:

        (a)G是極大類p4階群;

        (b)|G′|=2,Z(G)C2×C2r(r≥1),且當rgt;1時,有G′≤Φ(Z(G)).

        證明見文獻[3]定理1的結論(1)和(2).

        引理5[6] 設G是p-群,則G只含有2個非線性非忠實不可約特征標當且僅當下列結論之一成立:

        (1)p=2,c(G)=2,G/Z(G)是一個初等可換2-群,且Z(G)C2×C2,|G′|=2;

        (2)p=2,c(G)=3,|G|=25,Z(G)C2或者C4;

        (3)p=3,c(G)=3,|G|=34.

        引理6 有限群G的任意非線性不可約特征標均忠實當且僅當G′是G的唯一極小正規(guī)子群,且下列結論之一成立:

        (1)G是p-群,Z(G)循環(huán),其中p是素數(shù);

        (2)G是Frobenius群;

        (3)G非可解.

        引理7 設可解群G=M×N且M為非可換群.如果群G的非線性非忠實不可約特征標個數(shù)至多為3,那么N可換.

        證明 假設N非可換.令φ和ψ分別是Μ和Ν的非線性不可約特征標,則χ1=φ×1N,χ2=1M×ψ均為G的非線性不可約特征標.顯然地,N≤kerχ1,M≤kerχ2,故χ1,χ2是G的兩個非線性非忠實不可約特征標.注意到1lt;M′lt;M,1lt;N′lt;N因此分別存在M和N的非主線性特征標α和β,使得χ3=φ×β,χ4=α×ψ是G的非線性不可約特征標.顯然,N′≤kerχ3,M′≤kerχ4,故χ3,χ4也是G的兩個非線性非忠實不可約特征標.此外,根據可以分解成直積的可解群的不可約特征標構造知道,χ1,χ2,χ3,χ4是互不相同的特征標.綜上得到,群G至少有4個非線性非忠實不可約特征標,這與已知條件G的非線性非忠實不可約特征標個數(shù)至多為3矛盾,從而N可換." 】

        2 主要結果

        定理1 設G是p-群,s≤2表示群G的非線性非忠實不可約特征標的個數(shù),則下列結論成立:

        (1)s=0當且僅當|G′|=p以及Z(G)循環(huán).

        (2)s=1當且僅當G為16階二面體群或者16階半二面體群或者16階廣義四元數(shù)群.

        (3)s=2當且僅當下列陳述之一成立:

        (a)p=2,c(G)=2,G/Z(G)是一個初等可換2-群,且Z(G)C2×C2,|G′|=2;

        (b)p=2,c(G)=3,|G|=25,且Z(G)C2或者C4;

        (c)p=3,c(G)=3,|G|=34.

        證明 s=0意味著群G的任意非線性不可約特征標均忠實,于是Kern(G)={1},從而根據引理4(1)當且僅當|G′|=p以及Z(G)循環(huán).于是結論(1)得證.

        設s=1,也即群G只有1個非線性非忠實不可約特征標χ.由于任意有限群G的所有非線性不可約特征標的核之交為1,所以Kern(G)={1,ker χ}.注意到1∈Kern(G)意味著群G存在忠實不可約特征標,于是Z(G)循環(huán).故利用引理4(2)得到G是極大類p4階群.此外,由于χ是G/kerχ唯一的非線性不可約特征標,也即G/kerχ是Seitz-群,從而由引理1得到G/kerχ為超特殊2-群,因此p=2.綜上得到G為16階極大類2-群.根據極大類2-群的分類可以知道,G為16階二面體群或者16階半二面體群或者16階廣義四元數(shù)群.反之,通過GAP計算,16階二面體群或者16階半二面體群或者16階廣義四元數(shù)群的特征標表是相同的,如表1所示.

        表1 16階極大類2-群的特征標

        Tab 1The character of 2-groups of maximal class

        with order 16

        元素1a4aa2ajbab

        χ11111111

        χ211111-1-1

        χ311-11-11-1

        χ411-11-1-11

        φ12-2ε+ε-10ε3+ε-300

        φ2220-2000

        φ32-2ε3+ε-30ε+ε-100

        表1中ε=eπi/4且a,b是16階極大類2-群的生成元.當G是16階二面體群或者廣義四元數(shù)群時,表1中字母j=3;當G是16階半二面體群時,表1中字母j=5.從表1中可以看出,上述群類只有唯一的非線性非忠實不可約特征標φ2.綜上,結論(2)得證.

        如果s=2,則利用引理5可以立即得到結論(3)成立." 】

        注1 文獻[11]也討論了s=1的有限p-群的結構,但定理1的證明方法不同于文獻[11].

        定理2 設G是非可換冪零群且|π(G)|≥2,s≤2表示群G的非線性非忠實不可約特征標的個數(shù),則s≠0,并且下列結論成立:

        (1)s=1當且僅當G=M×N,其中M是超特殊2-群,NCp(p≠2).

        (2)s=2當且僅當G=M×N,其中NCp,并且下列結論之一成立:

        (a)M是超特殊3-群;

        (b)M是2-群,M/Z(M)是初等可換群,且M′C2,Z(M)C4.

        證明 s=0意味著冪零群G的所有非線性不可約特征標均忠實,于是由引理6得G是p-群,這與條件|π(G)≥2|矛盾,因此s≠0.

        由于|π(G)≥2|,所以可設G=M×N且(|M|,|N|)=1,不失一般性,令子群M非可換.首先根據引理7知道,子群N可換,于是群G的非線性不可約特征標集合

        Irr1(G)={φ×λ:φ∈Irr1(M),λ∈Irr(N)}.

        如果s=1.任取M的非線性不可約特征標φ,由于N≤ker(φ×1N),因此φ×1N即為群G的唯一非線性非忠實不可約特征標,其中1N是子群N的主特征標,并且φ是子群M的唯一非線性不可約特征標且子群N的任意非主不可約特征標均忠實,于是利用引理1得,子群M是超特殊2-群,且NCp.注意到(|M|,|N|)=1,因此p≠2.

        反之,如果G=M×N,其中M是超特殊2-群,NCp,p≠2.顯然G是非可換冪零群且|π(G)≥2|.由引理1得,超特殊2-群M是Seitz-群,因此M只有1個非線性不可約特征標φ.注意到任意有限群的所有非線性不可約特征標核的交是1,所以kerφ=1.任取N的不可約特征標λ,由于

        (|M|,|N|)=1,故

        ker(φ×λ)=kerφ×kerλ=kerλ.

        注意到NCp,于是N的任意非主不可約特征標均忠實,從而φ×1N為群G的唯一非線性非忠實不可約特征標,故s=1.

        如果s=2.首先斷言M至多只有2個非線性不可約特征標.否則,假設存在φi∈Irr1(M)(i=1,2,3),

        則φi×1N(i=1,2,3)均是群G的非線性不可約特征標且N≤ker(φi×1N)(i=1,2,3),從而群G至少有3個非線性非忠實不可約特征標,這與s=2矛盾.

        其次,斷言M恰含有2個非線性不可約特征標.否則,若M只有1個非線性不可約特征標φ,則M是超特殊2-群.由于s=2并且N可換,于是可令χ1=φ×1N,χ2=φ×α是群G的兩個非線性非忠實不可約特征標,其中α是可換群N的非主不可約特征標.由于kerχ2=kerα≠1,所以|N|≠2.于是存在N的非主不可約特征標β且β≠α,使得φ×β是群G的非線性不可約特征標.注意到s=2,于是ker(φ×β)=kerφ×kerβ=kerβ=1,

        這意味著可換群N存在忠實不可約特征標,從而N是循環(huán)群.同時s=2也說明α是循環(huán)群N的唯一非主非忠實不可約特征標,故N只能是4階循環(huán)群.綜上得到M是超特殊2-群,NC4,這與(|M|,|N|)=1矛盾,從而M恰含有2個非線性不可約特征標.

        不妨設Irr1(M)={φ1,φ2},于是φ1×1N,φ2×1N為G的兩個僅有的非線性非忠實不可約特征標.從而對N的任意非主不可約特征標λ,φi×λ(i=1,2)均是G的忠實不可約特征標.進一步,kerφi=kerλ=1(i=1,2).由于N的任意非主不可約特征標均忠實,從而NCp.注意到M只含有2個非線性不可約特征標且其均是忠實特征標,于是根據引理3(1)且結合M冪零可知,M是超特殊3-群或者M具有引理2中結論(5)的群結構,并且Z(M)循環(huán),也即或者M是2-群,M/Z(M)是初等可換群,且M′C2,Z(M)=C4.

        反之,如果G=M×N,其中NCp,(|M|,|N|)=1,并且M是下列群之一:

        (a)M是超特殊3-群;

        (b)M是2-群,M/Z(M)是初等可換群,且M′C2,Z(M)C4.

        下明證明群G是冪零群且只含有2個非線性非忠實不可約特征標.如果G滿足上述條件,顯然G是非可換冪零群.由引理3(1),

        Irr1(M)={φ1,φ2},kerφi=1(i=1,2).注意到N的任意非主不可約特征標λ均忠實,于是

        ker(φi×λ)=kerφi×kerλ=1(i=1,2),

        因此φ1×1N,φ2×1N為群G的兩個僅有的非線性非忠實不可約特征標,所以s=2." 】

        參考文獻:

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        [4] LI Pu-jin,ZHANG Qin-hai.Finite p-groups with few kernels of nonlinear irreducible characters[J].Front Math China,2023,16:65.

        [5] SAEIDI A.Classification of solvable groups possessing a unique nonlinear non-faithful irreducible character[J].Cent Eur J Math,2014,12(1):79.

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        [8] LI Ya-li.Finite solvable groups with exactly two nonlinear nonfaithful irreducible characters[J].J Algebra Appl,2019,18(5):1950091.

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        [11] IRANMANESH A,SAEIDI A.Finite groups with a unique nonlinear nonfaithful irreducible character[J].Arch Math,2011,47(2):91.

        [12] ISAACS I M.Character Theory of Finite Groups[M].New York:Academic Press,1976.

        [13] The GAP-Groups,Algorithms and Programming[DB].Version 4.8.3(2016), http://www.gap-system.org.

        (責任編輯 馬宇鴻)

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