摘要：引入了τ-π-Rickart模的概念，其中τ=（T，F）表示遺傳撓理論.稱M是τ-π-Rickart模，如果對任意g∈End（M），存在正整數n，使得rM（gn）是M的直和因子.研究了τ-π-Rickart模的性質，討論了τ-π-Rickart模與τ-Rickart模以及π-Rickart模之間的關系，給出了τ-π-Rickart模的子模仍是τ-π-Rickart模的條件，證明了τ-π-Rickart模關于直和因子是封閉的.最后，證明了某些Abel τ-π-Rickart模的類關于有限直和是封閉的.

關鍵詞：相對τ-Rickart模;τ-π-Rickart模;Rickart模;直和因子;τ-Baer模

中圖分類號：O 153.3""" 文獻標志碼：A""" 文章編號：1001-988Ⅹ（2024）05-0129-04

τ-π-Rickart modules

LI Yu-yan1，HE Dong-lin1，WANG Jun-peng2

（1.School of Mathematics and Information Sciences，Longnan Teachers College，Longnan 742500，Gansu，China;

2.College of Economics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，Gansu，China）

Abstract：The concept of τ-π-Rickart module is introduced，where τ=（T，F） denotes a hereditary torsion theory.A module M is called τ-π-Rickart if for any g∈End（M），there exists a positive integer n such that rM（gn） is a direct summand of M.Properties of τ-π-Rickart module and the relationship among τ-π-Rickart modules，τ-Rickart modues as well as π-Rickart modules are investigated，the conditions that submodule of τ-π-Rickart module is τ-π-Rickart are given，it is proved that any direct summand of τ-π-Rickart module is also τ-π-Rickart.Finally，it is shown that the class of some Abelian τ-π-Rickart modules is closed under finitely direct sums.

Key words：relative τ-Rickart module;τ-π-Rickart module;Rickart module;direct summand;τ-Baer module

Rickart模是模范疇理論中的一個重要研究對象，它與Baer模和extending模都有緊密的聯(lián)系，其相關問題是近年來的研究熱點［1-8］.稱M是Rickart模，如果任意g∈End（M）在M中的右零化子rM（g）是M的直和因子.作為Rickart模的推廣，Ungor等［9］引入了π-Rickart模的概念.稱M是π-Rickart模，如果對任意g∈End（M），存在正整數n，使得rM（gn）是M的直和因子.此后，Ungor［10］和Ebrahimi［11］等先后從Goldie撓理論角度研究Rickart模，并提出了t-Rickart模的概念；李煜彥等［12-14］從遺傳撓理論角度引入并研究了τ-Rickart模.受以上文獻的啟發(fā)，本文對τ-Rickart模進行推廣，引入τ-π-Rickart模的概念并研究其性質，討論τ-π-Rickart模與τ-Rickart模以及π-Rickart模之間的關系，給出了τ-π-Rickart模類關于子模以及直和封閉的條件.

1 預備知識

本文中的環(huán)都是有單位元的結合環(huán)，模指酉右R-模，撓理論均指遺傳撓理論.設M是模，令τM（g）={m∈M：gM∈τ（M）}，其中g∈End（M）， τ（M）表示M的所有τ-撓子模的和.由文獻［8］知，

τM={m∈M：（0：M）∈Fτ（R）}.

定義1［9］ 稱M是π-Rickart模，如果對任意g∈End（M），存在正整數n，使得rM（gn）是M的直和因子.

定義2［10］ 稱M是τ-Rickart模，如果對任意g∈End（M）， τM（g）是M的直和因子.

定義3 稱M是τ-π-Rickart模，如果對任意g∈End（M），存在正整數n，使得τM（gn）是M的直和因子.稱R是τ-π-Rickart環(huán)，如果RR是τ-π-Rickart模.

引理1［14］ 設M是模，S=End（M），則以下結論等價：

（1）M是τ-Baer模;

（2）M的包含τ（M）的直和因子具有強SIP性質，且對任意φ∈S，φ-1（τ（M））是M的直和因子;

（3）對S的任意子集Ψ，∩φ∈Ψφ-1（τ（M））是M的直和因子.

（4）M=τ（M）M′，其中M′是（τ-撓自由）Baer模.

2 主要結論

由文獻［7］和［12］可得：τ-π-Rickart模與π-Rickart模、τ-Rickart模以及t-π-Rickart模之間存在下列聯(lián)系.

命題1 設M是模，則

（1）若M是τ-Rickart模，則M是τ-π-Rickart模;

（2）若M是τ-撓自由模，則M是τ-π-Rickart模當且僅當M是π-Rickart模;

（3）若M是非奇異模，則M是t-π-Rickart模當且僅當M是π-Rickart模;

（4）若M是τ-撓自由且非奇異模，則M是τ-π-Rickart模當且僅當M是t-π-Rickart模當且僅當M是π-Rickart模.

下面結論說明τ-π-Rickart模關于直和因子是封閉的.

定理1 設M是模，K是M的直和因子.若M是τ-π-Rickart模，則K是τ-π-Rickart模.

證明 設M=KL，g∈End（K）.令h=g0L，其中0L表示L上的零同態(tài)，則h∈End（M）.由于M是τ-π-Rickart模，故存在e=e2∈End（M）以及正整數n，使得τM（hn）=eM.易知hn=gn0L，且M=eM（1-e）M.因為hn（L）=0，所以L≤eM，故eM=eM∩（KL）=（eM∩K）L=WL，其中W=eM∩K.于是

M=（WL）（1-e）M=PL，

其中P=W（1-e）M.令πK：M→K是自然投射，則πKP：P→K同構.

因此K=πK（W）πK（（1-e）M）.

下證τM（gn）=πK（W）.一方面，設x∈W，則x=πK（x）πL（x）.由于hn（WL）τ（M），故hn（W）τ（M）.于是

hn（x）=hnπK（x）hnπL（x）=hnπK（x）=gnπK（x）∈τ（M）∩K=τ（K），

因此πK（W）τK（gn）.另一方面，設k∈τK（gn）.假設kπK（W），令k=k1+k2，其中k1∈πK（W），0≠k2∈πK（（1-e）M），則存在y∈（1-e）M，使得k2=πK（y），顯然hn（y）τ（M）.因為y=πK（y）πL（y），所以

hn（y）=hnπK（y）hnπL（y）=hnπK（y）=gnπK（y）=gn（k2）τ（M），

因此k2τK（gn）.這與k∈τK（gn）矛盾，于是τM（gn）πK（W）.

從而τK（gn）=πK（W）." 】

推論1 設R是環(huán)，e2=e∈R.若R是τ-π-Rickart環(huán)，則eR是τ-π-Rickart模.

推論2 設R是環(huán)，且R=R1R2.若R是τ-π-Rickart環(huán)，則R1和R2都是τ-π-Rickart模.

推論3 設R是環(huán)，則R是τ-π-Rickart環(huán)當且僅當每個循環(huán)投射R-模是τ-π-Rickart模.

證明 必要性.設M是循環(huán)投射R-模，則存在R的理想I，使得I是R的直和因子，且MI.由于R是τ-π-Rickart環(huán)，故RR是τ-π-Rickart模.由定理1知，I是τ-π-Rickart模，因此M是τ-π-Rickart模.

充分性.顯然." 】

推論4 設R是環(huán)，考慮以下條件：

（1）任意平坦R-模是τ-π-Rickart模;

（2）任意投射R-模是τ-π-Rickart模;

（3）任意自由R模是τ-π-Rickart模.

則（1）（2）（3）.特別地，當任意R-模是有限表示模時，（2）（1）.

證明 由于自由模都是投射的，投射模都是平坦的，以及有限表示平坦模是投射的，故（1）（2）（3）和（2）（1）都是成立的.

（3）（2）.設M是投射R-模，則存在自由R-模F，使得M是F的直和因子.由（3）知，F是τ-π-Rickart模，故由定理1知，M是τ-π-Rickart模." 】

定理2 若M是τ-π-Rickart模，則存在W≤M，使得M=τ（M）W，且W是（τ-撓自由）π-Rickart模.

證明 設M是τ-π-Rickart模，則存在e=e2∈End（M）以及正整數n，使得τM（1nM）=eM，其中1M是M的恒等自同態(tài)，而τM（1nM）=τM（1M）=τ（M），故τ（M）是M的直和因子.于是存在W≤M，使得M=τ（M）W，易知W是τ-撓自由的，由命題1和定理1知，W是π-Rickart模." 】

例1 若R是半單環(huán)，則R是沒有無限非零正交冪等元的環(huán).

例2 若M是Artin?；騈oether模，則自同態(tài)環(huán)End（M）是沒有無限非零正交冪等元的環(huán).

下面結論將說明，在一定的條件下，τ-Baer模、τ-Rickart模、τ-π-Rickart模是等價的.

定理3 設M是模.若End（M）是沒有無限非零正交冪等元的環(huán)，且J（End（M））=0，則以下結論等價：

（1）M是τ-Baer模;

（2）M是τ-Rickart模;

（3）M是τ-π-Rickart模.

證明 （1）（2）（3）顯然.

（3）（1）.設M是τ-π-Rickart模，則由定理2知，M=τ（M）W，且W是（τ-撓自由）π-Rickart模.由文獻［12］知，W是Baer模.因此，由引理1知，M是τ-Baer模." 】

設H≤M，稱H是M的全不變子模，如果對任意h∈End（M），h（H）≤H.稱M是duo模，如果M的任意子模都是全不變的.下面考慮，在什么情況下τ-Rickart模的全不變子模仍是τ-Rickart模.

命題2 設M是模，L是M的全不變子模.若M是τ-π-Rickart模，且L的任意自同態(tài)都可以擴張到M的自同態(tài)，則L是τ-π-Rickart模.

證明 設g∈End（L），則存在h∈End（M），使得hL=g.由于M是τ-π-Rickart模，故存在e=e2∈End（M）以及正整數n，使得τM（hn）=eM.由于L是M的全不變子模，故τL（gn）=τM（hn）∩L=eM∩L=eL.所以L是τ-π-Rickart模." 】

推論5 設M是擬內射模.若E（M）是τ-π-Rickart模，則M是τ-π-Rickart模.

證明 因為M是擬內射的，所以M是E（M）的全不變子模.故由命題2知，結論成立." 】

推論6 設M是擬內射的duo模.若M是τ-π-Rickart模，則M的任意子模是τ-π-Rickart模.

證明 設L≤M，g∈End（L）.因為M是擬內射的duo模，所以存在h∈End（M），使得hN=g.又因為M是τ-π-Rickart模，所以存在e=e2∈End（M）以及正整數n，使得τM（hn）=eM.由于L是M的全不變子模，所以由命題2可知，L是τ-π-Rickart模." 】

命題3 設M是模，g∈End（M）.若存在End（M）的中心冪等元e以及正整數n，使τM（gn）=eM，則τM（gn+1）=eM.

證明 由于τM（gn）=eM，故gn（eM）τ（M）.因為g（τ（M））τ（M），所以gn+1（eM）=g（gn（eM））g（τ（M））τ（M），因此eMτM（gn+1）.另一方面，設x∈τM（gn+1），則gn+1（x）∈τ（M）.于是g（x）∈τM（gn）=eM，故g（x）=eg（x）.由于e是中心冪等元，故gn（x）=gn-1g（x）=gn-1eg（x）=gne（x）∈τ（M），因此x∈τM（gn）=eM，從而τM（gn+1）eM.綜上所述，τM（gn+1）=eM." 】

若環(huán)R的所有冪等元都是中心的，則稱R是Abel環(huán).若模M的自同態(tài)環(huán)End（M）是Abel的，則稱M是Abel模.下面考慮τ-π-Rickart模的有限直和仍是τ-π-Rickart模的情形.

定理4 設M=M1M2，其中Mi（i=1，2）是Abel模.若Mi（i=1，2）是τ-π-Rickart模，且對任意i≠j∈{1，2}，Hom（Mi，Mj）=0，則M是τ-π-Rickart模.

證明 由于Hom（Mi，Mj）=0（i≠j∈{1，2}），故End（M）=End（M1）End（M2）.設g∈End（M），則g=g1g2，其中gi∈End（Mi）（i=1，2）.因為Mi（i=1，2）是τ-π-Rickart模，所以存在ei=e2i∈End（Mi）（i=1，2）以及正整數n1和n2，使得τM1（gn11）=e1M1，τM2（gn22）=e2M2.不失一般性，假設n1≤n2，則由命題3可知，τM1（gn11）=τM1（gn21）=e1M1.令e=e1e2，則e=e2∈End（M），且τM（gn2）=eM.從而M是τ-π-Rickart模." 】

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（責任編輯 馬宇鴻）