摘 要 為解決塑料食品包裝的結構穩(wěn)定性不足問題，本文從力學角度探究包裝結構與受壓力時包裝最大形變之間的關系，對拱形結構進行受力分析，并使用ANSYS有限元分析系統(tǒng)探究施加相同壓力下不同高斯曲率與不同結構的包裝的最大形變，設計出可將最大形變減少12.4%的新型拱形包裝結構，從理論與數(shù)值計算兩個方面驗證了拱形結構對提升包裝結構穩(wěn)定性的可行性。本實驗結果將物理理論與實際應用結合，設計出更穩(wěn)定的食品包裝結構，為包裝快遞行業(yè)提供技術支持與理論參考，以減少因食品過度包裝帶來的環(huán)境污染。

關鍵詞 受力分析;包裝結構;高斯曲率;穩(wěn)定性

固體材料在不同結構形態(tài)下的應力響應不同，了解結構與應力之間的關系，是解決建筑、產(chǎn)品、包裝等領域設計問題的基礎。各種固體和凝聚體材料的結構與應力關系研究，已成為凝聚態(tài)物理的一個重要研究方向。隨著計算機技術的發(fā)展，利用計算方法進行實驗設計與數(shù)值模擬來解決各種復雜結構形態(tài)的應力問題，已成為相關研究的一個核心領域。產(chǎn)品包裝是市場廣闊的應用領域，但目前國內(nèi)外較少從結構、受力等方面研究產(chǎn)品包裝的穩(wěn)定性問題，市面上的塑料包裝產(chǎn)品大部分采用方形或圓柱形設計，結構單一，不能滿足特定的防滲漏、防擠壓等目標要求。新的產(chǎn)品設計應具有特定結構形態(tài)，且以相關材料的結構形態(tài)與應力分析為基礎。本項目利用ANSYS有限元分析系統(tǒng)，對塑料材料的拱形結構在不同結構參數(shù)下的應力響應進行了細致研究與分析，并在此基礎上提出了新的包裝產(chǎn)品設計建議方案。

1 包裝模型的受力分析

1.1 外賣包裝模型的受力分析

本研究中將外賣包裝內(nèi)的液體理想化為靜止液體，分析液體作用在平面上的總壓力大小。已知重力場中靜止壓強分布為（取垂直坐標與重力加速度方向一致）

p =p0 +ρgz （1）

其中，p0 為海平面z=0上的大氣壓強。

柱體容器內(nèi)水面上部壓力分布均勻

p×A =p0×A + ρgz ×A （2）

水面下部壓力為p0，因此由液體產(chǎn)生的力為

Fp = ρgz ×A （3）

即作用在水下受力斜面A 上的靜水作用力等于以該面積為底面，以該面積面心的深度為高的柱體中的水重，方向垂直于斜面。

對截面為如圖1所示倒圓臺形的容器，容器形心位置為

對斜面，總壓力的作用點為

其中，yc 為平面形心的y 坐標，Icx 為面積對通過形心且平行于ox 軸的軸線的慣性矩。由式（5）可知，壓力的中心總位于形心的下方，隨著淹沒深度的增加，壓力中心逐漸靠近形心。本實驗中假設液體盛滿整個容器，其壓力中心即為形心，在分析容器受力時，僅需分析形心位置受力即可。

1.2 塑料包裝容器結構設計

設計塑料包裝容器時，應保證其力學性能、強度性能、密封性能與穩(wěn)定性測試均達到合格標準。傳統(tǒng)包裝結構的側面是曲率為0的斜面結構，斜面結構較易變形，穩(wěn)定性較差。

拱形結構的力學特點是能夠承載較大的壓力。拱的結構由拱券及支座組成，在荷載作用下主要承受軸向壓力，有時也承受彎矩。拱的性質(zhì)使應力可以較為均勻地分布，避免集中在中央導致中央形變過大（見圖2）。在受壓狀態(tài)下能把受到的壓力分解為向下的壓力和向外的推力，受力點將力傳遞給相鄰的區(qū)域，外力沿瓶身曲面分散開，使拱形的每個部位都分擔一部分力，能有效起到抗擠壓的作用。

2 模型設計

本文使用ANSYS有限元軟件來建模和模擬計算。在模型設計中，考慮網(wǎng)格劃分與曲率改變的難易程度，采用正六面體（見圖3）模型近似模擬塑料包裝的圓柱體結構，當立方體的邊的數(shù)目足夠多時，可認為立方體趨近于平滑圓柱體，使用正六面體進行靜力學結構受力的有限元分析有理論依據(jù)與可操作性。在改變模型結構時，調(diào)整正六面體每個面的高斯曲率并施加壓力，通過觀察正六面體模型的最大形變來探究包裝設計的拱形結構對應力的響應，驗證拱形結構對穩(wěn)定性的改進情況。

3 研究結果與討論

通過市場調(diào)研，將有限元分析系統(tǒng)中，正六面體模型的材料設置為市面上塑料餐盒常用的材料，即塑性PP材料，查閱市場資料，得到材料各參數(shù)如表1所示。

采用高為0.02m，底邊邊長為0.01m 的PP材料的平行六面體作為包裝模型，建立坐標系，坐標系中心位于包裝底面正六面體中心位置，z 軸指向包裝頂面。僅考慮彈性形變，設包裝材料均勻。在有限元分析中，改變包裝模型受到的壓力，施力點位于包裝頂部中心位置，壓力方向豎直向下，即沿-z 軸方向，改變壓力的數(shù)值大小?？紤]到塑料包裝的塑性形變更易發(fā)生在最大形變處，以不同壓力下包裝模型的最大形變?yōu)闃藴?，判斷包裝的穩(wěn)定性。將模型進行網(wǎng)格劃分后，將模型底面設置為固定支撐，設模型受到的標準重力加速度為9.8066m/s2，進行靜力學分析。

3.1 包裝側面曲率為0時

改變包裝受到的壓力，探究不同壓力下包裝的最大形變情況如圖4所示。

圖4說明，僅考慮彈性形變，包裝側面曲率為0時，包裝的最大形變與受到的壓力正相關，最大形變與壓力關系的直線擬合曲線的比例系數(shù)為0.2984，當壓力增加1N時，最大形變增加0.2984×10-7m。

3.2 改變包裝側面為高斯曲率時

在有限元分析中采用高斯曲率作為曲率的度量，在微分幾何中，曲面上一點的高斯曲率即該點主曲率κ1 與κ2 的乘積。高斯曲率的值僅依賴于曲面上的距離如何測量，更能反映曲面在兩個方向上的彎曲情況。分別對包裝模型的頂部相同位置施加不同大小的壓力，記錄改變包裝側面曲率（如圖5所示）時，相同壓力下包裝的最大形變的變化。

由圖6可知，高斯曲率越大，相同壓力下的包裝的最大形變越小，包裝的最大形變隨壓力線性變化?？刂颇Ｐ褪艿降膲毫Υ笮∨c壓力的受力點不變，改變模型側面的高斯曲率。當壓力為4N時，研究不同曲率包裝模型的最大形變變化。

如圖7所示，對數(shù)據(jù)進行對數(shù)函數(shù)擬合后發(fā)現(xiàn)，增加包裝側面的高斯曲率可以減小相同壓力下包裝的最大形變，提升包裝的穩(wěn)定性。壓力為4N，當側面高斯曲率為0.11/mm2 時，包裝的側面最大形變減少了10%，當側面高斯曲率為0.21/mm2 時，包裝側面最大形變減少了11.5%。由數(shù)據(jù)擬合發(fā)現(xiàn)，包裝側面的高斯曲率與受到壓力下包裝最大形變的關系呈對數(shù)關系，即隨著包裝側面的高斯曲率的增加，最大形變的減小速度變慢，且高斯曲率越大，包裝的開模難度越大，因此不能通過一直增加包裝的高斯曲率提升包裝的穩(wěn)定性。

3.3 側面兩個方向的曲率的配合

當僅改變包裝的每個面的高斯曲率時，包裝的穩(wěn)定性提升有限，隨著每個面的高斯曲率的增加，包裝的開模難度增大，為了進一步提升包裝的穩(wěn)定性，結合拱形結構的優(yōu)勢，在已有的曲率下增加小面積的大曲率部分作為包裝加強筋。經(jīng)過圖7分析，認為在包裝曲率為0.21/mm2 時，包裝的最大形變較小，且開模難度較小，因此以該曲率模型為基礎，增加小面積的曲率，分析模型受到壓力時的最大形變。

在原有曲率上進一步改變曲率部分面積的曲率，得到結果如表2所示。當小面積拱形曲率為0.221/mm2 時，同一壓力下模型的最大形變相較單一拱形模型減小了1.03%。且在已有拱形上增加拱形結構時，后加的拱形結構的高斯曲率的大小對減小包裝最大形變的影響不大。

綜合以上有限元分析結果可知，將塑料包裝的側面結構改為有曲率的拱形結構可以有效減少受到壓力時的包裝最大形變，從而提升模型的穩(wěn)定性，在拱形結構的基礎上增加進一步的拱形結構可以進一步提升模型的穩(wěn)定性，但效果不大。

4 模型設計

使用3D建模軟件Rhino犀牛，將通過理論分析設計的外賣包裝模型可視化，得到的模型結構圖如圖8所示。將側面改進為拱形結構，為了提升模型的穩(wěn)定性，進一步將模型的底面進行改進，使用了較為穩(wěn)定的花瓣形結構作為包裝底部。

設計的模型在主體上采用碗身加蓋的結構。其中模型側壁采用對稱的拱形設計，整個包裝的拱形結構高斯曲率為0.21/mm2，凸起部分高斯曲率為0.221/mm2，經(jīng)過有限元分析，該結構可將最大形變減少12.4%。為了保證包裝的穩(wěn)定88性，底部采用花瓣形結構，通過凹陷設計和拉長筋的結構把容器內(nèi)的壓力在容器底部均衡分散。為方便運輸，模型頂部為加裝有把手的蓋子，其中蓋子底部設計有簡單的螺紋，更好地增加了外賣盒的密閉性。蓋子上加裝的簡易把手能夠使得外賣包裝在運輸過程中更加便于攜帶，減少塑料袋在運輸過程中的使用。盒子的四壁與盒子的底部轉折處設計成了大曲率半徑過度，防止因轉折處半徑過小而使得吹塑厚度不足與應力集中導致容器受擠壓與跌落時的凹陷與破裂。

5 結論

本項目為北京師范大學珠海校區(qū)2022年大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃校級推選優(yōu)秀項目（已答辯結項）。本文關注日常生活中常使用的塑料食品包裝的結構穩(wěn)定性問題，利用ANSYS有限元分析系統(tǒng)對塑料包裝模型進行了結構改進，探究了不同曲率下包裝受到壓力后的最大形變的變化。通過有限元分析得出拱形結構可以提升包裝的穩(wěn)定性，隨著高斯曲率的增大，包裝的最大形變減小。本文創(chuàng)新性地在單一拱形結構的基礎上進一步增加小面積的大曲率拱形結構，經(jīng)過有限元分析發(fā)現(xiàn)該結構對提升包裝穩(wěn)定性有一定效果，且在實際生產(chǎn)過程中開模難度較小，最終得到當包裝的拱形結構高斯曲率為0.21/mm2，凸起部分高斯曲率為0.221/mm2 時，可將最大形變減少12.4%，從結構上提升了塑料食品包裝的穩(wěn)定性，從源頭上減少因包裝穩(wěn)定性不足導致的過度包裝以提升穩(wěn)定性造成的環(huán)境污染。改進的拱形塑料包裝有助于節(jié)省塑料包裝的原料，減少塑料污染。

本項目利用ANSYS有限元分析系統(tǒng)，對塑料材料的拱形結構在不同結構參數(shù)下的應力響應進行了細致研究與分析，將物理理論與實際應用結合，改進的塑料包裝為包裝快遞行業(yè)提供技術支持與理論參考，減少食品過度包裝帶來的環(huán)境污染，提升人民生活質(zhì)量。

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基金項目： 北京師范大學校級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目（X202119027057）。