摘 要 牛頓三定律是大家都熟悉的基礎(chǔ)的物理學(xué)定律，但是為什么一定是三個定律卻并不一定被理解。我們在該文中提供一種理解三定律完整性的有趣解釋。牛頓定律的一個基礎(chǔ)概念為力，但是與牛頓定律本身不同的是，力在非慣性系中和在慣性系中理解沒有什么差別。慣性力是一個例外，它只存在于非慣性系中，沒有施力者和反作用，因此被當(dāng)作是一種虛構(gòu)的力。在這篇文章中，我們研究了時空如何施加了慣性力并受到相應(yīng)的反作用，因此慣性力可以被當(dāng)作是真實的力，這為超出牛頓力學(xué)的框架（即牛頓的絕對時空觀）理解力提供一種途徑。

關(guān)鍵詞 牛頓定律，慣性力，倫德勒時空，反作用力

牛頓三大定律是大家對于物理學(xué)的啟蒙定律。眾所周知，其成立的前提必須是在慣性系中。所謂慣性系就是指選取處于靜止或勻速直線運動狀態(tài)下的物體為參考物而建立的參考系。這其中包含了一個關(guān)鍵的概念，即作為物質(zhì)運動基本屬性的慣性?！皯T性”一詞的出現(xiàn)最早可追溯到伽利略1632年出版的《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大實際體系對話》一書中，但慣性究竟是什么，一直都是一個很難準確理解的事情。例如，與慣性或運動改變緊密相關(guān)的物理量是物體的質(zhì)量，一般把這種質(zhì)量叫慣性質(zhì)量，但是慣性質(zhì)量的物理本質(zhì)還不十分清楚，它是不是一定等于物體的引力質(zhì)量目前實驗還在不斷檢驗中。費曼曾經(jīng)在一次訪談上通過慣性的例子來解釋知道與理解的區(qū)別：“那是個神秘的現(xiàn)象，沒有人知道為什么。普遍的原理是，運動中的動物體會有保持運動的趨勢，靜止的物體會有保持靜止的趨勢。科學(xué)家們把這叫作慣性，但事實上，沒有人知道為什么有慣性，這只是一個稱呼?！盵1]

既然有慣性系，那就對應(yīng)的有非慣性系。牛頓三定律一般被認為在非慣性系里面是不成立的，但是巧妙的是，只要在非慣性系中引入所謂的慣性力，牛頓運動定律或者至少牛頓第二定律也可以在此非慣性系下解決運動學(xué)問題，而結(jié)果保持和實際情況一致。慣性力和慣性原則上沒有直接的關(guān)系，但是慣性力的使用卻使得慣性系中成立的牛頓運動定律在非慣性系中仍然成立（至少形式上成立）。這為“慣性力”蒙上了一層神秘的面紗，特別是一般的力學(xué)教科書上都認為，慣性力不是真正意義上的力，是虛構(gòu)的力。這個在教學(xué)或?qū)嵺`中對理解力學(xué)定律常常造成一定的困難，即為什么用虛構(gòu)的力可以正確地處理一些運動學(xué)問題？ 之所以說慣性力是虛構(gòu)的力，大體上的解釋都是雖然它具有真實力的效果，但是卻不滿足力存在的條件，也無法確定其反作用力。實際上這是牛頓絕對時空觀下的理解，如果用相對論的觀點，可以獲得一個完全不一樣的解釋。本文的主要目的一方面是對牛頓三定律的邏輯完整性提供一種有趣的解說，另一方面是希望突破牛頓絕對時空觀來重新理解慣性力，為力學(xué)及理論力學(xué)教學(xué)中提供能夠激發(fā)學(xué)生興趣和探索欲的一個案例。

1 什么是真實的力

牛頓運動定律在初中物理中就開始介紹，后來高中物理、大學(xué)物理會再次介紹。如果是物理專業(yè)的話，理論力學(xué)中也會再次介紹。但是我們在平時的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)即使是物理專業(yè)的學(xué)生對牛頓三定律的理解也沒有形成一個有機的整體。經(jīng)過思考，我們將牛頓三定律和語文學(xué)習(xí)中記敘文的寫法，即事件的起因、經(jīng)過和結(jié)果聯(lián)系起來，可以有機地把牛頓三定律整合起來理解。

牛頓三定律敘述如下[2-4]：

牛頓第一定律：任何物體（質(zhì)點）如果沒有受到其他物體的作用，都將保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。

牛頓第二定律：當(dāng)一物體（質(zhì)點）受到外力作用時，該物體所獲得的加速度和外力成正比，和物體本身的質(zhì)量成反比。

牛頓第三定律：當(dāng)一物體對另一物體有作用力時，另一物體也會同時對該物體產(chǎn)生反作用力，作用力和反作用力大小相等，方向相反。

實際上我們要考慮的事件是“運動狀態(tài)的改變”，而這個事情發(fā)生的原因就是因為定義了一個類似基準的運動狀態(tài)，即靜止或勻速直線運動狀態(tài)。只有這種情況下，才能說運動狀態(tài)沒有發(fā)生變化，而其條件就是物體沒有受到任何的外部作用力。正是因為有了不變的運動狀態(tài)（這個即是牛頓第一定律的內(nèi)容），人們才會考慮怎么改變運動狀態(tài)，而運動狀態(tài)改變的過程就是牛頓第二定律所敘述的內(nèi)容，即運動狀態(tài)的改變需要物體受到外力作用，而運動狀態(tài)改變的程度則由加速度的大小來衡量。一般情況下，事情既然發(fā)生了（物體運動狀態(tài)被改變），就一定會導(dǎo)致一定的后果，這個后果就是反作用力。也就是說，有外部作用想要改變物體的運動狀態(tài)，而所謂的外部既然想要做這個事，那就要承擔(dān)做這個事的后果，后果就是外部施力的物體會受到大小相等，方向相反的反作用力。這樣，我們就通過描述一個特定事件的起因、經(jīng)過和結(jié)果，從一個便于理解的角度說明了牛頓三定律的內(nèi)在依存邏輯，也更方便于理解牛頓三定律的內(nèi)容，的確是缺一不可，而且是完整的。

以上對牛頓三定律的解釋雖然便于理解，但是實際上沒有增加內(nèi)容。其實牛頓三定律中一個看似簡單，但是其實不簡單的概念，就是力。首先我們要問什么是力，這是個不好回答的問題。一般字面上說，力就是物體之間的相互作用。這個解釋實際上沒有任何用處，而從牛頓三定律中提取的關(guān)于力的理解又有循環(huán)的味道，即可以說導(dǎo)致物體運動狀態(tài)發(fā)生改變的作用就叫力，但是我們描述運動狀態(tài)改變的時候也需要力的概念。這個就導(dǎo)致“物體運動狀態(tài)改變”和“力”兩個概念處于類似先有雞還是先有蛋的尷尬境地。雖然可以脫離力的概念，專門描述物體運動，即物體的位置、速度、加速度等，但是要想給物體運動狀態(tài)有一個較為明確的說法，還是不能脫離力。這個可以從牛頓第一定律看出，即要想定義一個不變的運動狀態(tài)，必須知道什么是不受外力作用。

牛頓三定律只在慣性系中成立，但是慣性系的建立需要能夠定義靜止或勻速直線運動狀態(tài)，因此，還是脫離不了對力的理解。此外，還有一個理解上有些模糊的地方，即牛頓三定律只在慣性系中成立，但是力可以脫離慣性系，即使在非慣性系里面也沒有任何理解上的差別。但是，要想讓牛頓定律也能在非慣性系下使用，就必須添加一個虛構(gòu)的力，即所謂的慣性力。為了明白為什么說慣性力是虛假的力，我們首先說明在牛頓力學(xué)框架下什么是真實的力。真實的力要滿足以下三個條件：

（1） 要有受力的物體;

（2） 要有施力的物體;

（3） 要能產(chǎn)生反作用力。

這三個要素缺一不可。從這三個條件來看，慣性力不滿足后兩個，因此不是真實的力。這個也是目前許多力學(xué)或理論力學(xué)教科書上的解釋，在牛頓力學(xué)框架下也沒有什么問題。實際上，我們只要稍稍突破一下牛頓力學(xué)的框架，將時空也歸在物質(zhì)的范圍[5]以內(nèi)，就可以使慣性力也滿足以上三個條件。

2 慣性力

什么是慣性力？ 首先我們需要知道慣性力只存在于非慣性參考系中[2，3]。舉一個生活中的常見例子來說明非慣性力。假設(shè)有兩個觀測者，其中一位A 處于一輛即將行駛的火車上，在A 面前懸掛了一個小球;另一位B 在火車對面的站臺上。此時觀測者A 和B 觀察小球，都會看到小球豎直向下，垂直于地面。當(dāng)火車以勻加速a 開始行駛后，在站臺上的B 觀察小球會發(fā)現(xiàn)小球仍然是豎直向下。因為B 處于慣性參考系中，所以觀察不到慣性力，特別是其動力學(xué)分析中不需要慣性力?；疖嚿系腁 觀察小球會發(fā)現(xiàn)小球開始運動，最終懸線與豎直方向成一定夾角后處于靜止?fàn)顟B(tài)。因為此時小球相對A 靜止，因此A 會認為小球受力平衡，而受力平衡會要求小球受一個水平方向的力，這個力就是慣性力。對處于勻加速參考系中的觀測者A 而言，雖然引入慣性力可以使小球達到力學(xué)平衡，但是沒有發(fā)現(xiàn)施力者，也不知道該力的反作用效果，因此慣性力被定義為虛構(gòu)的力。它的方向與加速度方向相反，大小等于小球質(zhì)量乘以加速度，單位是牛頓。

從上一節(jié)的分析我們可以看出來，在牛頓力學(xué)的框架下，一些概念，例如“力”“慣性系”“物體運動狀態(tài)”等的定義是存在邏輯循環(huán)的。為了打破這個邏輯循環(huán)，就必須能預(yù)先定義出來一個概念。牛頓是個非常聰明的天才，他使用著名的水桶實驗說明運動是絕對的，一定存在一個優(yōu)越的參考系可以作為慣性系。進一步地，牛頓也使用水桶實驗驗證他的絕對時空觀。這樣一來，整個的牛頓力學(xué)就有了很好的邏輯順序，不同概念之間的關(guān)系也就基本理通了。但是對于概念本身，其實也還是有一些問題，例如“力”。特別是慣性力，既然可以解決實際的問題，那為什么又得說是虛構(gòu)的呢？

1883年，奧地利的科學(xué)家馬赫在其出版的《力學(xué)及其發(fā)展的批判歷史概論》中否認了牛頓的絕對時空觀，他提出一個孤立物體的慣性是沒有意義的;物體的運動不是絕對空間中的絕對運動，而是相對于宇宙中其他物質(zhì)的相對運動，因而不僅速度是相對的，加速度也是相對的;在非慣性系中物體所受的慣性力不是“虛構(gòu)的”，而是一種引力的表現(xiàn)，是由宇宙中質(zhì)量的分布決定的;是宇宙中其他物質(zhì)對該物體的總作用，物體的慣性不是物體自身的屬性，而是宇宙中其他物質(zhì)作用的結(jié)果。但馬赫原理在實驗中卻沒有得到很好的證明。之后愛因斯坦在馬赫的觀點中受到啟發(fā)，提出了完整的相對論體系證明了沒有絕對的時間和空間。在廣義相對論背景下，愛因斯坦運用等效原理，即自由下落的電梯可以抵消電梯里的重力場，電梯內(nèi)的觀察者無法斷定電梯是靜止于太空中還是在重力場中自由下落，證明慣性力等價于萬有引力，慣性質(zhì)量等價于引力質(zhì)量，并用升降機說明兩者是不能區(qū)分的[5]。雖然間接證明了慣性力真實存在，但是我們在這里給一種直觀的解釋使得慣性力能夠符合真實力的三個條件。

仍以勻加速行駛的火車上懸掛的小球為例，此小球自然是慣性力施加的對象，而慣性力的施力者則是時空本身，而力的反作用效果就是使時空發(fā)生變化，即由原來的平直時空變?yōu)閭惖吕眨≧indler）時空[6]。這個解釋從廣義相對論的角度看不是那么準確，但是卻很形象，特別是能夠和真實力的條件結(jié)合起來，容易接受和理解。下一部分我們介紹一下倫德勒時空是如何施加慣性力的。

3 倫德勒時空

在牛頓力學(xué)框架下，描述粒子運動一般默認在平直時空下，也就是在歐幾里得空間中，并同時默認該空間中各處的時鐘已經(jīng)對準并且走時率一樣，這樣空間和時間在物體運動過程中都不會發(fā)生變化了?，F(xiàn)在我們將空間和時間置于同等地位來描述，引入閔可夫斯基時空的度規(guī)

ds2 =-dX02 +dX12 +dX22 +dX32 （1）

這里取真空中光速c=1，因此X0 為閔可夫斯基時間，即X0=T 。

考慮一個勻加速觀測者，容易得到其在時空中的運動軌跡為雙曲線[7，8]。而加速的觀測者看到的時空實際上是倫德勒時空。取倫德勒時空的坐標(biāo)為（x0，x1，x2，x3），其中x0 為時間，令x0=t。倫德勒時空坐標(biāo)和閔可夫斯基時空坐標(biāo)之間存在相應(yīng)的變換公式為[9]

T =x1sinh At ， X1=x1cosh At ，X2 =x2，X3 =x3 （2）

代入閔可夫斯基度規(guī)得到倫德勒時空度規(guī)為

ds2 =-（ax1）2dx02 +dx12 +dx22 +dx32（3）

其中，a 為觀測者的適當(dāng)加速度。現(xiàn)在我們可以重新考察勻加速直線運動的火車上的觀測者的問題了，他和慣性觀測者的差別在于時空的不同。慣性觀測者是在閔可夫斯基時空中看小球運動的，而火車上的觀測者是在倫德勒時空中看小球運動的。這兩個時空有一個明顯的差別就是倫德勒時空存在視界（就是加速觀測者可以觀測到的邊界）[9]。除此之外，真空中加速的觀測者也會觀察到一些有趣的現(xiàn)象，例如會看到熱現(xiàn)象和糾纏變化，感興趣的可以參看綜述文獻[9]和我們的一些工作[10-12]，這里不再詳述。那么火車上的觀測者看到的慣性力是不是由于這個時空的差別引起的，如果是的話，我們就可以解釋慣性力也可以是真實的力。

為了方便計算我們只保留與a 同向的空間維度x1，和觀測者的時間維度t，令x1=x，可以將倫德勒時空的度規(guī)表示為

ds2=- ax 2dt2+dx2 （4）

其中，度規(guī)g00=- ax 2，g11=1。下面我們在該時空中計算粒子的測地線方程。

根據(jù)相對論， 粒子在彎曲時空運動的測地線所滿足如下方程[7，8]

這樣，倫德勒時空提供了加速參考系中粒子運動需要的慣性力，即-ma。以上的計算在相對論的意義下是不難理解的?，F(xiàn)在我們根據(jù)這個計算和之前我們列出的真實的力的三個條件可以重新解釋慣性力。仍以勻加速直線運動的火車上的小球為例，小球即為慣性力的受力者，因此懸線和豎直方向有一個夾角;而慣性力的施力者可以認為是時空;正是因為時空施加了慣性力，所以受到反作用，從閔可夫斯基時空變成了倫德勒時空。這個解釋至少在講述力學(xué)時可以為理解慣性力增加一些興趣，同時也為合理理解力提供了一種途徑，因為雖然牛頓的三定律要求其本身在慣性系中成立，但是力的概念可以超出慣性系來使用。

4 結(jié)論

本文重新分析了牛頓三定律的內(nèi)在聯(lián)系，并通過一種記敘文常用的事情的起因、經(jīng)過和結(jié)果來對三定律進行重新理解。當(dāng)然不是對內(nèi)容本身進行理解，而是對牛頓三定律之間的關(guān)系進行理解，可以較為容易地明白牛頓三定律是邏輯完整的，缺一不可。雖然大家都知道牛頓三定律是在慣性系中才成立的，但是一些基礎(chǔ)的概念仍然存在邏輯循環(huán)的缺陷，因此牛頓假設(shè)自然界存在絕對的靜止系來優(yōu)先定義慣性系，這樣整個牛頓力學(xué)的框架至少在邏輯上就是通順的（邏輯通順并不代表其基礎(chǔ)就是完全正確的）。但是其中仍然存在一個問題，即對力的理解。因為力不依賴于慣性系，在非慣性系中也是一樣的。那么對真實的力的理解是不是也可以突破慣性系，或者準確說是突破牛頓力學(xué)框架。我們以此為出發(fā)點，研究了非慣性系中的慣性力，發(fā)現(xiàn)只要突破牛頓的絕對時空觀，將時空也考慮進來，那么就可以為慣性力找到施力者和其反作用力的效果，從而將慣性力也歸為真實的力，那么牛頓力學(xué)也可以在非慣性系中成立。對于轉(zhuǎn)動的參考系[10，11]中出現(xiàn)的附加力，也可以做類似的理解，但是需要強調(diào)的是，這些理解對于準確地把握牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)是非常有意義的，但是從科學(xué)的準確性上來說，還是需要進入相對論的框架來理解。事物總是有兩面性，因為學(xué)習(xí)牛頓力學(xué)的時候，還沒有接觸到相對論，因此我們提供的理解可以一方面幫助初學(xué)者明白牛頓力學(xué)基礎(chǔ)的缺陷，另一方面能激發(fā)進一步學(xué)習(xí)相對論的興趣。

參 考 文 獻

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基金項目： 本課題得到國家自然科學(xué)基金（No.12375057）及中央高校基本科研業(yè)務(wù)費（No.G1323523064）資助。