例題：已知函數(shù)f（x）=2 sin x+sin 2x，求f（x）的最小值.

問題中給出的條件較少，且較為簡(jiǎn)單，事實(shí)上本題的難度不小.仔細(xì)觀察函數(shù)式，可發(fā)現(xiàn)函數(shù)式中含有角x以及2x，要求函數(shù)f（x）的最小值，需利用三角函數(shù)中的基本公式將函數(shù)式化簡(jiǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)法、基本不等式求最值.

一、導(dǎo)數(shù)法

導(dǎo)數(shù)法是求解函數(shù)最值問題的重要工具.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解題，需先對(duì)化簡(jiǎn)后的函數(shù)式求導(dǎo)；然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；再根據(jù)極值的定義確定函數(shù)的極值；最后將極值與定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值相比較，即可得到函數(shù)的最值.

解法1.由題意可知，函數(shù)f（x）=2 sin x+sin 2x的最小正周期為2π，所以只需要考慮[0，2π]內(nèi)函數(shù)的最小值即可.

當(dāng)x=π時(shí)，f（x）=0；

當(dāng)x≠π時(shí)，f′（x）=2 cos x+2 cos 2x=2（2 cos x-1）·（cos x+1），

令f′（x）=0，可得x==，

所以當(dāng)x∈（（0，時(shí)，f′（x）gt;0；當(dāng)x∈，時(shí)，f′（x）lt;0；當(dāng)x∈，2π） 時(shí)，f′（x）gt;0，

則函數(shù)f（x）在（（0，和，2π） 上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減.所以x=是函數(shù)的f（x）極

小值點(diǎn)，

而f（0）=0，f（2π）=0，

f=2 sin+sin（（2×=-，

所以函數(shù)f（x）的最小值是-.

對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為0求得零點(diǎn)，便可用零點(diǎn)將函數(shù)的定義域劃分為幾個(gè)子區(qū)間，再分別在子區(qū)間（（0，、，、，2π） 上討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)，求得極小值.

二、利用基本不等式

在求三角函數(shù)的最值時(shí)，經(jīng)常要用到基本不等式：a+b≥2（a，b∈R*）.先利用二倍角公式、輔助角公式、兩角和差公式等將函數(shù)式化為只含有一種函數(shù)名稱、一個(gè)角的三角函數(shù)式；然后通過湊系數(shù)、添項(xiàng)、去項(xiàng)、“1”的代換等方式，配湊出幾個(gè)式子的和或者積，并使其中之一為定值，即可運(yùn)用基本不等式求得函數(shù)式的最值.最后需檢驗(yàn)等號(hào)成立時(shí)x的值是否在定義域內(nèi).

解法2.由于f（-x）=2 sin（-x）+sin（-2x）=-2 sin x-sin 2x=-f（x），

所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，

因?yàn)閒（x）=2 sin x+2 sin x cos x=2 sin x（1+cos x），則f2（x）=4 sin2x（1+cos x）2=（3-3 cos x）（1+cos x）3

≤4（3-3 cos x+1+cos x+1+cos x+1+cos x）4

3（4）

=×4=，可得|f′（x）|≤，

當(dāng)且僅當(dāng)3-3 cos x=1+cos x時(shí)等號(hào)成立，

即當(dāng)cos x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最值±，

可知f（x）的最小值是-.

將函數(shù)式平方后，先運(yùn)用誘導(dǎo)公式和二倍角公式，將其化為四式的積（3-3 cos x）（1+cos x）3，而其和為定值；然后根據(jù)基本不等式的變形式：a1+a2+…+an≥n n（當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)等號(hào)成立），求得f2（x）的最值.

解法3.f（x）=2 sin x+2 sin x cos x=2 sin x（1+cos x）=8 sin cos3，

則f2（x）=64×（（sin cos3 2=×3 sin2 cos2 cos2 cos2≤×（||（3 sin2+cos2 4+cos2+cos2 4=，

所以y≥-，當(dāng)且僅當(dāng)3 sin2=cos2，即tan=-時(shí)等號(hào)成立，所以f（x）的最小值是-.

該解法與解法2大致相同，區(qū)別在于運(yùn)用二倍角公式和誘導(dǎo)公式，將f2（x）化為四個(gè)式子sin2、cos2、cos2、cos2的積，再運(yùn)用基本不等式的變形式求最值.

導(dǎo)數(shù)法、基本不等式法都是解答函數(shù)最值問題的方法，同樣也適用于求解三角函數(shù)最值問題.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，要學(xué)會(huì)展開聯(lián)想，從其他知識(shí)板塊中尋找到解題的思路，這樣便能拓寬解題的思路，找到更多的解題方案.

（作者單位：江西省贛州中學(xué)）