平面向量數(shù)量積問題的難度往往不大.這類問題 側(cè)重于考查同學(xué)們對(duì)數(shù)量積 a?b = |a| | | | | b ? cos θ（其中 θ 為向量 a與b 的夾角）的掌握程度.此類問題常與解三 角形、圓錐曲線、三角函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合.下面結(jié)合幾 道例題，來介紹一下平面向量數(shù)量積問題的三種解法.

一、坐標(biāo)法

運(yùn)用坐標(biāo)法求解平面向量數(shù)量積問題，需先根據(jù)題目條件以及幾何圖形的特點(diǎn)來建立合適的平面直角坐標(biāo)系；再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則和性質(zhì)，求出各個(gè)向量的方向向量；最后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式?=x 1x 2+y 1y 2，其中=（x1，y 1）、=（x2，y 2），進(jìn)行求解.

例1.若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，=+，求?的值.

解：以BC所在的直線

為x軸，BC的垂直平分線為

y軸，建立如圖1所示的平面O

直角坐標(biāo)系，圖1

則B（-1，0），C（1，0），A（0，），

所以=（-2，0），=（-1，），

則=+=（-，），

可得D（-，），所以=（，），=（-，-），所以?=-.

我們根據(jù)題目的條件無法快速求出||和||，也無法確定和的夾角.而三角形ABC為等邊三角形，可以根據(jù)等邊三角形的對(duì)稱性來建立平面直角坐標(biāo)系，將等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來，即可求得和的坐標(biāo)以及?的值.

二、基底法

有時(shí)我們難以求得兩個(gè)向量的模及其夾角，此時(shí)可運(yùn)用基底法，根據(jù)題意選取兩個(gè)合適的基底，并用這組基底表示所求的向量，最后運(yùn)用向量的數(shù)量積公式求解.

例2.如圖2所示，在等腰直角三角形ABC中，

AC=2，點(diǎn)M為線段AB上

的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），點(diǎn)D

為AC的中點(diǎn)，將AC繞點(diǎn)

D旋轉(zhuǎn)到EF，求?

的最小值.

解：連接MD，

則?=（+）?（+）=||2-||2，當(dāng)MD⊥AB時(shí)，||最小，即||min=，

由||2=1，可得?的最小值為-.

解答本題，需要以、為基底，將平面向量、用基底表示出來，便把問題轉(zhuǎn)化為求||min.然后根據(jù)圖形的特點(diǎn)，確定||取最小值時(shí)的情形，即可求得?的最小值.

三、投影法

我們知道，||?cos，的幾何意義是向量在向量方向上的投影.運(yùn)用投影法求解平面向量數(shù)量積問題，需根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義，作出或找出向量的投影，通過研究幾何圖形中線段之間的關(guān)系來求得問題的答案.

例3.已知在等腰三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D是斜邊BC上的一點(diǎn)，且BD=3DC，求?（+）的值.

解：取BC的中點(diǎn)為M，連接AM，

可得AB+AC=2AM，

因?yàn)槿切蜛BC為等腰直角三角形，AB=AC=2，

所以AM⊥BC，且AM=，

所以?（+）=2?=2||=4.

解答本題主要運(yùn)用了投影法.根據(jù)三角形ABC的特點(diǎn)，確定向量、在上的投影，即可將問題轉(zhuǎn)化為求||.

上述三種方法都是求解平面向量數(shù)量積問題的重要方法，其中坐標(biāo)與基底法都比較常用，而投影法的適用范圍較窄，但使用起來較為便捷.各種方法都有其優(yōu)缺點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)根據(jù)解題的需求合理選擇.

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市唐洋中學(xué)）