數(shù)列求和問題的命題形式多變，因而求和的方法很多，常用的有公式法、分組求和法、錯位相消法、裂 項相消法、倒序相加法等.那么如何選用合適的方法，才 能有效地提升解題的效率呢？下面一起來探究.

一、公式法

我們知道，等差數(shù)列 {an} 的前 n 項和公式為： Sn = n（a1 + an） 2 = na1 + n（n - 1）d 2 ；等比數(shù)列的前 n 項和 公式為：Sn = ì í ? ? ? na1（q = 1）， a1（1 - q n ） 1 - q = a1 - an q 1 - q （q ≠ 1）. 若可以判斷出 數(shù)列為等比或等差數(shù)列，則可直接選用與之相應(yīng)的求 和公式進行求和.

例1

解：

由題意可知 bn + 1 - bn = 3 ln 2 ，根據(jù)等差數(shù)列的定 義，可以判斷數(shù)列 {bn } 為等差數(shù)列，求得數(shù)列的首項、 公差，將其代入等差數(shù)列的前 n 項和公式，即可利用 公式法快速求得數(shù)列 {bn } 的前 n 項和.

二、錯位相減法

一般地，若數(shù)列 {an } 為等差數(shù)列，數(shù)列 {bn } 為等 比數(shù)列，在求數(shù)列 {anbn } 的前 n 項和時，可以用錯位 相減法，即將數(shù)列的前n項和式 Sn 與 qSn 的表達式錯 位相減，再利用等比數(shù)列的通項公式進行求解，即可 求得 Sn ，即數(shù)列 {anbn } 的前n項和.

例2

解：

先在和式的左右同時乘以公比22，得22Sn；再將其與和式Sn錯位相減，即使2的指數(shù)相同的項相對齊并作差；最后根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式進行計算，即可運用錯位相減法求得Sn.

例3.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，log2an+1=log2an+1.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）求{（3n-1）an}的前n項和Sn.

解：（1）由于a1=2，log2an+1=log2an+1，

所以log2an+1-log2an=log2 aa n（n+）1=1，

可得aa n（n+）1=2，即數(shù)列{an}是首項為2，公比為2

的等比數(shù)列，

故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n.（2）由（1）可知（3n-1）an=（3n-1）×2n，

則Sn=2×2+5×22+8×23+…+（3n-4）×2n-1+（3n-1）×2n，

于是2Sn=2×22+5×23+…+（3n-7）×2n-1+（3n-4）×2n+（3n-1）×2n+1，

將上述兩式相減得：-Sn=4+3×（22+23+…+2n）-

（3n-1）×2n+1=-2+3×2（1（1）-2（2）n）-（3n-1）×2n+1=-8+

（4-3n）×2n+1，

可得Sn=8+（3n-4）×2n+1.

由（1）知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{3n-1}為等差數(shù)列，可采用錯位相減法求數(shù)列{（3n-1）an}的前n項和Sn.在計算時，應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，使冪相同的項對齊、作差，即可直接運用等比數(shù)列的前n項和公式進行求和.

三、裂項相消法

若數(shù)列中的各項為分式，或可以變形為分式，則考慮將其通項公式裂為兩項之差的形式，如n（n + 1） = 1 n - 1 n + 1 ， 1 n + 1 - n = n + 1 - n，就能采用裂項相消法求數(shù)列的和.將裂項后的各項重新組合，使 得某些項可以相互抵消，即可快速求出數(shù)列的前n項和.

例4

解：

解答本題主要運用了裂項相消法.先將分式的分 母有理化，即可將數(shù)列的通項公式裂為兩項之差的形 式 an = 1 n + 1 - n = n + 1 - n ；再通過正負相消來 化簡和式.

例5

解：

數(shù)列 {bn } 的通項公式為分式，將其裂項可得 bn = 1 （2n + 1）（2n + 3） = 1 2 × ? è ? ? 1 2n + 1 - 1 2n + 3 ，即可運用 裂項相消法求解.要注意的是，在求和時，剩下的不一 定只有第一項和最后一項，也有可能是前兩項和后兩 項，同學們需謹慎計算.

可見公式法、錯位相減法、裂項相消法的適用情 形均有所不相同.因此同學們在解題時，要仔細分析題 意，研究數(shù)列的通項公式和各項的特點，選擇與之相 應(yīng)的方法進行求解.

（作者單位：江西省南昌市經(jīng)開區(qū)樵舍二中）