若agt;0，bgt;0，則a+b≥2 ab，當且僅當a=b時等號成立，該式被稱為基本不等式.利用基本不等式解題，需把握三個前提條件：“一正”“二定”“三相等”.“一正”指兩式均為正數(shù)；“二定”指兩式的積或和是定值；“三相等”指當且僅當兩式相等時等號成立.基本不等式常用于求代數(shù)式的最值、證明不等式，下面結合實例進行探討.

一、利用基本不等式求最值（值域）

由基本不等式：a+b≥2，可知當a、b都為正數(shù)時，如果兩式的積ab等于定值P，那么當且僅當a=b時，兩式的和a＋b有最小值2；如果兩式的和a＋b等于定值S，那么當且僅當a=b時，兩式的積ab有最大值S2.這就是說，利用基本不等式，我們可以快速確定兩式的和或積的最值（值域）.

例1.求y=x+的值域.

解：由題意可知x≠0.

（1）當xgt;0時，y=x+≥2=4，當且僅當x=，即x=2時等號成立，所以y=x+的最小值為4.

（2）當xlt;0時，-xgt;0，

則y=x+=-（-x）+-，

而（-x）+-≥（-x）·-=4，當且僅當-x=

-，即x=-2時等號成立.

所以y=-（-x）+-≤-4，即y=x+的最大

值為-4.

所以y=x+的值域為（-∞，-4]?[4，+∞）.

本題中x的取值是不確定的，所以需分xgt;0和xlt;0兩種情況進行討論.根據(jù)基本不等式的應用條件：兩式均為正數(shù)，在xgt;0時可直接利用基本不等式求得y=x+的最小值；在xlt;0時，將-x、-視為正數(shù)，再利用基本不等式求得y=x+的最大值.

二、利用基本不等式證明不等式

在證明不等式時，要先將已知條件與所證目標相關聯(lián)；再根據(jù)不等式的性質和有關定理將不等式進行適當?shù)姆趴s，或采用一些配湊技巧，如常數(shù)代換、分離常數(shù)、湊系數(shù)、湊分子等，將所要證明的不等式變形為幾個式子的和或積，并使其中之一為定值，這樣才便于運用基本不等式解題.

例2.證明：x2+y2+z2≥xy+yz+zx.

證明：由基本不等式可得x2+y2≥2xy，z2+y2≥2zy，z2+x2≥2zx，

當且僅當x=y=z時等號成立，

將上述三式相加，

可得（x2+y2）+（y2+z2）+（x2+z2）≥2xy+2yz+2zx，即x2+y2+z2≥xy+yz+zx.

解答本題主要運用了基本不等式的變形式：

a2+b2≥2ab.常用的基本不等式變形式有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時等號成立；（2）若a、b∈R，則ab≤2，當且僅當a=b時等號成立；

（3）若a、b、c∈R，則a+b+c≥33，當且僅當a=b=c時等號成立.另外，在多次使用基本不等式時，需確保取等號時的條件是相同的.

例3.已知agt;0，bgt;0，a＋2b=3，證明：＋≥.

證明：由a＋2b＝3得a＋b＝1，

所以a（2）+b（1）=3（1）a+3（2）b a（2）+b（1）=3（4）+3b（a）+3（4）a（b）≥3（4）+2=3（8），當且僅當a＝2b＝2（3）時取等號.

先將已知關系式a＋2b=3變形為a＋b＝1；再將其代入目標式中進行運算，即可配湊出兩式的和3b（a）+3a（4b），而這兩式的積為定值，即可運用基本不等式來證明.

綜上所述，在利用基本不等式解題時，要注意兩點：（1）關注等號成立的情形；（2）靈活運用代換法、配湊法配湊出兩式的和或積，以便為運用基本不等式創(chuàng)造條件.

（作者單位：甘肅省蘭州市第五十九中學）