在進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到含參函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.這類問(wèn)題通常較為復(fù)雜，需靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、圖象，以及導(dǎo)數(shù)、方程、不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解.接下來(lái)，通過(guò)一個(gè)例題探討一下含參函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的幾種解法.

例題：若函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0gt;0，試求參數(shù)a的取值范圍.

題目中給出的條件較少，需從零點(diǎn)的定義入手，將問(wèn)題與函數(shù)的單調(diào)性、圖象，零點(diǎn)存在性定理，方程關(guān)聯(lián)起來(lái)，以尋找解題的思路.

一、分類討論法

運(yùn)用分類討論法解題，需將問(wèn)題化整為零，各個(gè)擊破.解題的一般步驟為：（1）確定討論的對(duì)象和范圍；（2）確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理的分類；（3）逐層逐級(jí)進(jìn)行討論；（4）匯總所得的結(jié)果，得出結(jié)論.

解：

題目中的函數(shù)為三次函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)后，參數(shù)a為二次項(xiàng)的系數(shù)，分解因式后可得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為0和，于是分agt;0和alt;0兩種情況討論函數(shù)在（-∞，0）、，+∞） 、（（0，上的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)存在性定理確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及參數(shù)a的取值范圍.

二、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是解答函數(shù)問(wèn)題的重要工具.運(yùn)用該方法解題，只需觀察、研究函數(shù)的圖象，即可快速獲得問(wèn)題的答案.這樣不僅可以使解題的思路更加明朗，還能有效地提升解題的效率.在解答含參函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，需根據(jù)零點(diǎn)的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)研究函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)、位置、取值范圍，從而求得問(wèn)題的答案.

解：

三、分離參數(shù)法

分離參數(shù)法是求參數(shù)取值范圍常用的方法.在解題時(shí)，往往要將等式或不等式中的參數(shù)與變量分離，使其置于等號(hào)或不等號(hào)的兩側(cè)，通過(guò)求含有變量的式子的最值，來(lái)確定參數(shù)的取值范圍.

解：令f（x）=ax3-3x2+1=0，

可得a=-，設(shè)g（x）=-，

對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)可得g′（x）=-x2（3）+x4（3）=-3（xx4（2-）1），

當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，g′（x）lt;0，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，g′（x）gt;0，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）gt;0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）lt;0，

所以g（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（-1，0）和（0，1）上單調(diào)遞增，

則函數(shù)在x=-1處取得極小值，在x=1處取得極大值，

而g（-1）=-2，

要使f（x）有唯一的正零點(diǎn)，需使alt;-2，

所以a的取值范圍為（-∞，-2）.

令f（x）=ax3-3x2+1=0后，通過(guò)變形將參數(shù)與變量分離，并構(gòu)造函數(shù)g（x）=-，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）=-的最值問(wèn)題.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）、（1，+∞）、（-1，0）、（0，1）上的符號(hào)，即可判斷出函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的極小值，求得參數(shù)a的取值范圍.運(yùn)用分離參數(shù)法解題，可以避免繁瑣的分類討論，簡(jiǎn)化解題的過(guò)程.

可見(jiàn)，雖然含參函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的難度較大，但是我們只要抓住關(guān)鍵信息，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義和范圍建立關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想，即可順利解題.

（作者單位：江西省南昌市新建區(qū)第一中學(xué)）