概率是高中數(shù)學(xué)中非常重要的一個板塊，也是高考的必考內(nèi)容之一.概率問題的命題形式較多，常見的概率問題有求事件的概率、求期望、求方差，判斷事件的獨(dú)立性、互斥性，討論事件的概率分布，等等.其中概率分布問題比較常見，且常以解答題的形式出現(xiàn).下面結(jié)合幾個例題詳細(xì)介紹幾類概率分布問題的解法.

一、兩點(diǎn)分布

對于只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，可用A表示“成功”，A（ˉ）表示“失敗”，若P（A）=p，則P（=1-p，就稱X服從于兩點(diǎn)分布，且X的分布列為：

只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)叫伯努利試驗(yàn)，所以兩點(diǎn)分布還可以稱為伯努利分布.兩點(diǎn)分布不僅可以用來研究只有兩個結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布規(guī)律，也可以用于研究某一隨機(jī)事件是否發(fā)生的概率分布情況，如抽取的彩券是否中獎，買回的一件產(chǎn)品是否為正品，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，都可以用兩點(diǎn)分布列來研究.

例1

解：

首先判斷隨機(jī)變量X是否服從兩點(diǎn)分布，然后根據(jù)概率公式計(jì)算出隨機(jī)變量X為0和1時的概率，最后用表格的形式列出隨機(jī)變量X的分布列.

二、二項(xiàng)分布

在相同條件下重復(fù)做n次試驗(yàn)，若用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B（n，p）.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X=k）=Cn（k）pk（1-p）n－k（k=0，1，2，…，n）．值得注意的是，在n次試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果，且兩種結(jié)果發(fā)生與否互相對立，事件發(fā)生與否的概率在每一次獨(dú)立試驗(yàn)中都保持不變.

例2.同時拋擲兩枚骰子，若點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10，就說這次試驗(yàn)成功，則在3次試驗(yàn)中至少有1次成功的概率是（）.

A.7（1）2（2）9（5）B.4（8）3（0）C.7（6）2（6）9（5）D.2（1）4（0）3（0）

解：

實(shí)驗(yàn)中一枚骰子出現(xiàn)任意一個點(diǎn)數(shù)的概率相等，且相互獨(dú)立，則試驗(yàn)中成功的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式進(jìn)行求解，即可順利解題.

三、幾何分布

幾何分布常用于分析一系列獨(dú)立重復(fù)的事件中首次成功的概率，例如首次進(jìn)球、首次銷售成功等.在一系列獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)中，首次成功所需的試驗(yàn)次數(shù)的概率分布可以用幾何分布進(jìn)行研究.若每次實(shí)驗(yàn)成功概率為p，X表示首次成功所需的試驗(yàn)次數(shù)，則實(shí)驗(yàn)第k次成功的概率為P（X=k）=（1-p）1-kp.

例3.在一場足球比賽中，某射門球員平均需要嘗試射球5次，才能成功進(jìn)球.計(jì)算他在第4次射球時成功的概率.

解：

解答這類問題，需首先確定隨機(jī)變量以及實(shí)驗(yàn)成功的概率；然后使用幾何分布的概率公式計(jì)算在第k次實(shí)驗(yàn)時成功的概率.

四、超幾何分布

超幾何分布常用于研究樣本抽樣問題，例如在抽 取樣本時不放回抽取某個樣品的概率，分析抽獎時中 獎的概率，分析檢測樣品時抽到次品的概率等.在含有 M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品， 則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布，且 P（X = k）= Ck mCn - k N - M Cn N ， k＝0，1，2，…，m， 其中 m = min{M，n} ，且 n ≤ N，M ≤ N，n， M，N ∈"N*，則隨機(jī)變量X的分布列為：

在解題時，需首先判斷事件的概率是否服從超幾 何分布；然后確定參數(shù)M、N、n的值，再根據(jù)公式計(jì)算k 取不同值時的概率，并列出分布列.

例4

解

解答本題，需先運(yùn)用組合知識，分別求得從13張梅花牌中選2張牌、從39張非梅花牌中選3張牌、從52張牌中選5張牌的可能情況數(shù)；然后利用超幾何分布的概率公式進(jìn)行求解.

總之，求解離散型隨機(jī)變量的概率分布問題的步驟為：（1）找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi（i＝1，2，3，…，n）；（2）求出取各個值時概率P（X＝xi）＝pi；（3）列出表格，并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確.

（作者單位：殷可丁，陜西省漢中中學(xué)；張?zhí)鹛?，陜西省漢中市漢臺區(qū)教學(xué)研究室）