胡宇陽(yáng)， 鄭大懷， 宋柏君， 魏鴻儒， 步獻(xiàn)東， 王曉杰，b

（南開大學(xué)a.物理科學(xué)學(xué)院；b.基礎(chǔ)物理國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津 300071）

0 引言

透明液體濃度測(cè)量在化工、制藥等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，測(cè)量液體濃度的常見方法有折射率法［1-2］、干涉法［3-4］、光柵法［5-6］、熒光光譜法［7］、介電常數(shù)法［8］、光譜法［9-10］、聲速法［11］、旋光法［12-13］等。其中，應(yīng)用較廣的阿貝折射法只能測(cè)量折射率比玻璃低（測(cè)量范圍：1.3 ～1.7）的溶液。熒光光譜法利用不同濃度溶液的特征峰強(qiáng)度不同，具有較高的分辨率。

本文設(shè)計(jì)了一種測(cè)量分辨率高、應(yīng)用范圍廣的透明液體濃度測(cè)量裝置。引入可調(diào)節(jié)偏振片以解決簡(jiǎn)單正交偏振場(chǎng)標(biāo)定時(shí)旋光角測(cè)量誤差較大的問(wèn)題；并通過(guò)消光法減小偏振片確定正交位置時(shí)所產(chǎn)生的誤差，提高測(cè)量分辨率。同時(shí)，利用磁致旋光效應(yīng)的非互易性，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證引入反射腔可實(shí)現(xiàn)在低磁場(chǎng)強(qiáng)度下精確測(cè)定液體濃度。

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 磁致旋光效應(yīng)

自然狀態(tài)下，許多材料都具有旋光性，比如，石英、蔗糖溶液等。對(duì)于不具有旋光性的物質(zhì)，可通過(guò)人工方法（應(yīng)力、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等）使其產(chǎn)生旋光效應(yīng)。在磁致旋光效應(yīng)中，當(dāng)平面偏振光穿過(guò)置于磁場(chǎng)中的介質(zhì)時(shí)，振動(dòng)面的轉(zhuǎn)角滿足［14-15］：

式中：α為旋光角；V為介質(zhì)的Verdet 常數(shù)，與介質(zhì)屬性（如濃度）和入射光波長(zhǎng)等相關(guān)；B為磁場(chǎng)強(qiáng)度；l為線偏光在介質(zhì)中走過(guò)的路程。

利用Malus定律測(cè)量線偏光經(jīng)過(guò)透明液體產(chǎn)生的旋光角，一般將檢偏器和起偏器調(diào)至正交，可得到光線偏振面旋轉(zhuǎn)α，并計(jì)算出射光強(qiáng)

式中，Iin則為入射光強(qiáng)。

由式（2）可知，通過(guò)測(cè)量檢偏器前后光強(qiáng)，可計(jì)算出旋光角。確定旋光角后，就可得到材料的Verdet 常數(shù)。此外，也可以將檢偏器換成帶有螺旋測(cè)微手輪轉(zhuǎn)動(dòng)的檢偏器，在施加磁場(chǎng)前后，通過(guò)旋轉(zhuǎn)檢偏器手輪找到消光位置，通過(guò)計(jì)算2 次位置之差Δx即可得到α。對(duì)檢偏器手輪位置x和檢偏器角度η進(jìn)行定標(biāo)，可得：

式中，b為未知量，可以通過(guò)數(shù)據(jù)擬合得到。η ＝π／2時(shí)對(duì)應(yīng)的手輪位置為消光位置。

利用MaLus定律可得：

將溶放置在磁場(chǎng)中間，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中分別測(cè)量有無(wú)磁場(chǎng)時(shí)手輪處于不同位置的檢偏器后透射光光強(qiáng)。利用式（4），在無(wú)磁場(chǎng)時(shí)，α ＝0，可得到b；有磁場(chǎng)時(shí)，可得到α，進(jìn)而求得Verdet常數(shù)。

1.2 反射腔對(duì)磁光效應(yīng)的增強(qiáng)

由于材料的Verdet常數(shù)大多較小，簡(jiǎn)單的通過(guò)測(cè)量旋光角的方法很難精確測(cè)量。研究表明，光的傳播方向反轉(zhuǎn)時(shí)，法拉第旋轉(zhuǎn)的左右方向互換。因此，反射鏡將經(jīng)過(guò)樣品的線偏光反射，再次經(jīng)過(guò)樣品后，旋光角將變成原來(lái)的2 倍，即磁致旋光效應(yīng)具有非互易性［12-13］，如圖1 所示。據(jù)此，為了增大旋光角，通過(guò)引入反射腔讓光在腔內(nèi)多次反射。

圖1 磁致旋光效應(yīng)的非互易性原理

（1）DPR 型反射腔。雙部分反射鏡（Double Partial Reflector，DPR）型反射腔兩側(cè)為部分反射鏡，其結(jié)構(gòu)如圖2 所示。為清楚表示光線傳播軌跡，光線按一定角度傾斜入射。

圖2 DPR型反射腔結(jié)構(gòu)

光束在由2 片部分反射鏡構(gòu)成的腔內(nèi)多次反射，并從右側(cè)輸出。入射光強(qiáng)為I0，通過(guò)檢偏器后可得：

式中：RP1和TP1，RP2和TP2分別為部分反射鏡1、2 對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)反射率和透過(guò)率；β 為光線通過(guò)介質(zhì)1 次時(shí)的光強(qiáng)透過(guò)率。在反復(fù)經(jīng)過(guò)n次反射腔后，DPR型反射腔的出射總光強(qiáng)

（2）PTR 型反射腔。梁忠誠(chéng)等［16］提出了一種部分反射鏡-全反射鏡（Partial Reflector-Total Reflector，PTR）型反射腔，其結(jié)構(gòu)如圖3 所示。反射腔由一部分反射鏡和全反射鏡組成，光線經(jīng)分束鏡后進(jìn)入被部分反射鏡分成2 束。第1 束光經(jīng)分束器直接進(jìn)入檢偏器，第2 束光繼續(xù)在腔內(nèi)反射。

圖3 PTR型反射腔結(jié)構(gòu)（忽略了返回入射光方向的光線）

通過(guò)檢偏器后的各級(jí)出射光強(qiáng)分別為：

式中：RB、TB分別為分束鏡的反射率和透射率；RP，TP分別為部分反射鏡的反射率和透射率。在反復(fù)經(jīng)過(guò)反射腔后，PTR型反射腔的出射總光強(qiáng)

（3）DTR 型反射腔。本文提出的雙全反射鏡（Double Total Reflector，DTR）型反射腔，利用2 個(gè)反射鏡和1 個(gè)分束鏡設(shè)計(jì)了一種反射腔結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)如圖4所示。入射光經(jīng)過(guò)分束鏡后分為2 束光，第1 束光直接射入檢偏器（圖中未畫出），第2 束光繼續(xù)在腔內(nèi)反射。第1 次反射出射激光（黑色實(shí)線）光強(qiáng)為I1，第2次反射出射激光（橙色實(shí)線）光強(qiáng)為I2，以此類推。

圖4 DTR型反射腔結(jié)構(gòu)（忽略返回入射光方向的光線）

通過(guò)檢偏器后的各級(jí)出射光強(qiáng)分別為：

式中，RB、TB分別為分束鏡的反射率和透射率。

在反復(fù)經(jīng)過(guò)反射腔后，DTR 型反射腔的出射總光強(qiáng)：

為對(duì)比不同反射腔在本實(shí)驗(yàn)中的增強(qiáng)效果，在相同入射光強(qiáng)（P＝20.00 mW）條件下，計(jì)算了上述3 類反射腔出射光強(qiáng)與NaCl溶液質(zhì)量分?jǐn)?shù)c的變化關(guān)系，結(jié)果如圖5 所示。其中，分束鏡和部分反射鏡的透過(guò)率和反射率均為0.50，β ＝0.90，IM為不加反射腔的出射光強(qiáng)。

圖5 不同反射腔出射光強(qiáng)隨c變化關(guān)系

由圖4 中可知，3 類反射腔出射光強(qiáng)關(guān)系為：IPTR＞IDTR＞IDPR＞IM。PTR 型反射腔相較于其他兩類腔和不引入反射腔，其出射光強(qiáng)變化最大。相較于不加反射腔，PTR型反射腔出射光強(qiáng)增大約1.5 倍。因此，在后續(xù)通過(guò)引入反射腔增大旋光角的實(shí)驗(yàn)中選用PTR型反射腔。

2 實(shí)驗(yàn)部分

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

本實(shí)驗(yàn)使用的主要儀器：MGL-III-532 半導(dǎo)體激光器，λ ＝532 nm，輸出功率為20.00 mW；WDS-50 電磁鐵；CH-1500 特斯拉計(jì)，分辨率為10 μT；PM100D光功率計(jì)，分辨率為0.01 μW；千分尺型偏振片，手輪分辨率為0.033°；分光棱鏡，分光比1∶1；半透半反鏡，反射率為0. 500，透射率為0. 500；全反射鏡，反射率為0.996；石英比色皿，內(nèi)徑為10. 00 mm，壁厚為1. 00 mm；游標(biāo)卡尺，分辨率為0.02 mm。本文以NaCl溶液為例開展實(shí)驗(yàn)研究，配置c（NaCl）的范圍為0% ～20%。

2.2 標(biāo)定NaCl溶液c與其Verdet常數(shù)關(guān)系

圖6 所示為基于磁致旋光效應(yīng)測(cè)量液體濃度測(cè)量裝置示意圖。激光經(jīng)過(guò)起偏器后透射過(guò)樣品并經(jīng)過(guò)檢偏器輸出，起偏器起偏方向和檢偏器的透振方向至正交，樣品置于恒定磁場(chǎng)中。

圖6 基于磁致旋光效應(yīng)測(cè)量液體濃度測(cè)量裝置示意圖

2.2.1 MaLus定律法

在開啟磁場(chǎng)條件下，分別測(cè)量檢偏器前后光強(qiáng)Iin和Iout，由式（2）可得到某c下的Verdet常數(shù)；再改變c重復(fù)上述操作，獲得其Verdet常數(shù)。

2.2.2 消光法

將圖6 檢偏器換成帶有螺旋測(cè)微手輪轉(zhuǎn)動(dòng)的檢偏器。將某一c的NaCl溶液放置在磁場(chǎng)中間，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中分別測(cè)量有無(wú)磁場(chǎng)時(shí)手輪處于不同位置的檢偏器后透射光光強(qiáng)。利用式（4），分別對(duì)在有無(wú)磁場(chǎng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合，可以得到旋光角α，進(jìn)而得到Verdet常數(shù)。

改變c重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)可以得到不同c（NaCl）的Verdet常數(shù)。利用線性擬合得到Verdet常數(shù)與其c的關(guān)系。

2.3 反射腔實(shí)現(xiàn)磁致旋光增強(qiáng)效應(yīng)

圖7 所示為PTR 型反射腔的實(shí)驗(yàn)裝置。樣品置于恒定磁場(chǎng)中，檢偏器和起偏器已調(diào)至正交，光學(xué)腔由部分反射鏡和全反射鏡構(gòu)成。激光經(jīng)過(guò)起偏器、分束鏡、部分反射鏡后透射過(guò)樣品，被全反射鏡反射后再次透射過(guò)樣品。這束激光被部分反射鏡分成2 束，第1束輸出到探測(cè)器上，第2 束在腔內(nèi)繼續(xù)反射。將c（NaCl）＝5%的溶液置于磁場(chǎng)中間，測(cè)量旋光角α，進(jìn)而得到Verdet 常數(shù)。換用不同磁場(chǎng)強(qiáng)度重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)可以得到不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下NaCl溶液的Verdet常數(shù)。

圖7 反射腔下磁致旋光增項(xiàng)效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 標(biāo)定NaCl溶液c與其Verdet常數(shù)關(guān)系

3.1.1 MaLus定律法

圖8 所示為532 nm 波長(zhǎng)激光下，NaCl 溶液的Verdet常數(shù)隨c的變化關(guān)系。用線性擬合得到Verdet常數(shù)與c的關(guān)系。

圖8 在波長(zhǎng)激光532 nm下標(biāo)定NaCl溶液Verdet常數(shù)與c關(guān)系

3.1.2 消光法

將c（NaCl）＝4.50%的溶液置于磁場(chǎng)中間，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中分別測(cè)量有無(wú)磁場(chǎng)時(shí)手輪處于不同位置的檢偏器后透射光光強(qiáng)，得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖9 所示。利用式（4），在無(wú)磁場(chǎng)時(shí)，α ＝0，可以得到未知量b＝19.73；有磁場(chǎng)時(shí)，可得到旋光角α ＝0.043 rad，進(jìn)而得到Verdet常數(shù)為5.58 rad／（m·T）。

圖9 有無(wú)磁場(chǎng)時(shí)，光強(qiáng)-手輪位置曲線

換用不同c（NaCl）溶液重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)可以得到不同c對(duì)應(yīng)的Verdet常數(shù)，結(jié)果如圖10 所示。利用線性擬合得到Verdet常數(shù)與c的關(guān)系。

圖10 消光法下標(biāo)定NaCl溶液Verdet常數(shù)與c關(guān)系

3.2 NaCl溶液c的測(cè)量

為了驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)裝置的可行性及準(zhǔn)確性，本實(shí)驗(yàn)中配置了4 種c（NaCl）＝4%、7%、14%和18%溶液，作為待驗(yàn)證液體（分別記為液體1、液體2、液體3、液體4）。使用消光法測(cè)量待驗(yàn)證液體的Verdet 常數(shù)，并結(jié)合圖中標(biāo)定成性擬合關(guān)系式得到待測(cè)液體的c0，結(jié)果如表1 所示。由表可知，對(duì)于NaCl 溶液，利用消光法得到的誤差較小，均在6.0%以內(nèi)。

表1 不同待測(cè)液體的c與c0 對(duì)比

3.3 反射腔實(shí)現(xiàn)磁致旋光增強(qiáng)效應(yīng)

利用該裝置測(cè)量c（NaCl）＝5%溶液在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下Verdet 常數(shù)，在同一磁場(chǎng)強(qiáng)度下測(cè)量了6 次，并利用誤差棒表示測(cè)量值與均值的偏差，結(jié)果如圖11所示。結(jié)果表明：在不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下反射腔實(shí)驗(yàn)測(cè)得指定c（NaCl）溶液的Verdet 常數(shù)相近；在低磁場(chǎng)強(qiáng)度（0. 30 ～0. 50 T）下測(cè)量準(zhǔn)確度與較高磁場(chǎng)強(qiáng)度（0.70 ～0.80 T）時(shí)相當(dāng)；當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度小于0.20 T 時(shí)，即使引入反射腔，由于旋光效應(yīng)較弱仍不能準(zhǔn)確獲得旋光角。

圖11 當(dāng)c（NaCl）＝5%時(shí)不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下Verdet常數(shù)測(cè)量偏差

通過(guò)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，磁場(chǎng)強(qiáng)度到達(dá)0.20 T以上相對(duì)容易實(shí)現(xiàn)，運(yùn)用反射腔增強(qiáng)磁致旋光效應(yīng)后，運(yùn)用磁致旋光效應(yīng)測(cè)量透明液體濃度的裝置更容易推廣、成本更低、測(cè)量分辨率更高。

3.4 儀器分辨率分析

利用Malus定律測(cè)量透明液體濃度，由式（2）可得Verdet常數(shù)的分辨率為0.18 rad／（m·T），由線性擬合關(guān)系，可以計(jì)算出c的測(cè)量分辨率為2.80%。

通過(guò)消光法測(cè)量透明液體濃度，由式（4）可得Verdet常數(shù)的分辨率為0.13 rad／（m·T），由Verdet常數(shù)與c的關(guān)系，可計(jì)算出c的最高測(cè)量分辨率為1.08%。結(jié)果表明：使用檢偏器螺旋測(cè)微手輪轉(zhuǎn)動(dòng)檢偏器，在檢偏器消光位置附近取多點(diǎn)測(cè)量出射光強(qiáng)，并通過(guò)數(shù)據(jù)擬合得到消光角，可顯著提高旋光角的測(cè)量分辨率。

引入反射腔后，利用消光法測(cè)量旋光角時(shí)，式（7）修正為

式中，δ為旋轉(zhuǎn)偏振片引起的附加角度。化簡(jiǎn)可得：

式（13）左右兩邊同時(shí)對(duì)α求導(dǎo)可得：

為計(jì)算最高測(cè)量分辨率，令δ ＝0。對(duì)于純水，旋光角最小，其實(shí)驗(yàn)測(cè)量值α≈0. 030 rad。代入?yún)?shù)RB＝0.436，TB＝0.509，TP＝RP＝0.500，得c的測(cè)量分辨率最高為0.28%。

從上述分析中可知，實(shí)際測(cè)量分辨率與最高分辨率存在一定差異，這主要是在本文實(shí)驗(yàn)過(guò)程中存在一定的干擾因素。例如由于電磁鐵發(fā)熱可能會(huì)導(dǎo)致磁場(chǎng)強(qiáng)度不穩(wěn)定，所用光學(xué)元件存在一定的吸收和反射，c較高時(shí)NaCl溶液分布不均勻等。

4 結(jié)語(yǔ)

本文運(yùn)用磁致旋光效應(yīng)設(shè)計(jì)了測(cè)量透明液體濃度的裝置。通過(guò)標(biāo)定透明液體濃度與其Verdet 常數(shù)的關(guān)系，并實(shí)驗(yàn)測(cè)量透明液體濃度。結(jié)果表明：①使用帶有螺旋測(cè)微手輪轉(zhuǎn)動(dòng)的檢偏器，在檢偏器消光位置附近取多點(diǎn)測(cè)量出射光強(qiáng)，并通過(guò)數(shù)據(jù)擬合得到消光角，可以顯著提高旋光角的測(cè)量分辨率；②對(duì)于NaCl 溶液，c的測(cè)量分辨率為1.08%，不確定度為0.40%，測(cè)量范圍為0% ～20%；③PTR 型反射腔能實(shí)現(xiàn)磁致旋光效應(yīng)增強(qiáng)，在（0. 30 ～0. 50 T）低磁場(chǎng)強(qiáng)度與（0.70 ～0.80 T）高磁場(chǎng)強(qiáng)度有相當(dāng)?shù)臏y(cè)量準(zhǔn)確度，并且在高磁場(chǎng)強(qiáng)度下c的最高測(cè)量分辨率可達(dá)0.28%。

未來(lái)實(shí)驗(yàn)中將考慮措施進(jìn)一步優(yōu)化儀器分辨率：①采取溫控措施對(duì)電磁鐵進(jìn)行溫度控制；②考慮光學(xué)元件的吸收率和反射率對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響；③對(duì)于高c的NaCl 溶液在實(shí)際測(cè)量前進(jìn)行了充分?jǐn)嚢杌旌暇鶆颉?/p>

本文綜合運(yùn)用光學(xué)、電磁學(xué)等知識(shí)研究了基于磁致旋光效應(yīng)測(cè)量透明液體濃度的問(wèn)題，既能夠加深學(xué)生對(duì)相關(guān)理論知識(shí)的理解和應(yīng)用，該裝置可用于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中。