摘要：“三新”背景下的高考復(fù)習(xí)與備考，一直是一個全新的熱門話題.結(jié)合數(shù)學(xué)實例，抓住命題精神，從教改銜接的重視入手，把握命題方向的研究，落實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與“四基”，強(qiáng)加數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升，探析學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成，合理引領(lǐng)并指導(dǎo)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)與備考.

關(guān)鍵詞：高考；復(fù)習(xí)；備考；教學(xué)建議

在新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課程（《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版，2020年修訂》）［1］、新高考的“三新”背景下，“落實立德樹人的根本任務(wù)，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用”成為高考的重要指導(dǎo)精神，2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷很好地貫徹了深化考試內(nèi)容改革，也為“三新”背景下的高考復(fù)習(xí)備考指明方向.

1重視教考銜接

新高考強(qiáng)調(diào)考查“一核四層四翼”，“一核”即“立德樹人、服務(wù)選拔、導(dǎo)學(xué)教學(xué)”，“四層”即“必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價值”，“四翼”即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”.總體來說，就是要讓學(xué)生真正學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題.平常的教學(xué)中，教師要全面落實學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，拋棄“應(yīng)試教育、題海戰(zhàn)術(shù)”的陳舊思想.

2研究命題方向

我們平時高三復(fù)習(xí)備考中，應(yīng)該立足高中課程標(biāo)準(zhǔn)，研究高考真題和高考命題方向.從2022年的高考考查內(nèi)容和方向來看變化不大，保持了較高的穩(wěn)定性，甚至有很多題目與往年高考題背景一致.

例1（2022—2023學(xué)年江蘇省南京市高三（上）學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（9月份）·8）已知函數(shù)f（x），任意x，y∈R，滿足f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），且f（1） =2，f（2） =0，則f（1） +f（2） +…+f（90）=（）

A. -2B. 0C. 2D. 4

分析：常規(guī)解決方法就是利用抽象函數(shù)的基本性質(zhì)加以分析與處理.而根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系式，合理聯(lián)想與之相似結(jié)構(gòu)特征的公式，為構(gòu)造特殊函數(shù)輔助分析與處理提供條件.

解析：結(jié)合已知條件f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），聯(lián)想到正弦平方差公式：sin2x-sin2y=sin（x+y）sin（x-y），從而構(gòu)造特殊函數(shù)輔助特殊化處理，

令特殊函數(shù)f（x）=2sinπ2x，該函數(shù)滿足題設(shè)條件，則f（x）是以4為周期的函數(shù)，

而f（1） =2，f（2） =0，進(jìn)而求得f（3） =-2，f（4） =0，則有f（1） +f（2） +f（3） +f（4） =0，所以f（1） +f（2） +…+f（90）=22×［f（1） +f（2） +f（3） +f（4）］+f（1） +f（2） =2，故選擇答案：C.

以上模擬題改編于2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·第8題：若函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1） =1，則∑22k=1f（k）=（）

A. -3B. -2C. 0D. 1

建議在復(fù)習(xí)備考中，教師要重視往年高考真題的挖掘，對高考真題進(jìn)行變式訓(xùn)練，在對高考真題訓(xùn)練的同時，也不斷提升關(guān)鍵能力，拓展數(shù)學(xué)思維.

3夯實基礎(chǔ)知識

“三新”背景下的備考，我們要充分領(lǐng)會新課標(biāo)、新教材、新高考，尤其要重視教材的挖掘.高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中要指導(dǎo)學(xué)生回歸教材，根據(jù)教材弄清知識的來龍去脈，讓知識結(jié)構(gòu)更清晰.在抓住重點(diǎn)知識與主干知識的同時，也要關(guān)注它們與其它內(nèi)容的交匯，根據(jù)知識的特點(diǎn)，精心設(shè)計綜合性強(qiáng)、代表性強(qiáng)的交匯性練習(xí)，讓學(xué)生適當(dāng)?shù)挠?xùn)練.

例2（2023屆八省八校高三第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量評價（T8聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題·15）若關(guān)于x的不等式（lnx）2-axlnx＞0有且只有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件中不等式問題，合理構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的正負(fù)取值情況，結(jié)合不等式等價變形與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以確定參數(shù)的取值范圍.

解析：令f（x）=lnxx，x＞0，

則f′（x）=1-lnxx2，

當(dāng)x∈（0，e）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.

又f（1）=0，所以當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＜0；

當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）＞0.

則原不等式（lnx）2-axlnx＞0等價于x＞1，

lnxx＞a或0＜x＜1，

lnxx＜a，（舍去），所以x＞1，

lnxx＞a有且只有一個整數(shù)解.

又f（3）=ln33＞f（4）=ln44=ln22=f（2），所以f（2） ≤a＜f（3），即ln22≤a＜ln33，

所以實數(shù)a的取值范圍為ln22，ln33，故填答案：ln22，ln33.

點(diǎn)評：本題抓住高中數(shù)學(xué)中函數(shù)這一主線，合理將相關(guān)知識加以交匯與聯(lián)系，綜合分析與巧妙應(yīng)用.作為高三教師，要對比新舊教材的變化和差異，及時更新觀念，不斷提升自己，同時也給學(xué)生樹立終身學(xué)習(xí)的榜樣.

4加強(qiáng)運(yùn)算素養(yǎng)

這幾年新高考試題普遍反饋難，但根源的問題在于計算量大.2022年高考充分體現(xiàn)了對這一重要能力的要求是高層次的.運(yùn)算能力是高中生必須具有的重要的數(shù)學(xué)能力，我們在復(fù)習(xí)中要注重培養(yǎng)運(yùn)算的合理性、科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性.

例3（2023屆河北省邢臺市名校聯(lián)盟高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題·16）已知橢圓C：x24+y23=1的兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)（m，n）為△PF1F2的內(nèi)心，則m+n的最大值為.

分析：根據(jù)題設(shè)，引入三角參數(shù)，結(jié)合焦點(diǎn)弦長的求解，利用三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而確定含參的關(guān)系式，并進(jìn)一步利用三角換元法，結(jié)合三角恒等變形公式以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì)來確定最值問題，對數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求比較高.

解析：由題意得橢圓C的焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），

設(shè)P（acosθ，bsinθ），θ∈［0，2π），△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r，

所以S△PF1F2=12×2c×b|sinθ|=bc|sinθ|=12（2c+2a）·r，可得r=bc|sinθ|a+c=|n|，

而|PF1|=（acosθ+c）2+（bsinθ）2=a2+2accosθ+（ccosθ）2=a+ccosθ，

同理可得|PF2|=a-ccosθ，

結(jié)合三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)，得（c+m）-（c-m）=|PF1|-|PF2|=（a+ccosθ）-（a-ccosθ），

可得m=ccosθ，消去θ，可得m2c2+n2（bc）2（a+c）2＝1，即m2c2+n2a-ca+c·c2=1.

因為a=2，c=1，

代入整理可得m2+3n2=1（n≠0）.

設(shè)m=cosα，n=13sinα≠0，則m+n=cosα+13sinα=233sinα+π3≤233，

所以m+n的最大值為233.故填答案：233.

點(diǎn)評：為了達(dá)到巧妙數(shù)學(xué)運(yùn)算的目的，綜合利用三角參數(shù)以及三角換元來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，為優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算提高效益.在高考備考復(fù)習(xí)中要從算理入手，通過分析運(yùn)算的式子或?qū)⒁M(jìn)行的運(yùn)算的特點(diǎn)來設(shè)計運(yùn)算思路，要有意識地結(jié)合特殊內(nèi)容（比如解析幾何）設(shè)計有關(guān)運(yùn)算能力的訓(xùn)練.

5重視思維訓(xùn)練

數(shù)學(xué)是一種思維的體操，在實際解題過程中，需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“思考”，尋找與之對應(yīng)的技巧與方法來分析與解決，特別要給學(xué)生提供一個完整的思考機(jī)會，借助高質(zhì)量的思考與自我分析來促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

例4（2023屆湖北省“荊荊宜”三校高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知α∈0，π6，β∈0，π6，且βtanα=2（1-cosβ），則（）

A. β4＜α＜β2B. α4＜β＜α2

C. α2＜β＜αD. β2＜α＜β

分析：根據(jù)條件，通過三角函數(shù)為背景的角的大小比較，合理利用相關(guān)的三角不等式進(jìn)行放縮和構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解決，對數(shù)學(xué)知識、思維的綜合應(yīng)用有很好地體現(xiàn).

解析：當(dāng)x∈0，π6時，令f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，

則f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=1cos2x-1＞0，所以函數(shù)f（x），g（x）在0，π6上均單調(diào)遞增，

所以f（x）min＞f（0）=0，g（x）min＞g（0）=0，

所以sinx＜x＜tanx.

由βtanα=2（1-cosβ），可得tanα=2（1-cosβ）β=4sin2β2β＜4β22β=β.

又α＜tanα，所以α＜β.

因為tanα=4sin2β2β=4sinβ2cosβ2β·sinβ2cosβ2＝2sinββ·tanβ2，

令h（x）=2sinx-x，x∈0，π6，則h′（x）=2cosx-1＞2cosπ6-1=3-1＞0，所以函數(shù)h（x）在0，π6上單調(diào)遞增，所以h（x）min＞h（0）=0，可得2sinx＞x，所以tanα=2sinββ·tanβ2＞tanβ2，即α＞β2.

綜上所述，β2＜α＜β.故選擇答案：D.

點(diǎn)評：含有一定條件（等式或不等式）的比較大小問題，日漸成為高考數(shù)學(xué)考試命題的一個熱點(diǎn).而多變量往往是這類問題中處理的一個難點(diǎn)，數(shù)學(xué)思維的開拓與應(yīng)用至關(guān)重要，常見的解決的途徑通常首先分離變量，結(jié)合表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，合理構(gòu)建恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性與最值等相關(guān)問題來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

在“三新”（新教材、新課程、新高考）背景下，進(jìn)一步落實“雙減”政策與新改革理念，積極貫徹《總體方案》要求.在高考復(fù)習(xí)備考中，教師應(yīng)該從高考的核心價值入手，突出學(xué)科特色，重視數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)新課改理念，指導(dǎo)學(xué)生從整體上架構(gòu)起高中知識體系，系統(tǒng)學(xué)習(xí)各章節(jié)知識，打通各個章節(jié)的聯(lián)系，綜合學(xué)習(xí)和運(yùn)用所學(xué)知識，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)與數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，才能在考試時游刃有余.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2017.