摘要：GeoGebra是一個功能強大的動態(tài)數學軟件，本文使用該軟件對2022年高考數學全國乙卷理科中的部分試題進行分析，探討如何在解題教學中利用GeoGebra發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng).

關鍵詞：GeoGebra；高考數學；解題教學

在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）中，直觀想象素養(yǎng)是指“借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養(yǎng)［1］.”史寧中教授指出：“之所以強調直觀，是因為從我個人的經驗來講，所有的數學結果都能‘看’出來［2］.”發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，可以幫助學生直觀理解抽象的數學對象，利用圖形描述數學問題，解決復雜抽象的問題.

《課標》還指出，“重視信息技術運用，實現信息技術與數學課程的深度融合［1］”.在“互聯網+”時代，教師需要合理運用信息技術，將信息技術與數學課程進行有效的整合，以此優(yōu)化課堂教學，達到事半功倍的效果，發(fā)展學生直觀想象等核心素養(yǎng).

GeoGebra是一個免費的動態(tài)數學軟件，它結合了幾何、代數、概率統計和微積分等.GeoGebra憑借著動態(tài)性、易用性、多功能性和美觀性等優(yōu)點受到廣大教師和學生的青睞［3］.它可以實現對數學對象的多元表征，使抽象的數學知識變得形象直觀，幫助學生運用幾何直觀和空間想象來思考問題，抓住數學問題的本質［4］.本文使用GeoGebra，對2022年高考數學全國乙卷理科中的部分試題進行分析，探討如何在解題教學中利用GeoGebra發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng).

1立體幾何問題

借助GeoGebra軟件中的特色功能——3D繪圖解決立體幾何問題，可以幫助學生直觀感知立體圖形，更好地把握問題的關鍵，從而高效便捷地解決問題.

例1（第9題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）.

A. 13B. 12C. 33D. 22

該題考查球的截面概念、球的基本性質，需要考生通過四棱錐與球的組合圖形的平面直觀圖想象各個幾何元素之間的位置關系，對空間想象能力要求比較高.因此，解答的關鍵是根據題目條件準確畫出平面直觀圖，借助幾何直觀分析和解決問題.在確定四棱錐體積最大時，需明確底面的形狀為正方形，然后列出四棱錐的體積表達式，構造體積V和高h的函數，求體積V為最大值時高h的值.教學中，教師可以使用GeoGebra軟件中3D繪圖區(qū)畫出立體圖形，旋轉立體圖形的視圖，幫助學生從不同的視角觀察圖形，在此基礎上，指導學生利用紙筆準確繪制出組合體的平面直觀圖.

GeoGebra使用步驟如下：

（1） 打開GeoGebra軟件，選擇3D繪圖區(qū)，使用“球面”工具，運用“球面（球心與半徑）”命令，選擇球心為圓心O，在彈出的命令框中輸入半徑為1，此時3D繪圖區(qū)出現半徑為1的球O;

（2） 選擇“描點”中的“對象上的點”命令，在球O上任意選擇三個點A，B，C，再選擇工具“三點平面”，依次點擊A，B，C三點，形成四棱錐底面與球O的截面p；使用“相交曲面”工具，作出四棱錐底面與球O的交線c，使用“對象上的點”命令在交線中任意選取點D，運用“多邊形”工具依次選擇A，B，C，D，A，此時繪圖區(qū)形成四棱錐的底面ABDC，使用“線段”工具連接AD，BC;

（3） 運用“棱錐”工具，點擊底面ABDC和球心O，繪圖區(qū)出現四棱錐O-ABDC，右鍵點擊代數區(qū)中的截面p，選擇命令“創(chuàng)建p的平面視圖”，此時出現四棱錐底面ABDC的平面視圖；

（4） 使用“垂線”工具，做出點O與底面ABDC的垂線，選擇“交點”工具，找到四棱錐底面外接圓的圓心O1，使用“線段”工具連接OO1，作出四棱錐的高，如圖1所示.

教師通過改變A，B，C，D四點的位置，讓學生觀察平面視圖中四棱錐底面的情況，發(fā)現底面為正方形即四棱錐為正四棱錐時底面面積最大；引導學生觀察到在正四棱錐中，高、側棱和側棱在底面上的投影構成了一個直角三角形，利用這一性質可以消去一個變量.設四棱錐的高為h，根據Rt△OO1D中勾股定理O1D2+OO21=OD2，可得O1D=1－h(huán)2.在正方形ABDC中，BC=AD=21－h(huán)2，根據四邊形的面積公式S=12·|BC|·|AD|·sinθ，可得四棱錐的底面面積S=2（1－h(huán)2）.列出體積的表達式V=13·2（1－h(huán)2）·h=23h－23h3，求該函數為最大值時h的值，即可求解.

2定點問題

解析幾何問題是高考考查的難點.其中的定點問題涉及到化“動”為“定”的過程，對學生的轉化化歸能力等有著較高的要求.GeoGebra作為一個動態(tài)數學軟件，它可以讓靜態(tài)數學“動”起來，能夠更直觀地幫助學生理解和解決定點問題，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

例2（第20題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0，－2），B32，－1兩點．

（1） 求E的方程；

（2） 設過點P（1，－2）的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足MT=TH．證明：直線HN過定點．

該題考查橢圓的幾何性質、橢圓的方程及解析幾何中的過定點問題，考查數學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng)，難度較大.

第（1）小題較為簡單，已知橢圓E過A，B兩點，設橢圓E的方程為mx2+ny2=1，將A，B兩點坐標代入方程，解出m，n即可求解.除此之外也可以借助GeoGebra來解決，已知橢圓E的對稱軸為x軸、y軸，且過A，B兩點，所以橢圓E也過A′（0，2），B′32，1，B″－32，－1.

GeoGebra使用步驟如下：

（1） 打開GeoGebra軟件，在代數區(qū)的命令框中分別輸入“（0，－2）”“32，－1”“（0，2）”“32，1”“－32，－1”；

（2） 使用“圓錐曲線”工具，選定A，B，A′，B′，B″五點，如圖2所示，此時在代數區(qū)顯示“C：－4x2－3y2=－12”為“橢圓：經過A，B，A′，B′，B″五點的圓錐曲線”，這一過程，可以啟發(fā)學生思考“沒有三點共線的五點唯一確定一條圓錐曲線（非退化）”這一結論，同時也為學生通過數學運算得出所需結果提供了依據.

第（2）小題考查的是解析幾何中動直線過定點的問題.先選擇參變量，然后求出動直線的含參變量的方程，最后對方程進行化簡，得到定點坐標.該題求解的關鍵是通過橢圓與過點P的直線MN的交點M的坐標，求得點T，H的坐標，利用點N，H的坐標得出直線HN的含參數方程.因為該題是關于圓錐曲線和動直線經過的定點問題，因此使用GeoGebra可以呈現動直線的運動變化過程，為學生觀察分析變化中的不變性提供了支撐條件.構造過點P的直線交橢圓E于點M，N，作過點M且平行于x軸的直線，交線段AB于點T，利用MT=TH找到點H，連接H，N構造直線HN，然后不斷改變點N的位置，點M，T，H也隨之改變位置，讓學生觀察動直線HN的運動情況，形成直觀感受，猜想定點的位置，最后經過嚴密的計算檢驗猜想.

GeoGebra使用步驟如下：

（1） 打開GeoGebra軟件，在命令框中輸入“x^2/3+y^2/4=1”，繪制橢圓E；在命令框中分別輸入“（0，－2）”“32，－1”“（1，－2）”，繪制點A，B，P，使用“線段”工具，連接AB；

（2） 使用 “對象上的點”工具，在橢圓E上任意選擇一點，記為點N；使用“直線”工具，連接PN；使用“交點”工具，確定橢圓E與直線PN的另一交點M；

（3） 使用“平行線”工具，作過點M且平行于x軸的直線h；使用“交點”工具，確定直線h與AB交于點T；

（4） 依次選取點M和點T，設置向量u=MT，使用“相等向量”工具，作出與向量MT相等的向量v=TH，最后連接HN；

（5） 移動點N的位置，觀察直線HN的位置，如圖3和圖4所示.

（6） 右鍵點擊代數區(qū)的直線HN，選擇命令“開啟跟蹤”，對點N進行速度設置，然后啟動動畫，繪制出動直線HN的變化軌跡，如圖5所示.學生可以根據變化軌跡清晰地發(fā)現直線HN始終過定點A.

3函數問題

《課標》提到，函數是高中數學學習的主線之一［1］.函數也是高考重點考查的部分，華羅庚先生曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”函數與函數圖象是密不可分的，學生可以借助函數圖象來解決問題.但復雜函數的圖象一般難以畫出，此時教師可以借助GeoGebra來幫助學生觀察函數的圖象，了解函數的規(guī)律性質，探索解決問題的方法，從而發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng).

例3（第21題）已知函數f（x）=ln（1+x）+axe－x.

（1） 當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

（2） 若f（x）在區(qū)間（－1，0），（0，+∞）各恰有一個零點，求a的取值范圍．

第（1）小題較為簡單，已知一個確定的函數，求函數在某一點的切線方程.先確定切點的坐標，再將已知函數求導，求函數在切點處的導數即為切線的斜率，使用點斜式將切線方程表示出來.第（1）題所使用的方法在第（2）題中有所涉及，故在此處省略.

第（2）小題為導數在函數中綜合運用的問題，根據函數的零點來求解參數a的取值范圍.求解該題有多種方法，在此處使用分離參數法.將函數中的參數分離出來a=－exln（1+x）x，將原條件“f（x）在區(qū)間（－1，0），（0，+∞）各恰有一個零點”轉化為“方程a=－exln（1+x）x在（－1，0），（0，+∞）內各有一個解”.構造函數g（x）=－exln（1+x）x，則可將問題轉化為函數g（x）和直線y=a在（－1，0），（0，+∞）上各有一個交點的問題.使用GeoGebra可以非常便捷地繪制出復雜函數的圖象，直觀體會函數的性質.

GeoGebra使用步驟如下：

（1） 在命令框中輸入函數“g（x）=－（e^xln（1+x）/x）”，繪圖區(qū)出現函數g（x）的圖象；選擇“描點”工具，使用“極值點”命令，選定g（x），繪圖區(qū)即可出現函數g（x）的極大值點A；

（2） 在命令框中輸入“g′（x）”，繪圖區(qū)會出現g′（x）的圖象，代數區(qū)也會直接顯示g′（x）的表達式；選擇“描點”工具欄的“零值點”命令，選定g′（x），繪圖區(qū)即可出現導函數的零點B.根據函數g（x）和導函數g′（x）的圖象可知，當x∈（－1，xB）時，g′（x）gt;0，所以函數g（x）在（－1，xB）上單調遞增；當x∈（xB，0）或（0，+∞）時，g′（x）lt;0，所以g（x）在（xB，0），（0，+∞）上單調遞減；

（3） 在命令框中輸入“Limit（g，0）”，代數區(qū)顯示函數g（x）在x趨于0時的極限值“m=－1”，根據g（x）的單調性可知，極大值即為函數的最大值；在命令框中輸入“（0，－1）”，繪制點C；

（4） 在命令框中輸入“y=a”，在彈出的窗口選擇“創(chuàng)建滑動條：a”，改變滑動條a的值，直線y=a的位置隨之改變.如圖6所示，當alt;－1時，直線y=a和函數g（x）在（－1，0），（0，+∞）上各有一個交點，即f（x）在區(qū)間（－1，0），（0，+∞）各恰有一個零點.

4總結

在“互聯網+”的背景下，信息技術改變著數學教與學的方式.《課標》中指出“數學建?；顒雍蛿祵W探究活動”是高中數學課程內容的主題之一，以課題研究的形式開展教學［1］.GeoGebra軟件功能強大、應用廣泛，利用GeoGebra開展數學探究活動，可實現信息的可視化，能夠激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，幫助學生發(fā)展數學思維和創(chuàng)新能力，提升學生數學核心素養(yǎng).因此，教師可以合理恰當地使用GeoGebra，與學生合作探索，發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng).參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2022年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 史寧中.如何理解直觀與幾何直觀——幾何直觀與小學數學教學（上）［J］.小學教學（數學版），2017（9）：4-7.

［3］ 李應華.基于GeoGebra的初中函數教學實踐研究［D］.淮北師范大學，2022.

［4］ 閆偉.運用GeoGebra軟件助力數學實驗探究教學——以一類解析幾何定點問題為例［J］.中學數學研究，2022（7）：9-12.