摘要：通過(guò)一道教材的變式題，引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)“萬(wàn)變不離其宗”的本質(zhì)，在知識(shí)、思維和方法上為解決問(wèn)題提供了有益的經(jīng)驗(yàn)，旨在完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì)．

關(guān)鍵詞：反比例函數(shù)；變式題；思維品質(zhì)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

反比例函數(shù)是一種重要的函數(shù)，是初中教學(xué)的重難點(diǎn)，也是中考的?？键c(diǎn)，無(wú)論從知識(shí)、方法和技能，還是滲透的數(shù)學(xué)思想上來(lái)看，學(xué)好反比例函數(shù)都為進(jìn)一步學(xué)好其它函數(shù)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．一般來(lái)說(shuō)可以用類(lèi)比遷移、觀察實(shí)驗(yàn)、數(shù)形結(jié)合等方法學(xué)習(xí)其它函數(shù)，但這類(lèi)題目很多，如果不掌握其中“不變”的實(shí)質(zhì)，那么難以跳出“題海”，所以變式教學(xué)在一定意義上是高效教學(xué)的重要舉措，現(xiàn)舉例說(shuō)明．

1源題分析

1.1源題

題目： 已知y是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x=2時(shí)，y=6.

（1） 寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2） 當(dāng)x=4時(shí)，求y的值．

（詳見(jiàn)人教版《義務(wù)教育教科書(shū)· 數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第3頁(yè)的例1）.

分析：（1） 因?yàn)閥是x的反比例函數(shù)，所以設(shè)y=kx.把x=2和y=6代入上式，就可以求出常數(shù)k的值．（2） 將x=4代入上述解析式即可．

解析：（1） y=12x；（2） y=3.（詳解過(guò)程，此處略）

評(píng)注：第（1）問(wèn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式時(shí)，關(guān)鍵要知道圖象上的點(diǎn)；第（2）問(wèn)給出自變量的值，求函數(shù)值，只需直接代入．

1.2源題教學(xué)目標(biāo)

（1） 問(wèn)題與情境：在學(xué)生已經(jīng)了解一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，探究反比例函數(shù)的概念、解析式和性質(zhì)，通過(guò)教師點(diǎn)撥，學(xué)生解答，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生觀察圖象，從圖象特征牢固地掌握反比例函數(shù)的重要性質(zhì)．

（2） 知識(shí)與技能：初步認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，掌握用待定系數(shù)法求解析式．通過(guò)變式題或中考題，加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)， 引導(dǎo)學(xué)生理解“萬(wàn)變不離其宗”的本質(zhì)，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

（3） 思維與表達(dá)：通過(guò)對(duì)變式試題的求解，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比、觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納等活動(dòng)，能用數(shù)學(xué)思維清晰表達(dá)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并以此解決問(wèn)題．

（4） 交流與反思：圍繞教學(xué)目標(biāo)，積極搭建交流平臺(tái)，學(xué)會(huì)與他人合作，交流表達(dá)．

1.3知識(shí)關(guān)聯(lián)

此題有承上啟下的作用，它既是對(duì)“一次函數(shù)”的復(fù)習(xí)與認(rèn)識(shí)，又為后續(xù)學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”做鋪墊，這與高中階段學(xué)習(xí)雙曲線也是一脈相承的．

2變式題及點(diǎn)評(píng)

變式的起點(diǎn)在哪里？怎么變？變什么？以什么題材為載體？?jī)?nèi)在結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系如何？等等，這些問(wèn)題都是教師需要思考的．

2.1用列表法來(lái)表示反比例函數(shù)

列表法是函數(shù)的三種表示方法之一，其優(yōu)點(diǎn)是可以直觀看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，并讓學(xué)生畫(huà)出函數(shù)的圖象（變式很簡(jiǎn)單，此處略），直觀形象地表示自變量的變化和相應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)，有利于通過(guò)圖象直觀的來(lái)研究函數(shù)的某些性質(zhì)．“不變”的是描點(diǎn)、連線、作圖，根據(jù)函數(shù)圖象特征判斷此函數(shù)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

2.2設(shè)置問(wèn)題新情境，求k的值

在源題基礎(chǔ)上，設(shè)置問(wèn)題情境，以平面圖形為載體，通過(guò)該圖形幾何性質(zhì)間接給出反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)C，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的使用，有利于提升學(xué)生解題思維的靈活性．

變式1（2021甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)第15題）如圖1，矩形ABCD的對(duì)角線BD經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=k2+2k+1x的圖象上．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，－2），則k的值為（）.

A. 1B. －3C. －4D. 1或－3.

分析：設(shè)C（x，y）．根據(jù)矩形的性質(zhì)，由點(diǎn)A（－2，－2）的坐標(biāo)分別求出B（－2，y），D（x，－2）.根據(jù)“矩形的對(duì)角線BD經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”，可設(shè)直線BD的解析式為y=kx（k≠0），則將點(diǎn)B，D的坐標(biāo)代入，消去k，得xy=4①．又點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=k2+2k+1x的圖象上，故xy=k2+2k+1②.聯(lián)立①②，得k2+2k－3=0，解關(guān)于k的一元二次方程即可.

解析：k=－3或k=1.（過(guò)程略）

評(píng)注：函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合．本題采用“設(shè)而不求”的方法，先求出滿足題目條件的反比例函數(shù)的解析式，其圖象在第一象限的部分與已知的反比例函數(shù)的圖象是重合的，所以整體消去“xy”得到關(guān)于k的方程，思維起點(diǎn)高，解決路徑迂回曲折．學(xué)生如若邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不足，就不能順利解決此問(wèn)題．

2.3設(shè)置實(shí)際問(wèn)題，學(xué)以致用

在掌握了反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)的基礎(chǔ)上，為了讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象，教師可以選編一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，甚至是跨學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題，加強(qiáng)學(xué)科間相互關(guān)聯(lián)，以增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，強(qiáng)化實(shí)踐性要求．

變式2（2022年吉林省中考數(shù)學(xué)第20題）密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)容器的體積V（單位：m3）變化時(shí)，氣體的密度ρ（單位：kg/m3）隨之變化．已知密度ρ與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖2所示．

（1） 求密度ρ關(guān)于體積V的函數(shù)解析式；

（2） 當(dāng)V=10 m3時(shí)，求該氣體的密度ρ．

分析：（1） 用待定系數(shù)法即可；（2） 把V=10代入（1）中所求得的解析式中，可得該氣體的密度．

解析：（1） 設(shè)密度ρ關(guān)于體積V的解析式ρ=kV（Vgt;0，k≠0），把點(diǎn)A（4，2.5）的坐標(biāo)代入上式中，得k=2.5×4=10，所以ρ=10V（Vgt;0）．

（2） 當(dāng)V=10 m3時(shí)，ρ=1010=1（kg/m3），即此時(shí)該氣體的密度為1 kg/m3．

評(píng)注：本題是反比例函數(shù)的應(yīng)用題，也就是將反比例函數(shù)的數(shù)量關(guān)系應(yīng)用到生產(chǎn)生活中去，考查學(xué)生會(huì)不會(huì)從圖象語(yǔ)言、文字語(yǔ)言雙重的喬裝打扮中抽象出反比例函數(shù)的關(guān)系式．另外，物理學(xué)中還有許多反比例函數(shù)關(guān)系，如壓力F一定，P=FS；電壓U一定，R=UI；力F（N）與物體在力的方向上移動(dòng)的距離S（m）的關(guān)系等，都是跨學(xué)科綜合命題的極好的變式素材．

2.4變式為新定義問(wèn)題

“新定義”問(wèn)題以學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)為載體，通過(guò)類(lèi)比、引申、拓展給出新的數(shù)學(xué)概念．以此考查學(xué)生的閱讀理解能力，應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力．

例1（2022年甘肅蘭州市中考數(shù)學(xué)第25題）定義：假設(shè)雙曲線y=kx（kgt;0）與它其中一條對(duì)稱(chēng)軸y=x相交于A，B兩點(diǎn)，那么線段AB的長(zhǎng)度為雙曲線y=kx（kgt;0）的對(duì)徑．

（1） 求雙曲線y=1x的對(duì)徑；

（2） 假設(shè)雙曲線y=kx（kgt;0）的對(duì)徑是102，求k的值．

分析：（1） 欲求雙曲線的對(duì)徑，根據(jù)定義，需求它與一條對(duì)稱(chēng)軸y=x的交點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得對(duì)徑．（2） 過(guò)程同（1），得出用字母k表示的式子，再列關(guān)于k的方程求解即可．

解析：（1） 由y=1x，

y=x， 解得x1=1，

y1=1或x2=－1，

y2=－1，所以不妨令點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－1，－1），所以AB=（－1－1）2+（－1－1）2=22，即雙曲線y=1x的對(duì)徑為22.

（2） 解方程組y=kx，

y=x，得x1=k，

y1=k或x1=－k，

y1=－k，所以不妨令點(diǎn)A的坐標(biāo)為（k，k），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－k，－k），

所以AB=（－k－k）2+（－k－k）2=22k.

因?yàn)殡p曲線y=kx（kgt;0）的對(duì)徑是102，即AB=102，所以22k=102，解得k=25．

評(píng)注：新定義的“對(duì)徑”是什么？就是雙曲線與其對(duì)稱(chēng)軸交點(diǎn)之間的距離，此定義是解題的依據(jù)．理解其概念是策劃求解流程的關(guān)鍵，從“對(duì)徑”的特殊情形到一般，再逆向思考，列出方程，對(duì)學(xué)生的思維、邏輯推理能力都是很好的鍛煉．

3對(duì)變式教學(xué)的思考

選例不在多而在精，教師應(yīng)為發(fā)揮例題的教學(xué)功能，做到以例帶類(lèi)，以例啟思，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維．對(duì)于相同的知識(shí)點(diǎn)，教師設(shè)置不同的問(wèn)題情境，讓學(xué)生體會(huì)“萬(wàn)變不離其宗”的數(shù)學(xué)魅力，提高學(xué)生的辨析能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，融會(huì)貫通的本領(lǐng)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力．變式教學(xué)以“四基”“四能”為根本出發(fā)點(diǎn)來(lái)開(kāi)展活動(dòng)，目標(biāo)在于以一當(dāng)十，學(xué)會(huì)一點(diǎn)，解決一片，減輕教與學(xué)的負(fù)擔(dān)．

數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂和精髓．因此，變式教學(xué)不能僅僅盯著實(shí)質(zhì)內(nèi)容，還要注意貫穿于“問(wèn)題解決”的數(shù)學(xué)思想方法，如本文中涉及的數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊到一般等思想，以此發(fā)掘?qū)W生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力．