摘要：平面圖形翻折成立體幾何的問題使得靜態(tài)場景動態(tài)化，在問題場景的創(chuàng)設(shè)以及思維定勢的改變方面都有所創(chuàng)新．借助一道平面圖形翻折題的追根溯源、多解方法、變式拓展，總結(jié)解題技巧方法與規(guī)律策略，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，打破思維定勢，指導(dǎo)并引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

關(guān)鍵詞：平面圖形；立體幾何；翻折；矩形；垂直

平面圖形翻折成立體幾何的問題，讓數(shù)學(xué)問題“動”起來，生動形象又變化多端，合理創(chuàng)設(shè)“二維”平面到“三維”空間的升華，巧妙聯(lián)系起“動”與“靜”的相對關(guān)系，瞄準“變”與“不變”的差異變化，架起“平面”與“立體”的聯(lián)系橋梁，關(guān)注直觀想象與創(chuàng)新意識等方面的素養(yǎng)與要求．

1問題呈現(xiàn)

【問題】（2023屆上海市高考數(shù)學(xué)高三專題練習(xí)試卷）如圖1，已知矩形ABCD的對角線交于點E，AB=x，BC=1，將△ABD沿BD翻折.若在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥CE，則x的取值范圍是．

此題以“定寬不定長”的矩形沿對角線翻折成立體幾何圖形為問題的創(chuàng)新情境，結(jié)合存在性來創(chuàng)設(shè)問題，考查了空間的垂直關(guān)系，綜合性較強．

具體解答時，要充分發(fā)揮空間想象力，明確空間的點、線、面的位置關(guān)系，解答時涉及到幾何推理與論證、射影的理解、空間直角坐標系的建立以及空間向量的應(yīng)用等，還要注意極限位置的利用等．

2追根溯源

【模擬題】（2021屆浙江省衢州市高三（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（12月份））如圖2，在Rt△ABC中，BC=1，AB=x，E為斜邊AC的中點．將△ABE沿直線BE翻折．若在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥CE，則x的取值范圍是．

解析：由題意，可得CE=BE=AE=x2+12，AB=x，取AB的中點F，翻折前，如圖3，連接EF，BE，則EF=12.

翻折后，如圖4，連接CF.

由于AB⊥EF，AB⊥CE，而EF∩CE=E，所以AB⊥平面CEF，由CF平面CEF，可得AB⊥CF.

又AB⊥CF，F(xiàn)為AB的中點，可得CA=CB=1，所以CF=1－14x2，

在△CEF中，滿足① x2+12+12＞1－14x2，② x2+12＜12+1－14x2，③ x＞0，

由①②③，解得0＜x＜3.

如圖5，翻折后，當(dāng)△A1BE與△CBE在一個平面上，此時CE⊥A1B，CE=A1E=BE=AE，∠BAE=∠ABE=∠A1BE.

又∠BAE+∠ABE+∠A1BE=90°，所以∠BAE=∠ABE=∠A1BE=30°，

可得∠C=60°，AB=BC·tan60°，此時x=1×3=3.

綜上，x的取值范圍為（0，3］，故填答案：（0，3］．

顯然，以上模擬題的解法也是原問題的一種基本解法——方法1（幾何法），借助立體幾何與平面幾何之間的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，讓立體幾何問題回歸平面幾何實質(zhì)，借助平面幾何的相關(guān)知識加以分析與處理．幾何法的處理過程主要基于平面圖形翻折的變化規(guī)律與極限位置情況來分類討論并進行邏輯推理與數(shù)學(xué)運算等．

3問題破解

除了以上模擬題中的幾何法外，還可以借助其他的技巧方法來解決相應(yīng)的問題，多思維視角切入，多方法技巧應(yīng)用．

射影法：

解析：將△ABD沿BD翻折的過程中，如圖6，記點A在底面BCD上的射影軌跡為AA0，連接BA0.

根據(jù)三垂線定理，若AB⊥CE，則AB在底面BCD上的射影A1B⊥CE（其中點A1在線段AA0上）.

記∠EBA1=α，∠BAE=∠ABE=∠EBA0=β，則α≤β，

結(jié)合A1B⊥CE，可得∠ABA1+∠EAB=π2，即α+2β=π2，

所以α=π2－2β≤β，解得π6≤βlt;π2.又tanβ=1x≥tanπ6=33，解得0lt;x≤3，

所以x的取值范圍為（0，3］，故填答案：（0，3］．

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件，從整體思維視角切入，分析對應(yīng)點在底面上的射影軌跡，利用立體幾何中的三垂線定理、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)關(guān)系來構(gòu)建不等式與關(guān)系式等，進而得以確定變量的取值范圍．從整體思維視角切入時，基于“形”的變化視角，利用射影的基本性質(zhì)與平面圖形翻折過程中的變化規(guī)律進行分析與處理．

坐標法：

解析：如圖7，設(shè)A1處為△ABD沿BD翻折后A點所在的位置，以D為坐標原點，DA，DC所在直線分別為x軸、y軸，過點D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，

則A（1，0，0），B（1，x，0），C（0，x，0）， E12，x2，0，設(shè)A1（a，b，c），

則BA1=（a－1，b－x，c），DA1=（a，b，c），CE=12，－x2，0.

由A1D=1，可得a2+b2+c2=1，

而由AB⊥AD，可得BA1⊥DA1，即BA1·DA1=a（a－1）+b（b－x）+c2=0，整理，可得bx=1－a.

又在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥CE，即有BA1⊥CE，可得BA1·CE=12（a－1）－x2（b－x）=0，即x2－bx+a－1=0，可得x2=bx+1－a=2（1－a）.

當(dāng)將△ABD翻折到圖7中的△A′BD位置時，此時△A′BD位于平面ABCD內(nèi)，不妨假設(shè)此時BA′⊥CE，設(shè)垂足為G，作A′F⊥AD的延長線，垂足為F，此時在x軸負半軸方向上，DF的長最大，a取最小值.

由于∠BA′D=π2，故EG∥ A′D，所以∠BEG=∠BDA′=∠BDA，

而∠BEG=∠AED，故∠AED=∠BDA=∠EDA.又AE=DE，故△AED為正三角形，

則∠EDA=π3，可得∠BDA′=∠FDA′=π3，

而A′D=1，故DF=12，則a≥－12，即x2=2（1－a）≤3，解得0lt;x≤3，

所以x的取值范圍為（0，3］，故填答案：（0，3］．

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件，引入空間直角坐標系，利用相關(guān)點的坐標，借助空間向量的運算來轉(zhuǎn)化空間中的點、線、面的位置關(guān)系，利用坐標運算這一數(shù)學(xué)運算形式來巧妙替換相應(yīng)的邏輯推理與證明，進而得以確定參數(shù)的取值范圍．從坐標視角切入時，基于“數(shù)”的變化視角，利用空間向量的建立與坐標的運算來進行分析與處理．

4變式拓展

探究：保留平面幾何圖形以及翻折方式，設(shè)置不同的選項，以多選題的形式來合理創(chuàng)設(shè)問題場景，得到相應(yīng)的變式問題．

【變式】（多選題）在矩形ABCD中，BC=1，AB=x，BD和AC交于點O，將△BAD沿直線BD翻折，則下列說法正確的是（）.

A． 存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥OC

B． 存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AC⊥BD

C． 存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AB⊥平面ACD

D． 存在x，在翻折過程中存在某個位置，使得AC⊥平面ABD

故選擇答案：ABC．

5教學(xué)啟示

涉及平面圖形翻折成立體幾何的問題，關(guān)鍵要理清“動”與“靜”的過程以及變化規(guī)律，分清“變”與“不變”的圖形位置、數(shù)量關(guān)系等之間的聯(lián)系，降維分析“三維”空間中某個面的“二維”狀態(tài)，合理分析與處理是破解問題的關(guān)鍵．

利用平面圖形翻折成立體幾何，借助“二維”升華到“三維”的空間轉(zhuǎn)化，形成數(shù)學(xué)思維的跳躍，關(guān)注變化規(guī)律，有效優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)解題能力與創(chuàng)新應(yīng)用意識．