摘要：解三角形作為高考數(shù)學(xué)試卷中的一類基本知識點(diǎn)與基本考點(diǎn)，?？汲Ｐ?，變化多端．本文結(jié)合一道解三角形的模擬問題，或從解三角形思維視角進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，或從平面向量思維視角進(jìn)行直觀分析，這些都是解決問題的基本技巧方法.從而總結(jié)歸納規(guī)律，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題研究．

關(guān)鍵詞：解三角形；三角函數(shù)；平面幾何；正弦定理；余弦定理

解三角形問題有效串聯(lián)起初中的平面幾何知識與高中的解三角形、平面向量、三角函數(shù)等相關(guān)知識，是歷年高考中的一類基本題型與重點(diǎn)知識之一，倍受各方關(guān)注．解決此類問題，可以通過解三角形的基本屬性，利用正弦定理或余弦定理等相關(guān)公式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，并綜合三角函數(shù)的相關(guān)知識來分析與求解；也可以通過平面幾何的直觀屬性，回歸問題本質(zhì)，通過數(shù)形結(jié)合，綜合平面幾何的基本性質(zhì)等來直觀處理；還可以通過平面向量的轉(zhuǎn)化、平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)運(yùn)算等思維方法來解決．總而言之，解這類問題時(shí)，思維視角眾多，技巧方法各樣，規(guī)律策略多變．

1問題呈現(xiàn)

【問題】（2023屆河南省安陽市高三（上）10月畢業(yè)班調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷）在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，若∠ABC=∠CAD=45°，AD=2，△ACD的面積為1+22，則DCBD=．

本題是一道以三角形為平面幾何背景，通過給出三角形中的相關(guān)邊長與角度等數(shù)據(jù)信息，并結(jié)合對應(yīng)三角形的面積，合理確定對應(yīng)的三角形形狀與大小，進(jìn)而求解對應(yīng)線段的比值問題．

2問題破解

2.1思維視角1：解三角形思維

方法1：純解三角形法

解析：如圖1所示，由S△ACD=12·AC·AD·sin∠CAD=12AC=1+22，得AC=1+2.

在△ACD中，由余弦定理，得DC2=AD2+AC2－2AD·AC·cos∠CAD，解得DC=3.

由正弦定理，得ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，則有sin∠ADC=AC·sin∠CADDC=1+26.

由余弦定理，得cos∠ADC=AD2+DC2－AC22AD·DC=1－26.

所以sin∠BAD=sin（∠ABC+∠ADB）=sin（45°+180°－∠ADC）=sin（∠ADC－45°）=sin∠ADC·cos45°－cos∠ADC·sin45°=63.

所以在△ABD中，根據(jù)正弦定理，可得BDsin∠BAD=ADsin∠ABC，則有BD=AD·sin∠BADsin∠ABC=263.

所以DCBD=3263=324，故填答案：324．

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件中的三角形面積公式以及余弦定理分別確定對應(yīng)的線段長，并通過正弦定理與余弦定理分別確定相關(guān)角的正弦值與余弦值，結(jié)合三角形的性質(zhì)以及三角恒等變換公式來求解對應(yīng)角的三角函數(shù)值，再結(jié)合正弦定理來確定相關(guān)的線段長，進(jìn)而得以求解線段的比值．通過正、余弦定理以及三角函數(shù)公式來綜合應(yīng)用，是解決此類問題中的常見技巧方法．

方法2：平面幾何+解三角形法

解析：如圖2所示，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E.

由∠CAD=45°，AD=2，得DE=AE=1.

由S△ACD=12·AC·DE=12AC=1+22，得AC=1+2，則CE=AC－AE=2.

由勾股定理，得DC=DE2+CE2=3.

設(shè)∠CDE=θ，則sinθ=CEDC=63.

因?yàn)椤螦DC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+θ，且∠ABC=∠ADE=45°，所以∠BAD=θ.

所以在△ABD中，由正弦定理，得BDsin∠BAD=ADsin∠ABC.

則有BD=AD·sin∠BADsin∠ABC=AD·sinθsin45°=263，所以DCBD=3263=324.

故填答案：324．

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件，通過輔助線的構(gòu)建構(gòu)造直角三角形，通過平面幾何知識確定對應(yīng)的邊長問題，并結(jié)合三角函數(shù)的定義以及平面幾何中角之間的關(guān)系，結(jié)合正弦定理來確定相關(guān)的線段長，進(jìn)而求得線段的比值．該解法綜合利用平面幾何法與解三角形法，兩種方法相互彌補(bǔ)，共同完成．

2.2思維視角2：平面幾何思維

方法3：解三角形+平面幾何法

解析：如圖1所示，由S△ACD=12·AC·AD·sin∠CAD=12AC=1+22，得AC=1+2.

在△ACD中，由余弦定理，得DC2=AD2+AC2－2AD·AC·cos∠CAD，解得DC=3.

因?yàn)椤螦BC=∠DAC=45°，∠C=∠C，所以△ABC∽△DAC，

所以ACBC=DCAC，即BC=AC2DC=3+223=3+263，BD=BC－DC=263.

所以DCBD=3263=324，故填答案：324．

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件中的三角形面積公式以及余弦定理分別確定對應(yīng)的線段長，根據(jù)兩三角形中角的關(guān)系，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)構(gòu)建對應(yīng)邊的關(guān)系式，進(jìn)而得以確定對應(yīng)的線段長，為最后求解線段的比值提供條件．該解法中的平面幾何法的處理利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，為線段或角的關(guān)系與確定指明方向．

方法4：純平面幾何法

解析：如圖2所示，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E.

由∠CAD=45°，AD=2，得DE=AE=1.

因?yàn)镾△ACD=12·AC·DE=12AC=1+22，所以AC=1+2，CE=AC－AE=2.

由勾股定理，得DC=DE2+CE2=3.

因?yàn)椤螦BC=∠DAC=45°，∠C=∠C，所以△ABC∽△DAC，

所以ACBC=DCAC，即BC=AC2DC=3+223=3+263，BD=BC－DC=263.

所以DCBD=3263=324，故填答案：324．

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件，通過輔助線的構(gòu)建構(gòu)造直角三角形，通過平面幾何知識確定對應(yīng)的邊長問題，并結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)構(gòu)建對應(yīng)邊的關(guān)系式，得以確定對應(yīng)的線段長以及對應(yīng)的線段的比值問題．該解法借助純平面幾何知識，利用一個(gè)從初中生的視角都可以得以解決的方法來處理，簡單易懂，直觀有效．

3變式拓展

通過以上模擬題及其解析過程，無論是解三角形思維或平面幾何思維，其中求解線段BD的長度是問題的重點(diǎn)與關(guān)鍵所在，直接變換問題的求解方式，可以得到與之相關(guān)的對應(yīng)以下兩個(gè)變式問題．

【變式1】在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，若∠ABC=∠CAD=45°，AD=2，△ACD的面積為1+22，則BD=．

答案：263．

【變式2】在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，若∠ABC=∠CAD=45°，AD=2，△ACD的面積為1+22，則∠BAD的正弦值為．

答案：63．

4技巧總結(jié)

對于以上此類解三角形問題中的求值問題或創(chuàng)新應(yīng)用問題，解決的主要技巧方法有以下兩種思維：

（1） 解三角形思維，利用解三角形中的正弦定理、余弦定理，以及三角恒等變換公式等求出三角形的邊或角．不過利用正弦定理、余弦定理的方法，需要根據(jù)條件選擇合適的三角形進(jìn)行求解，往往數(shù)學(xué)運(yùn)算量比較大，有時(shí)可以通過構(gòu)造直角三角形等方式來簡化運(yùn)算，此法是解決此類問題的基本方法.

（2） 平面幾何思維，利用平面幾何知識求出三角形中的相關(guān)線段長或角度等．平面幾何法在處理平面幾何中的線段長、方面相對比較便利，只是往往需要正、余弦定理作為輔助來完成，也需要有一定的平面幾何功底．

以上兩種技巧方法中，解決問題各有優(yōu)勢，解三角形思維側(cè)重邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，平面幾何思維側(cè)重直觀分析與邏輯推理，可以根據(jù)具體情況合理選擇.有時(shí)也可以是兩種技巧方法加以合理融合與交叉，綜合應(yīng)用與處理問題．

在實(shí)現(xiàn)問題的解決與操作時(shí)，有時(shí)還可以結(jié)合平面向量的方法、平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建法等來分析與處理，也可以達(dá)到解決問題的目的．