摘要：三元最值問題一直倍受高考數(shù)學(xué)命題者的青睞.這種問題能較好地交匯相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，融合數(shù)學(xué)知識(shí)、思想與能力，同時(shí)條件多變，情境創(chuàng)新，靈活變通，可以很好地拓展思維與反映數(shù)學(xué)能力．本文將結(jié)合一道模擬題的多解思維，一題多解，多向變式與規(guī)律總結(jié)，引領(lǐng)并指導(dǎo)教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)．

關(guān)鍵詞：最值；基本不等式；三角換元；柯西不等式

相比較于雙元最值問題，三元最值問題在問題維度、深度與難度等方面都有一定的提升，是近年高考、競(jìng)賽等數(shù)學(xué)試卷中的一個(gè)常見題型與熱點(diǎn)問題，根據(jù)變?cè)拇螖?shù)、系數(shù)、運(yùn)算符號(hào)以及對(duì)應(yīng)的表達(dá)關(guān)系式等，可以與眾多其他相關(guān)知識(shí)加以交匯與融合，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)與數(shù)學(xué)基本能力等的全方位考查．

1問題呈現(xiàn)

【問題1】（2022—2023學(xué)年廣東省深圳高級(jí)中學(xué)（集團(tuán)）高三（上）第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷）已知正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1，則5－8xyz的最小值為（）.

A． 6B． 5C． 4D． 3

此題以三元正實(shí)數(shù)的平方和為確定常數(shù)這個(gè)條件來創(chuàng)設(shè)問題情境，通過三元所對(duì)應(yīng)的分式關(guān)系式的最值來創(chuàng)新設(shè)置.同時(shí)，分式關(guān)系式不具有對(duì)稱性與輪換性，給問題的破解提供了更多的障礙，設(shè)置了更多的困難．

2問題破解

方法1：二次利用基本不等式法

解析：由于正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1，

由基本不等式，得1－z2=x2+y2≥2xy，即－2xy≥z2－1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立，

則有5－8xy≥5+4（z2－1）=4z2+1.

由基本不等式，得5－8xyz≥4z2+1z=4z+1z≥24z×1z=4，當(dāng)且僅當(dāng)4z=1z，即x=y=64，z=12時(shí)等號(hào)成立.

所以5－8xyz的最小值為4，故選擇答案：C．

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件與所求結(jié)論，其中變量x，y的“地位”相同，第一次利用基本不等式時(shí)，視變量z為“靜止”的常值，結(jié)合關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，再恢復(fù)變量z的變量身份.第二次再對(duì)于利用基本不等式來得到最值．在解決多元最值問題時(shí)，經(jīng)常采用相關(guān)的常值與變量的變化關(guān)系和不等式來進(jìn)行分析與求解．

方法2：三角換元法——單角參

解析：由于正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1，可得x2+y2=1－z2，

結(jié)合三角換元，可得x=1－z2cosθ，y=1－z2sinθ，θ∈0，π2.

則有5－8xyz=5－8（1－z2）sinθcosθz=5－4（1－z2）sin2θz≥5－4（1－z2）z=4z2+1z≥24z2×1z=4，當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1且4z2=1，即x=y=64，z=12時(shí)等號(hào)成立.

所以5－8xyz的最小值為4，故選擇答案：C．

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件與所求結(jié)論，其中變量x，y的“地位”相同，視變量z為“靜止”的常值，再進(jìn)行三角換元處理，根據(jù)所求代數(shù)式的三角關(guān)系式的變形，利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行放縮處理，進(jìn)而恢復(fù)變量z的變量身份，利用基本不等式來得到最值．該解法巧妙綜合三角換元與基本不等式的綜合應(yīng)用，切實(shí)可行地確定對(duì)應(yīng)多變?cè)鷶?shù)式的最值問題．

方法3：三角換元法——雙角參

解析：由于正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1，

利用三角換元可設(shè)x=cosαsinθ，y=sinαsinθ，z=cosθ，其中α，θ∈0，π2.

那么5－8xyz=5－8sinαcosαsin2θcosθ=5－4sin2αsin2θcosθ≥5－4sin2θcosθ=5－4（1－cos2θ）cosθ=1+4cos2θcosθ=1cosθ+4cosθ≥21cosθ×4cosθ=4，當(dāng)且僅當(dāng)sin2α=1且1cosθ=4cosθ，即x=y=64，z=12時(shí)等號(hào)成立.

所以5－8xyz的最小值為4，故選擇答案：C．

解后反思：對(duì)三元平方和的關(guān)系式通過兩個(gè)角參的引入來進(jìn)行三角換元處理，結(jié)合所求代數(shù)關(guān)系式的三角恒等變換，利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)以及基本不等式來進(jìn)行合理放縮處理，進(jìn)而得以確定相應(yīng)的最值問題．這里利用三角換元法的關(guān)鍵就是對(duì)三元平方和的關(guān)系式的兩角參的換元處理，這也是破解問題的關(guān)鍵與重點(diǎn)所在．

3變式拓展

保留題目三元正實(shí)數(shù)的平方和為確定常數(shù)這一條件，結(jié)合對(duì)不同思維視角變形能力的考查，在原來問題的基礎(chǔ)上，從拓展變形以及綜合變形等多個(gè)視角展開，可以得到一些相關(guān)的創(chuàng)新性應(yīng)用問題．

3.1拓展變形

【變式1】已知正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1，則1x2+2y2+1y2+2z2+1z2+2x2的最小值為．

解析：根據(jù)題意，由于正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1，分解可得（x2+2y2）+（y2+2z2）+（z2+2x2）=3（x2+y2+z2）=3.

由柯西不等式，得［（x2+2y2）+（y2+2z2）+（z2+2x2）］1x2+2y2+1y2+2z2+1z2+2x2≥

x2+2y2×1x2+2y2+y2+2z2×1y2+2z2

+z2+2x2×1z2+2x22=9，當(dāng)且僅當(dāng)x2+2y2=y2+2z2=z2+2x2，即x=y=z=33時(shí)等號(hào)成立.

變形可得1x2+2y2+1y2+2z2+1z2+2x2≥3，即1x2+2y2+1y2+2z2+1z2+2x2的最小值為3.

故填答案：3．

3.2綜合變形

【變式2】已知正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1，則S=1+zxy+1z的最小值是（）.

A． 2+32B． 3+22

C． 3+23D． 4+32

解析：由于正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1，

由基本不等式，得1－z2=x2+y2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立，

則有1－z2≥2xy，即1－z2xy≥2.

又由題意，得0＜z＜1，0＜1－z＜1，則有1+zxy≥21－z，

那么S=1+zxy+1z≥21－z+1z=1+zz（1－z），z∈（0，1）.

令函數(shù)f（z）=1+zz（1－z），z∈（0，1），求導(dǎo)可得f′（z）=z2+2z－1（z－z2）2，

令f′（z）=0，解得z=2－1（z=－2－1舍去），

則當(dāng)z∈（0，2－1）時(shí)，f′（z）lt;0，此時(shí)函數(shù)f（z）單調(diào)遞減；當(dāng)z∈（2－1，1）時(shí)，f′（z）gt;0，此時(shí)函數(shù)f（z）單調(diào)遞增.

故f（z）min=f（2－1）=3+22，故選擇答案：B．

4規(guī)律總結(jié)

保留題目創(chuàng)新情境，將問題中的常數(shù)加以一般性處理，在原來特殊數(shù)字基礎(chǔ)上，進(jìn)一步挖掘規(guī)律，歸納總結(jié)得到更具一般性的創(chuàng)新性結(jié)論．

【結(jié)論】已知正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1，則n2+1－2n2xyz（n∈N*）的最小值為2n．

證明：正數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2=1，

由基本不等式，得1－z2=x2+y2≥2xy，即－2xy≥z2－1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立，

所以n2+1－2n2xy≥n2+1+n2（z2－1）=n2z2+1.

由基本不等式，得n2+1－2n2xyz≥n2z2+1z=n2z+1z≥2n2z×1z=2n，當(dāng)且僅當(dāng)n2z=1z，即x=y=n2－22n，z=1n時(shí)等號(hào)成立.

所以n2+1－2n2xyz的最小值為2n．

其實(shí)，以上結(jié)論中，當(dāng)n=2時(shí)，即為問題呈現(xiàn)中的原問題，此時(shí)所求的代數(shù)關(guān)系式的最小值為2n=4．進(jìn)而，改變?cè)摻Y(jié)論中對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，又可以得到不同的創(chuàng)新應(yīng)用問題．

5教學(xué)啟示

5.1方法歸納，目標(biāo)轉(zhuǎn)化

解決三元最值問題，最常用的思維方式就是“降元”處理，將三元問題轉(zhuǎn)化為雙元問題，具體方法有：消元處理、三角換元、變換主元、整體思維等.總而言之利用“降維”，轉(zhuǎn)化為雙元最值問題來處理，是處理此類問題時(shí)最為常見的基本思維方式．

5.2挖掘內(nèi)涵，素養(yǎng)提升

解決此類不具有對(duì)稱性或輪換性的三元（或三元以上）最值問題，關(guān)鍵在于構(gòu)建題設(shè)條件與所求結(jié)論之間聯(lián)系的橋梁，挖掘條件本質(zhì)，深入問題實(shí)質(zhì)，合理邏輯推理，巧妙數(shù)學(xué)運(yùn)算，整合不同知識(shí)點(diǎn)，綜合不同技巧方法，融合不同數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)、思想、方法與能力等各方面素養(yǎng)全方位的落實(shí)與提升，并達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通．

參考文獻(xiàn)：

［1］ 叢婉瑩.胡永建.一類代數(shù)式的最值及相關(guān)不等式［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，53（12）：56-58.

［2］ 單墫.數(shù)學(xué)競(jìng)賽研究教程［M］.南京：江蘇教育出版社，1993.