摘要：高考對(duì)數(shù)列部分的考查主要以基礎(chǔ)知識(shí)為主，同時(shí)考查學(xué)生的運(yùn)算求解、邏輯思維等能力，多數(shù)為基本題型及基本思想方法.學(xué)生常把數(shù)列定位為容易題，造成先入為主、思維定式、理解不透、關(guān)系不明、運(yùn)算不清等問(wèn)題.本文從這些問(wèn)題角度出發(fā)，談?wù)剬W(xué)生在解決數(shù)列解答題時(shí)容易出現(xiàn)的問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：解題目標(biāo)；邏輯推理；理解誤區(qū)

高考對(duì)于數(shù)列內(nèi)容的考查一般是1道小題，1道解答題，分值約為15—17分. 數(shù)列選擇題、填空題一般屬于基礎(chǔ)題或中檔題，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及基本量的運(yùn)算.解答題一般也處于基礎(chǔ)題或中檔題的位置，考查考生對(duì)基本知識(shí)與基本技能的掌握，以及對(duì)知識(shí)的基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性的掌握.考查內(nèi)容常以數(shù)列的遞推關(guān)系或項(xiàng)與和的關(guān)系為背景，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和的問(wèn)題.也經(jīng)常出現(xiàn)與日常生活實(shí)例或數(shù)學(xué)文化有關(guān)的問(wèn)題，主要考查考生的邏輯思維、運(yùn)算求解等能力，這時(shí)對(duì)學(xué)生要求較高，甚至?xí)霈F(xiàn)在壓軸題的位置.

筆者結(jié)合以下幾個(gè)例子，談?wù)剬W(xué)生在解決數(shù)列解答題時(shí)，出現(xiàn)的先入為主、思維定式、理解不透、關(guān)系不明、運(yùn)算不清等問(wèn)題.

1先入為主

例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*.

（1） 設(shè)bn=Sn－3n，求bn；

（2） 若an+1≥an，n∈N*，求a的范圍．

【試題立意】本題以數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系為載體，考查數(shù)列的遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式的求法、數(shù)列中的不等式恒成立問(wèn)題．

【理解誤區(qū)】關(guān)于以數(shù)列前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系為載體的問(wèn)題，同學(xué)們似乎更習(xí)慣聯(lián)立相減，將和化為項(xiàng)來(lái)處理，題目條件給出的是數(shù)列{an}，于是就想辦法先求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，此舉表明在解題時(shí)缺乏明確的目標(biāo)指向，有先入為主的感覺(jué)，以第（1）問(wèn)為例．

錯(cuò)解：（并不錯(cuò)誤，只是偏繁）

（1） 因?yàn)閍1=a，an+1=Sn+3n，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－1+3n－1，故an+1=2an+2×3n－1，所以an+1－2×3n=2（an－2×3n－1），n≥2，

因?yàn)閍2=a+3，所以當(dāng)a－3≠0時(shí)，an+1－2×3nan－2×3n－1=2，所以{an－2×3n－1}從第2項(xiàng)起，成公比為2的等比數(shù)列，所以an+1－2×3n=（a－3）×2n－1，n∈N*，故Sn=an+1－3n=（a－3）×2n－1+3n，所以bn=Sn－3n=（a－3）×2n－1，當(dāng)a－3=0時(shí)，an+1－2×3n=0，故Sn=an+1－3n=3n，所以bn=Sn－3n=0．

綜上，bn=（a－3）×2n－1．

正解：因?yàn)閍1=a，an+1=Sn+3n，所以Sn+1－Sn=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，所以Sn+1－3n+1=2（Sn－3n），故bn+1=2bn，當(dāng)b1=S1－3=a－3≠0時(shí)，{bn}是以a－3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，即bn=（a－3）×2n－1．當(dāng)a－3=0時(shí)，bn=b1=0．

綜上，bn=（a－3）×2n－1．

【解題回顧】不難發(fā)現(xiàn)，第（2）問(wèn)與數(shù)列{bn}無(wú)關(guān)，所以設(shè)計(jì)數(shù)列{bn}的目的，應(yīng)該是為求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式服務(wù)的，暗示了數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式更容易求得或理解為數(shù)列{bn}為特殊數(shù)列．

2思維定式

例2已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿(mǎn)足：an+2=2an+1+3an.

（1） 證明：數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列；

（2） 若a1=12，a2=32，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

【試題立意】本題以等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列的遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式的求法．

【理解誤區(qū)】在成功解決第（1）問(wèn)后，結(jié)合第（2）問(wèn)的a1與a2，得an+1+an=2×3n－1．當(dāng)同學(xué)們看到an+1+an的表達(dá)式時(shí)，聯(lián)立相減得an+2－an的表達(dá)式，再分奇偶累加求和，此舉憑經(jīng)驗(yàn)下手，俗稱(chēng)思維定式，以第（2）問(wèn)為例．

錯(cuò)解：（并不錯(cuò)誤，只是偏繁）

由（1）知，an+1+an=2×3n－1，所以an+2+an+1=2×3n，相減得an+2－an=4×3n－1．當(dāng)n為奇數(shù)且n≥3時(shí)，由a3－a1=4×30，a5－a3=4×32，……，an－an－2=4×3n－3，所以an－a1=4×（30+32+…+3n－3）=4×1－9n－121－9=3n－1－12，因?yàn)閍1=12，所以an=3n－12，n=1時(shí)，也符合；

當(dāng)n為偶數(shù)且n≥4時(shí)，由a4－a2=4×31，a6－a4=4×33，……，an－an－2=4×3n－3，所以an－a2=4×（31+32+…+3n－3）=4×3×1－9n－221－9=3n－1－32，因?yàn)閍2=32，所以an=3n－12，n=2時(shí)，也符合.

綜上：an=3n－12．

正解：因?yàn)閍n+1+an=2×3n－1，所以an+1－12×3n=－（an－12×3n－1），又因?yàn)閍1=12，所以a1－12×30=0，所以an－12×3n－1=0，所以an=3n－12．

【解題回顧】同學(xué)們?cè)诮鉀Q第（2）問(wèn)時(shí)，更多的是依賴(lài)于解題經(jīng)驗(yàn)，如之前可能解決過(guò)形如an+1+an=3n之類(lèi)的遞推關(guān)系，聯(lián)立相減后得到奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，分類(lèi)處理最終得數(shù)列的通項(xiàng)公式．

殊不知an+1+an=2×3n－1也屬于an+1=pan+qn型遞推關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列或常數(shù)列（當(dāng)p≠q時(shí)）或等差數(shù)列（當(dāng)p=q時(shí)）處理效果更好．當(dāng)然，命題老師給出的條件a1=12，a2=32，其實(shí)是為了給出第1，2兩項(xiàng)之和，給大家造成了分奇偶討論的誤導(dǎo)．

再解：

因?yàn)閍n+2=2an+1+3an，設(shè)an+2+λan+1=μ（an+1+λan），所以μ－λ=2，

λμ=3，故μ=3，

λ=1或μ=－1，

λ=－3，即an+2－3an+1=－（an+1－3an）．又因?yàn)閍1=12，a2=32，所以a2－3a1=0，故an+1－3an=0，則an+1an=3，所以an=3n－12．

3理解不透

例3記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知na1+（n－1）a2+…+an=2Sn－1．

證明：（1） {Sn}為等比數(shù)列；

（2） 1a1+2a2+…+nanlt;7．

【試題立意】本題以數(shù)列前n項(xiàng)和與等比數(shù)列為載體，考查等比數(shù)列的證明、數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法以及錯(cuò)位相減法求和．

【理解誤區(qū)】由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)公式時(shí)需要考慮n≥2及n=1兩種情形，再檢驗(yàn)n=1時(shí)是否也能符合一般形式．多數(shù)情況是n=1時(shí)能符合一般式子，所以導(dǎo)致少數(shù)同學(xué)認(rèn)為檢驗(yàn)多此一舉，容易忽略檢驗(yàn)，這里我們以第（2）問(wèn)為例．

錯(cuò)解：由（1）知，{Sn}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以Sn=2n－1，故an=Sn－Sn－1=2n－1－2n－2=2n－2．令Tn=1a1+2a2+…+nan，則Tn=12－1+220+…+n2n－2，所以12Tn=120+221+…+n2n－1，所以12Tn=12－1+120+…+12n－2－n2n－1=4－42n－n2n－1，所以Tn=8－8+4n2n．顯然n≥5時(shí)，Tngt;7與證明的不等式矛盾．

正解：由Sn=2n－1，故當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=2n－1－2n－2=2n－2．而a1=S1=1，所以an=1，n=1，

2n－2，n≥2.所以Tn=1+220+…+n2n－2=12－1+220+…+n2n－2－1，所以Tn=7－8+4n2nlt;7，得證．

【解題回顧】當(dāng)n=1時(shí)，不符合，導(dǎo)致通項(xiàng)公式錯(cuò)誤，對(duì)后續(xù)問(wèn)題的解決有決定性的影響．對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，同學(xué)們更多理解為是老師對(duì)于規(guī)范的強(qiáng)調(diào)，并沒(méi)有從問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行理解，理解不透導(dǎo)致對(duì)問(wèn)題的忽視．

4關(guān)系不明

例4已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，an+1=an+1，n為奇數(shù)，

an+2，n為偶數(shù).

（1） 記bn=a2n，寫(xiě)出b1，b2，并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；

（2） 求an的前20項(xiàng)和．

【試題立意】本題以數(shù)列遞推公式為載體，考查數(shù)列通項(xiàng)公式與數(shù)列求和．

【理解誤區(qū)】對(duì)于數(shù)列中交叉型遞推關(guān)系，學(xué)生易形成某些個(gè)人習(xí)慣，有的喜歡用漢字奇偶書(shū)寫(xiě)，有的喜歡寫(xiě)成n=2k與n=2k+1，k∈N*．兩者只是書(shū)寫(xiě)形式不同，但是會(huì)有學(xué)生存在較明顯的心理暗示，能有效理解自己習(xí)慣的那種表達(dá)，對(duì)另一個(gè)存在抵觸情緒，導(dǎo)致關(guān)系代入錯(cuò)誤，我們以第（1）問(wèn)為例．

錯(cuò)解：（1） 由題設(shè)可得b1=a2=a1+1=2，b2=a4=a3+1=a2+2+1=5．

由bn+1=a2n+2=a2n+1+2=a2n+1+2=a2n+3=bn+3，知bn+1－bn=3，又b1=2，所以bn為首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，故bn=2+（n－1）×3=3n－1．

正解：其實(shí)bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3=bn+3，一步之差，但反映關(guān)系就是錯(cuò)誤的，表面上結(jié)果沒(méi)有影響，但已導(dǎo)致整題后續(xù)不得分．

【解題回顧】對(duì)于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，進(jìn)而求其通項(xiàng)公式．學(xué)生們要學(xué)會(huì)對(duì)條件進(jìn)行觀察、比較、分析、抽象與概括，會(huì)用演繹、歸納和類(lèi)比等進(jìn)行推理．命題老師設(shè)置先寫(xiě)出b1，b2，其實(shí)就是在幫助大家理清關(guān)系，然后再代入．如果命題老師沒(méi)有設(shè)置先求b1，b2，作為數(shù)列題目而言，從特殊情況歸納發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，也是處理數(shù)列問(wèn)題的常見(jiàn)方法．

5運(yùn)算不清

例5已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足a1=1，b1=0，4an+1=3an－bn+4，4bn+1=3bn－an－4.

（1） 證明：an+bn是等比數(shù)列，an－bn是等差數(shù)列；

（2） 求an和bn的通項(xiàng)公式．

【試題立意】本題以數(shù)列遞推公式為載體，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和數(shù)列通項(xiàng)公式．

【理解誤區(qū)】對(duì)于數(shù)列的一些運(yùn)算，特別是與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式相關(guān)的指數(shù)型的運(yùn)算，有時(shí)我們會(huì)犯錯(cuò)，我們以第（2）問(wèn)為例．

錯(cuò)解：由（1）知an+bn是首項(xiàng)為1，公比為12的等比數(shù)列，an－bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．所以an+bn=12n－1，an－bn=2n－1．故an=12［（an+bn）+（an－bn）］=12n－1+2n－12=12n－2+n－12，且bn=12［（an+bn）－（an－bn）］=12n－1－2n+12=12n－2－n+12．

正解：實(shí)際上an=12［（an+bn）+（an－bn）］=12n－1+2n－12=12n+n－12，

bn=12［（an+bn）－（an－bn）］=12n－1－2n+12=12n－n+12．

【解題回顧】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，及通項(xiàng)公式的求法，屬于容易題.正由于同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí)比較順手，導(dǎo)致思想上麻痹大意，就會(huì)更容易犯上述錯(cuò)誤．所以在遇到指數(shù)型運(yùn)算時(shí)，大家更需謹(jǐn)慎，當(dāng)然我們可以通過(guò)驗(yàn)證a1=1，b1=0是否符合來(lái)檢驗(yàn)通項(xiàng)公式正確與否．

通過(guò)以上五個(gè)案例，點(diǎn)明了同學(xué)們?cè)诮鉀Q數(shù)列問(wèn)題時(shí)可能存在的誤區(qū)，旨在引導(dǎo)大家重視數(shù)列的思維過(guò)程．