摘要：可轉(zhuǎn)債是構(gòu)建固收+策略重要的投資品種，對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行合理定價(jià)并挖掘投資價(jià)值是投資者高度關(guān)注的話題。本文探索對(duì)可轉(zhuǎn)債采用量化模型中的B-S公式法、LSM法進(jìn)行研究，并構(gòu)造了結(jié)合定價(jià)因子、溢價(jià)率因子和質(zhì)量因子的復(fù)合因子用于模型，以此制定投資策略。通過(guò)數(shù)據(jù)回溯，發(fā)現(xiàn)該策略整體有效。

關(guān)鍵詞：可轉(zhuǎn)債定價(jià) B-S模型 LSM模型 復(fù)合因子

概論

1992年11月，我國(guó)第一只可轉(zhuǎn)債“寶安轉(zhuǎn)債”上市。自2017年起，可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)進(jìn)入快速發(fā)展期。萬(wàn)得（Wind）數(shù)據(jù)顯示，截至2022年12月31日，我國(guó)可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)存量達(dá)8388.23億元，較年初規(guī)模增加1384.65億元，交易量也大幅上漲。

可轉(zhuǎn)債兼具股性和債性，進(jìn)可攻退可守，是固收+策略重要的投資品種。對(duì)可轉(zhuǎn)債定價(jià)進(jìn)行拆分，可將其視為債底與期權(quán)外加一系列條款的組合，而對(duì)于債底與期權(quán)的定價(jià)，學(xué)術(shù)界有著豐富的模型參考。本文嘗試使用較為主流的B-S公式法與最小二乘蒙特卡洛（LSM）模擬方法對(duì)轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)。同時(shí)，在LSM定價(jià)模型中加入條款因素，力求接近現(xiàn)實(shí)情況。為論證定價(jià)模型的有效性，先構(gòu)建定價(jià)因子進(jìn)行初步檢驗(yàn)，后代入策略進(jìn)行進(jìn)一步分析檢驗(yàn)。

本文汲取過(guò)往可轉(zhuǎn)債的投資經(jīng)驗(yàn)，對(duì)雙低策略中通常采用的價(jià)格因子與溢價(jià)率因子進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)價(jià)格因子并不有效，而溢價(jià)率因子經(jīng)過(guò)因子檢驗(yàn)后表現(xiàn)為有效。此外，為了滿足投資者對(duì)于穩(wěn)健性的要求，本文加入質(zhì)量因子以衡量公司質(zhì)量，降低回撤的同時(shí)盡可能在一定程度上降低債券的違約風(fēng)險(xiǎn)。

可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型及因子選擇

對(duì)于可轉(zhuǎn)債的定價(jià)方式，目前市場(chǎng)關(guān)注的核心在于對(duì)其中所蘊(yùn)含期權(quán)價(jià)值的估計(jì)。而對(duì)于可轉(zhuǎn)債期權(quán)價(jià)值的定價(jià)，B-S公式法與LSM法是兩種值得研究的定價(jià)方式。

（一）B-S公式法定價(jià)模型

B-S公式泛指基于布萊克-斯科爾斯（Black-Scholes）偏微分方程的期權(quán)價(jià)值解析式。B-S公式在可轉(zhuǎn)債定價(jià)上最大的特點(diǎn)是將債底價(jià)值與期權(quán)價(jià)值分開(kāi)計(jì)算，其中純債價(jià)值使用現(xiàn)金流貼現(xiàn)進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于轉(zhuǎn)股部分，將其看成一個(gè)普通的看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)求解，最終可轉(zhuǎn)債價(jià)值為兩部分相加的總和。

C=SN（d1）-Xe-r（T-t）N（d2）

其中，S為當(dāng)前股票價(jià)格，X為轉(zhuǎn)股價(jià)格，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，T為到期期限，σ為股票的波動(dòng)率。將上述公式計(jì)算得到的期權(quán)估值C與債券價(jià)值相加可得到可轉(zhuǎn)債的估價(jià)?？赊D(zhuǎn)債在發(fā)行時(shí)已給出其每一期的付息情況，結(jié)合發(fā)行時(shí)長(zhǎng)（一般為5年或6年），可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的純債價(jià)值情況：

其中，i對(duì)應(yīng)每一期的到期期限，而折現(xiàn)率y使用的利率后文會(huì)詳細(xì)討論。對(duì)于B-S定價(jià)方法，通常有兩個(gè)維度可以加以理解。

一是根據(jù)定價(jià)原理，該模型可以看作SN（d1）與Xe-r（T-t）N（d2）之和，可以理解為一份認(rèn)購(gòu)權(quán)證的價(jià)值與N（d1）份正股和Xe-r（T-t）N（d2）元無(wú)息貸款的組合價(jià)值。

二是從權(quán)證到期收益的角度看，權(quán)證的價(jià)值由其到期日以及每個(gè)時(shí)限的折價(jià)決定。但是到期時(shí)正股價(jià)格的不確定性決定了權(quán)證收益的不確定性。假設(shè)到期時(shí)正股價(jià)格為S，則到期時(shí)認(rèn)購(gòu)權(quán)證的價(jià)格為S-X。那么在到期前的任一時(shí)刻t，需要推算認(rèn)購(gòu)權(quán)證到期時(shí)正股價(jià)為S的概率，同時(shí)將行權(quán)價(jià)格按折現(xiàn)率貼現(xiàn)為時(shí)刻t的現(xiàn)值。因此，該定價(jià)模型可以理解為在任一時(shí)刻t，認(rèn)購(gòu)權(quán)證到期時(shí)正股價(jià)格為S的概率為N（d1）。按照貼現(xiàn)的結(jié)果，Xe-r（T-t）為行權(quán)價(jià)格在時(shí)刻t的現(xiàn)值，同時(shí)N（d2）為概率。因此，在任一時(shí)刻t，該期權(quán)給投資者帶來(lái)的綜合收益為SN（d1）-Xe-r（T-t）N（d2）。

B-S公式法最顯著的優(yōu)點(diǎn)是方便、快速，運(yùn)行的穩(wěn)定性高，實(shí)時(shí)性強(qiáng)，因此經(jīng)常被用在各類(lèi)實(shí)時(shí)監(jiān)控的情景之中。在這類(lèi)情景中，對(duì)于可轉(zhuǎn)債的定價(jià)也基本只有B-S模型能夠正常運(yùn)行。

但是在使用過(guò)程中，B-S公式法存在以下問(wèn)題：理論上B-S公式的r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，但是在這里更好的選擇是使用同等級(jí)、同期限的信用債收益率，因?yàn)樵贐-S期權(quán)定價(jià)推導(dǎo)過(guò)程中，假定在買(mǎi)入期權(quán)做空正股的對(duì)沖完成之后組合沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)。但對(duì)于可轉(zhuǎn)債來(lái)說(shuō)，這樣的組合要承擔(dān)債券發(fā)行人的信用風(fēng)險(xiǎn)。可轉(zhuǎn)債本身先是債，后是股。一旦違約，連債底帶轉(zhuǎn)股期權(quán)都將不復(fù)存在。此外，B-S公式法最大的缺點(diǎn)是過(guò)于簡(jiǎn)單，強(qiáng)行將可轉(zhuǎn)債的股性與債性割裂并分別重新估值，沒(méi)有考慮贖回、下修和回售等條款的博弈，而這些條款的博弈是轉(zhuǎn)債的重要組成部分，失去對(duì)這部分的估計(jì)對(duì)于可轉(zhuǎn)債估值來(lái)說(shuō)有重大影響。因此，對(duì)可轉(zhuǎn)債條款博弈有“信仰”的投資者們不建議使用B-S公式法進(jìn)行定價(jià)。

（二）LSM法

LSM法可以簡(jiǎn)單概括為先正向模擬股價(jià)變動(dòng)，再按照類(lèi)似二叉樹(shù)的方法逆向?qū)ζ跈?quán)價(jià)值倒推求解，其中倒推是基于最小二乘估計(jì)的方法。

LSM法的優(yōu)缺點(diǎn)與B-S公式法定價(jià)恰好相反。其優(yōu)點(diǎn)在于可以考慮贖回、下修、回售等條款的情況，而其缺點(diǎn)在于運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)、時(shí)效性不強(qiáng)。

通常來(lái)說(shuō)，LSM法定價(jià)步驟如下：

一是模擬出大量股票的價(jià)格路徑，通常來(lái)說(shuō)模擬次數(shù)在1萬(wàn)次以上。

二是假設(shè)在沒(méi)有回售等條款的情況下，計(jì)算到期日可轉(zhuǎn)債的價(jià)值。

三是利用最小二乘法進(jìn)行倒推，在倒推回的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，可以比較股價(jià)情況與是否觸發(fā)贖回、回售等條款情況，并計(jì)算轉(zhuǎn)股價(jià)值與債券價(jià)值，判斷二者高低，較大者為當(dāng)前的可轉(zhuǎn)債價(jià)值。

四是類(lèi)似二叉樹(shù)的情況，倒推出所有節(jié)點(diǎn)的債券價(jià)值，進(jìn)而估算出當(dāng)前時(shí)間節(jié)點(diǎn)的可轉(zhuǎn)債價(jià)值。

其中股價(jià)模擬采用的數(shù)學(xué)表達(dá)式為經(jīng)典蒙特卡洛模擬數(shù)學(xué)表達(dá)式：

St+?t=Ste（r -σ2/2）?t +σε√?t， ε∈N（0， 1）

LSM法將可轉(zhuǎn)債的剩余期限T分成N個(gè)相同的時(shí)間間隔，共N+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，在這些節(jié)點(diǎn)上需要在后續(xù)過(guò)程中確定可轉(zhuǎn)債價(jià)格。利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生N個(gè)股票價(jià)格隨機(jī)數(shù)，分別為S1，S2，…， SN，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的模型如上所示。其中，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，σ為波動(dòng)率，?t為時(shí)間間隔，可按需求自行選擇。若按年算，則1年大致有250個(gè)交易日。St為當(dāng)期模擬價(jià)格，St+?t為下一時(shí)間節(jié)點(diǎn)的價(jià)格，?為加入的隨機(jī)變量服從

N（0，1）正態(tài)分布，從而達(dá)到隨機(jī)模擬的效果。在編程實(shí)現(xiàn)上，同時(shí)需要加入的參數(shù)為模擬次數(shù)，可根據(jù)計(jì)算機(jī)的算力自行選擇，但次數(shù)不宜過(guò)少，推薦在1萬(wàn)次以上，這樣最后的結(jié)果會(huì)更加準(zhǔn)確。

在T時(shí)刻，比較到期贖回價(jià)和可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)股價(jià)值的大小，從而確定在一系列時(shí)刻T可轉(zhuǎn)債的價(jià)值，并貼現(xiàn)到前一時(shí)刻。比較前一時(shí)刻各條路徑的轉(zhuǎn)股價(jià)與股價(jià)，將股價(jià)高于轉(zhuǎn)股價(jià)的路徑記錄下來(lái)，記為Z。利用最小二乘法的邏輯，對(duì)之前T時(shí)刻可轉(zhuǎn)債價(jià)值貼現(xiàn)到T-Δt時(shí)刻的值建立回歸方程，求出在T-Δt時(shí)刻繼續(xù)持有可轉(zhuǎn)債的價(jià)值，將T-Δt時(shí)刻的轉(zhuǎn)股價(jià)值與當(dāng)前節(jié)點(diǎn)繼續(xù)持有可轉(zhuǎn)債的價(jià)值作比較，較高者即為T(mén)-Δt時(shí)刻可轉(zhuǎn)債的價(jià)值。然后不斷重復(fù)以上步驟，倒推至期初，最終得到的結(jié)果是類(lèi)似于期望的概念，這樣就能很好地解決可轉(zhuǎn)債的路徑依賴(lài)問(wèn)題。LSM法還可具體分析每條路徑每個(gè)時(shí)點(diǎn)是否會(huì)觸發(fā)贖回、回售、下修等條款，從而對(duì)具有美式期權(quán)特性的可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)。在程序編制過(guò)程中，甚至能結(jié)合模擬股價(jià)的情況，為下修、贖回等條款賦予概率，更為完美地解決了路徑依賴(lài)問(wèn)題。

（三）溢價(jià)率定價(jià)因子

對(duì)于可轉(zhuǎn)債投資策略來(lái)說(shuō)，目前市場(chǎng)上應(yīng)用最廣泛且操作性最強(qiáng)的是雙低策略，此外還有搶權(quán)配售、下修博弈、“攤大餅”等策略。所謂雙低策略，是指選擇價(jià)格與溢價(jià)率均較低的可轉(zhuǎn)債買(mǎi)入持有，屬于一種防守型策略。通常來(lái)講，高溢價(jià)率、高價(jià)格的可轉(zhuǎn)債處于行業(yè)龍頭地位，在牛市中常見(jiàn)，而雙低可轉(zhuǎn)債的債性強(qiáng)，股性也不弱，是防守反擊的典范。本文經(jīng)過(guò)因子檢測(cè)之后，發(fā)現(xiàn)對(duì)于其中的可轉(zhuǎn)債價(jià)格因子，在輪動(dòng)1個(gè)月、2個(gè)月、3個(gè)月的時(shí)間內(nèi)均處于失效狀態(tài)，相反低溢價(jià)率因子卻非常有效。所以在本文中選用溢價(jià)率因子，放棄價(jià)格因子。

（四）質(zhì)量因子

加入質(zhì)量因子，主要是考慮到銀行理財(cái)子公司等投資風(fēng)格較為穩(wěn)健的機(jī)構(gòu)往往對(duì)風(fēng)險(xiǎn)更為敏感，高質(zhì)量公司的可轉(zhuǎn)債經(jīng)營(yíng)情況良好、違約風(fēng)險(xiǎn)較低，更符合這類(lèi)機(jī)構(gòu)的投資風(fēng)格。

關(guān)于質(zhì)量因子的構(gòu)建，主要基于Asness（2019）提出的質(zhì)量減去垃圾（Quality Minus Junk，QMJ）因子，Asness將質(zhì)量因子拆分為盈利、增長(zhǎng)、安全3個(gè)維度，將其在多個(gè)國(guó)際市場(chǎng)上進(jìn)行檢驗(yàn)并發(fā)現(xiàn)有效。本文將原質(zhì)量因子的各個(gè)子因子在我國(guó)債券市場(chǎng)進(jìn)行數(shù)據(jù)回測(cè)（回測(cè)時(shí)間為2019年1月至2022年7月），發(fā)現(xiàn)其中4個(gè)子因子顯示無(wú)效，其余9個(gè)子因子相對(duì)有效，最終合成的質(zhì)量因子如圖1所示。

（五）因子合成及擇券方式

模型最終納入的因子包括溢價(jià)率因子、定價(jià)因子、質(zhì)量因子。其中，質(zhì)量因子構(gòu)成如圖1所示；溢價(jià)率因子采用轉(zhuǎn)股溢價(jià)率；傳統(tǒng)的價(jià)格因子單純使用可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)價(jià)格，而本文中的定價(jià)因子為可轉(zhuǎn)債價(jià)格與可轉(zhuǎn)債定價(jià)之差，其構(gòu)成

如下：

定價(jià)因子=可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)價(jià)格-可轉(zhuǎn)債定價(jià)

可轉(zhuǎn)債定價(jià)因子的IC值（信息系數(shù)，越大表明因子效果越好）為0.016，接近0.02，且分組測(cè)試效果尚佳，雙重排序檢測(cè)有效，在最后的策略中表現(xiàn)不錯(cuò)，由此認(rèn)定有效。最終策略所包含的3個(gè)因子為：

合成因子=溢價(jià)率因子+定價(jià)因子+質(zhì)量因子

因子的最終得分為因子初始得分經(jīng)過(guò)z-score標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化方式為：

rx=rank（x）

即先將初始因子得分排序，將排序得分標(biāo)準(zhǔn)化，分別對(duì)以上3個(gè)因子進(jìn)行此操作，再將最后的合成因子標(biāo)準(zhǔn)化，得到最終得分。

得到每只可轉(zhuǎn)債的最終得分后，分別選取得分為前10只、20只、40只的可轉(zhuǎn)債，在1個(gè)月、2個(gè)月、3個(gè)月的持倉(cāng)時(shí)間進(jìn)行輪動(dòng)，回測(cè)統(tǒng)計(jì)各項(xiàng)指標(biāo)。

回測(cè)結(jié)果分析

為使結(jié)果清晰、準(zhǔn)確，本文采用中證轉(zhuǎn)債指數(shù)與回測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在2019年1月至2022年7月，中證轉(zhuǎn)債指數(shù)走勢(shì)良好，累計(jì)收益率為41.82%，回撤為12%左右。

（一）B-S公式法定價(jià)策略回溯結(jié)果

采用B-S公式法，輪動(dòng)天數(shù)分別為1個(gè)月、2個(gè)月、3個(gè)月的模型回測(cè)結(jié)果如表1所示。

（二）LSM法定價(jià)策略回溯結(jié)果

采用LSM法求得的定價(jià)因子與質(zhì)量因子、溢價(jià)率因子合并得到復(fù)合因子，利用復(fù)合因子進(jìn)行擇券，回測(cè)得到的結(jié)果如表2所示。

通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，對(duì)于調(diào)倉(cāng)時(shí)間間隔較短的調(diào)倉(cāng)策略來(lái)說(shuō)，B-S定價(jià)方式所取得的收益率略?xún)?yōu)于LSM定價(jià)方式，在回撤控制方面，LSM定價(jià)方式優(yōu)于B-S。當(dāng)調(diào)倉(cāng)時(shí)間加長(zhǎng)之后，LSM定價(jià)方式的累計(jì)收益率與回撤控制情況均優(yōu)于B-S定價(jià)方式。綜合來(lái)看，LSM定價(jià)方式優(yōu)于B-S定價(jià)方式，原因可能是加入條款的約束后，定價(jià)結(jié)果得到修正，使得最后的結(jié)果更加平滑。圖2、圖3展示了LSM定價(jià)方式滾動(dòng)40天、擇券10只的結(jié)果與滾動(dòng)60天、擇券20只的結(jié)果，時(shí)間區(qū)間為2019年1月至2022年7月。在該區(qū)間，中證轉(zhuǎn)債指數(shù)整體處于上行趨勢(shì)中。

由圖2、圖3可知，在中證轉(zhuǎn)債指數(shù)上行過(guò)程中，通過(guò)策略對(duì)個(gè)券進(jìn)行選擇可以明顯增厚收益，累計(jì)收益率上漲。在回撤控制方面，兩種策略在2022年上半年的回撤與中證轉(zhuǎn)債指數(shù)相比并無(wú)顯著差異，可見(jiàn)在大環(huán)境因素作用下，擇券策略對(duì)降低風(fēng)險(xiǎn)的有效性同步降低。

結(jié)論

本文驗(yàn)證了可轉(zhuǎn)債定價(jià)因子的有效性，同時(shí)結(jié)合雙低策略中的溢價(jià)率因子和重構(gòu)的質(zhì)量因子合成最終因子，用于可轉(zhuǎn)債投資策略。通過(guò)2019年至2022年7月的數(shù)據(jù)回測(cè)，主要得到以下結(jié)論。

其一，對(duì)于可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型來(lái)說(shuō)，采用加入條款博弈的LSM法整體優(yōu)于傳統(tǒng)的B-S公式法，主要表現(xiàn)為累計(jì)收益率的提升與回撤的降低。

其二，通過(guò)定價(jià)因子、質(zhì)量因子、溢價(jià)率因子合成的復(fù)合因子，用于投資策略后策略收益表現(xiàn)顯著優(yōu)于中證轉(zhuǎn)債指數(shù)，能夠在取得更高收益的同時(shí)降低回撤。在外部環(huán)境的多重負(fù)面因素作用下，本文策略仍面臨一定的失效風(fēng)險(xiǎn)，在外部環(huán)境積極向好的背景下，本文策略能夠有效增厚收益。

其三， LSM法并未能完全模擬現(xiàn)實(shí)可轉(zhuǎn)債條款的觸發(fā)情況，特別是在強(qiáng)贖將要觸發(fā)或是回售將要觸發(fā)時(shí)，雖然在模擬路徑上可以計(jì)算其結(jié)果，但對(duì)觸發(fā)之前的投資者心理博弈不能完全模擬。條款博弈的復(fù)雜性、自然人投資者的投機(jī)性很可能導(dǎo)致模型無(wú)法完全準(zhǔn)確。在現(xiàn)實(shí)中，可轉(zhuǎn)債因轉(zhuǎn)股價(jià)下修而價(jià)格暴漲或者因臨近贖回而價(jià)格暴跌的情況時(shí)有發(fā)生，特別是在低溢價(jià)率情況下，觸發(fā)條款情況更為頻繁。所以在策略運(yùn)行期間，需要尤其關(guān)注下修風(fēng)險(xiǎn)與贖回風(fēng)險(xiǎn)，可進(jìn)行一定的人為干預(yù)，從而達(dá)到增厚收益的目的。

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