朱文瑞

(安徽財經(jīng)大學(xué) 馬克思主義學(xué)院,安徽 蚌埠 233030)

維特根斯坦是20世紀(jì)數(shù)一數(shù)二的大哲學(xué)家。不過,單就他的數(shù)學(xué)哲學(xué)來說,不少論者對其可靠性抱有疑問。在懷疑的一方看來,維特根斯坦似乎并未就數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的建構(gòu)提供更多思路,而這應(yīng)該是數(shù)學(xué)哲學(xué)的核心課題;在同情方看來,維特根斯坦的數(shù)學(xué)哲學(xué)被低估了。饒富意味的是,維特根斯坦本人倒將數(shù)學(xué)哲學(xué)看作他一生的主要貢獻(xiàn)。他由工程接觸數(shù)學(xué)原理,再將它們勾連到一般哲學(xué)問題。他更愿從數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)教學(xué)等方向理解數(shù)學(xué),而尤為警惕那類建構(gòu)純粹數(shù)學(xué)的設(shè)想。在他看來,這類設(shè)想脫胎自傳統(tǒng)哲學(xué)的數(shù)學(xué)理解,哲學(xué)須得借意義辨析澄清這類理解,所瞄準(zhǔn)的應(yīng)是“數(shù)學(xué)對象”“數(shù)學(xué)命題”這類設(shè)想,它們是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本預(yù)設(shè),也是哲學(xué)須得批判的一類基本觀念。前期維特根斯坦對這類基本觀念的批判別具效力,參照這類批判方式,我們將對數(shù)學(xué)哲學(xué)本性有更好的理解。

一、反柏拉圖主義

前期維特根斯坦數(shù)學(xué)哲學(xué)或可放到數(shù)學(xué)對象的實(shí)在性與數(shù)學(xué)命題的真理性下討論。貝納塞拉夫與普特南在20世紀(jì)60年代編輯出版的《數(shù)學(xué)哲學(xué)》中就框定了這兩類論題。兩位編者還設(shè)計了“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”專題。所謂數(shù)學(xué)基礎(chǔ),當(dāng)然是一類現(xiàn)代論題。這一論題源于現(xiàn)代以來知識界對于基礎(chǔ)概念的討論,討論的內(nèi)容涉及各門科學(xué)的對象、范圍及界限,當(dāng)然還有知識的分類及各類知識的基礎(chǔ)。而就數(shù)學(xué)對象實(shí)在性與數(shù)學(xué)命題真理性這兩類論題來論,它們更為古遠(yuǎn),且與我們關(guān)于數(shù)學(xué)的一般理解頗為親近,將其選為廓清前期維特根斯坦數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本論題更易展現(xiàn)其數(shù)學(xué)哲學(xué)的哲學(xué)意義。

數(shù)學(xué)對象實(shí)在性與數(shù)學(xué)命題真理性的考察由來已久,就此我們很容易想到數(shù)學(xué)中的柏拉圖主義。柏拉圖主義名下聚集著一批獨(dú)具特色的數(shù)學(xué)理解方式,諸如數(shù)學(xué)對象是可定義的,數(shù)學(xué)命題是關(guān)于數(shù)學(xué)對象性質(zhì)的陳述等。

而維特根斯坦所要辨析的是“數(shù)學(xué)對象”“數(shù)學(xué)命題”這類概念組合的意義,所要考察的是將對象、命題這類概念移植到整個數(shù)學(xué),從而用以界說數(shù)學(xué)并由此發(fā)展出某套數(shù)學(xué)哲學(xué)是不是有意義的。這種哲學(xué)運(yùn)思方向充分展現(xiàn)了他由之出發(fā)的分析哲學(xué)視角。意義問題是分析哲學(xué)的主導(dǎo)問題,唯在分析哲學(xué)中,意義才成了哲學(xué)討論首當(dāng)澄清的概念,其他概念辨析工作的種種走向系于哲學(xué)家對“意義概念的定義與界限”所持的種種觀點(diǎn)。

厘清前期維特根斯坦數(shù)學(xué)哲學(xué),一方面須得參照數(shù)學(xué)哲學(xué)所論及問題的哲學(xué)史淵源,這主要在于他雖未做過專門的哲學(xué)史研究,但深厚的文化修養(yǎng)與直面?zhèn)鹘y(tǒng)哲學(xué)問題核心的洞察力,使得他始終緊扣傳統(tǒng)哲學(xué)下移到一般科學(xué)與日常生活中的基本觀念。另一方面,對于維特根斯坦哲學(xué)運(yùn)思方式的現(xiàn)代淵源也要充分考慮。他對于意義概念的辨析以及日常概念與哲學(xué)概念相結(jié)合之概念組合的意義辨析頗具分析哲學(xué)本色,我們只消提到他對“一個對象”這類日常概念與哲學(xué)概念組合的無意義的辨析就可識見這一點(diǎn)。唯當(dāng)這樣兩相對照,我們才能進(jìn)入他所思數(shù)學(xué)哲學(xué)問題的深處。

二、數(shù)學(xué)對象

維特根斯坦從事哲學(xué)之初做過期盼:如果關(guān)于函式的句法規(guī)則能夠被完全建立起來,那么關(guān)于事物、性質(zhì)的理論將會是多余的[1]49。所謂關(guān)于事物、性質(zhì)的理論,大體是傳統(tǒng)哲學(xué)的核心問題及其發(fā)展出來用以處理這類問題的哲學(xué)方法。傳統(tǒng)哲學(xué)通過辨析事物這一概念從而劃分出事物存在的不同層級,較低級的一般是感覺層面的事物,進(jìn)而進(jìn)到理性層面,諸如某類數(shù)學(xué)上的事物,更高級的事物則是理念之類。這是我們熟悉的柏拉圖對于一般事物的劃分,也是其對科學(xué)研究對象的劃分,如一類科學(xué)處理諸如線、三角形這類對象,另一類科學(xué)處理理念這類對象。

我們看到,傳統(tǒng)上數(shù)學(xué)對象的建立實(shí)則是以某種一般的事物理論為基礎(chǔ)的,其對于數(shù)學(xué)對象之為對象的理解是參照成形的關(guān)于一般對象之理解的。這也正是數(shù)學(xué)哲學(xué)的形而上學(xué)根源。這一根源提示我們,建立對于數(shù)學(xué)的一般理解不妨以成熟的事物理論為基礎(chǔ),這正是維特根斯坦一開始所懷疑的。

諸如“數(shù)學(xué)有對象嗎”“數(shù)是一個對象嗎”這類問題,總是傳統(tǒng)上用來把捉數(shù)學(xué)、把捉數(shù)的發(fā)問模式,維特根斯坦并未急于給出非此即彼的回答,而是辨析將對象這一概念發(fā)展為理解數(shù)學(xué)及其內(nèi)部概念的特定方式的意義?！叭绻袛?shù)學(xué)的對象——邏輯常項(xiàng)——的話,那么命題‘我吃5個李子’就會是一個數(shù)學(xué)命題了?！盵1]104這里實(shí)則是在辨析將對象概念不加限定地套用至數(shù)學(xué)概念所帶來的思想混亂。依照上述設(shè)想,他并未拘泥于發(fā)展某類關(guān)于事物、對象的理論,而是致力于厘清函式的句法規(guī)則。這可以視作后來《邏輯哲學(xué)論》中宣稱哲學(xué)不從事理論建構(gòu)的思想緣起。

前期維特根斯坦思想的發(fā)蒙者弗雷格、羅素等,從事數(shù)學(xué)原理研究之際,都把對象與數(shù)概念的定義及數(shù)學(xué)命題的意義勾連起來。維特根斯坦出于邏輯自治的考慮摒棄了前者的設(shè)想,全從運(yùn)算的角度處理數(shù)的定義以及數(shù)學(xué)命題的證明,他不從事關(guān)于某種數(shù)學(xué)對象的理論建構(gòu),而是專從運(yùn)算所需要依循的有效規(guī)則方面來考慮數(shù)學(xué)的本性。“數(shù)學(xué)是邏輯的一種方法。數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)特征在于使用方程式”[1]255,諸如數(shù)學(xué)歸納法、演繹法這類數(shù)學(xué)方法并不存在,運(yùn)算規(guī)則并不從歸納來,而運(yùn)算亦不是演繹抑或某種推理。

數(shù)學(xué)對象的實(shí)在性以及數(shù)學(xué)對象的可定義性這類設(shè)想是哲學(xué)借以把捉數(shù)學(xué)本性的傳統(tǒng)方式,早期分析哲學(xué)家也都接受這類概念組合方式來理解數(shù)學(xué)。弗雷格在定義數(shù)概念之際曾提示:“人們很容易解釋說:如果沒有對象處于一個概念之下,那么0這個數(shù)就屬于這個概念。但是這里似乎是具有相同意謂的‘沒有’替代了0;因此下面的說法更好一些:無論a是什么,如果a不處于一個概念之下這個句子是普遍有效的,那么0這個數(shù)就屬于這個概念?！盵2]將“0”“1”這類數(shù)學(xué)概念設(shè)想成對象的類,這是早期分析哲學(xué)家發(fā)展數(shù)概念定義的一般傾向,而維特根斯坦完全從形式層面給出“數(shù)的概念是數(shù)的一般形式”“數(shù)是運(yùn)算的次數(shù)”這類定義,純粹從程序算法方向界說“數(shù)”,消解了從邏輯推理方向定義“數(shù)”所生出的不必要哲學(xué)設(shè)定。前期維特根斯坦對“數(shù)”的定義實(shí)則是祛除了從前哲學(xué)家對推理過程中定義與命題的區(qū)分,將傳統(tǒng)上“數(shù)”的定義與數(shù)學(xué)命題的構(gòu)造一并注入運(yùn)算程序,所謂“命題的一般形式是運(yùn)算一般形式的特例”[1]21。這對西方數(shù)學(xué)自歐幾里得以降重推理、輕運(yùn)算的傳統(tǒng)不啻是一反撥,或有論者將其同后來數(shù)學(xué)中運(yùn)算理論的發(fā)展對照著看。

維特根斯坦哲學(xué)一向有前后期之分,諸如前期重邏輯,后期重語法。而就從事數(shù)學(xué)哲學(xué)的一貫方法來看,他“前期”似乎已然注目于“數(shù)”“數(shù)學(xué)”概念日常用法及意義的考察,諸如在《邏輯哲學(xué)論》中,他呼吁面對一個數(shù)學(xué)概念時,應(yīng)當(dāng)詢問我們?yōu)槭裁从盟?。這類詢問可以幫助我們看到哲學(xué)上襲用的諸如數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)命題這類組合是怎樣產(chǎn)生的,它們的生活淵源如何。由此,我們可以洞見將對象、命題這類概念不加限定地套用到數(shù)學(xué)上將會造成怎樣的混亂。哲學(xué)家將數(shù)的定義與事物/對象勾連這層傾向有著深厚的日常生活淵源:數(shù)是用來數(shù)東西的。如數(shù)學(xué)家柯朗所說:“數(shù)6是從所有包含六個東西的實(shí)際集合中抽象出來的。對兒童來說,數(shù)通常總是同實(shí)際對象聯(lián)系在一起的?！盵3]維特根斯坦對于“數(shù)學(xué)對象”這一概念組合的意義辨析一開始瞄準(zhǔn)的是它的一般觀念基礎(chǔ),是我們理解數(shù)學(xué)一開始容易滑入的傾向。這類傾向妨害了數(shù)學(xué)/邏輯自治,造成了所謂“多余的理論”。

三、數(shù)學(xué)命題

前期維特根斯坦批判了傳統(tǒng)哲學(xué)所謂“算術(shù)命題”“數(shù)學(xué)命題”這類設(shè)想。他反對諸如“將數(shù)學(xué)命題看作關(guān)于數(shù)學(xué)對象的一般陳述”這類主張。他運(yùn)思的大方向是著意澄清命題概念的多種意義及其意義界限,這番澄清又都聚焦在對諸如“邏輯命題”“科學(xué)命題”“數(shù)學(xué)命題”這類傳承下來的概念組合的意義辨析之下。前期維特根斯坦對“數(shù)學(xué)命題”這類組合的無意義的澄清主要參照其成熟的命題學(xué)說,將命題看成真值函式,后來再發(fā)展一套關(guān)于真值函式的句法規(guī)則,將那些“多余”的理論與設(shè)定摒棄,這就自然使得由“數(shù)學(xué)命題”這一組合出發(fā)的多種哲學(xué)設(shè)定喪失了必要。如羅素從事數(shù)學(xué)原理研究之初做過的那種設(shè)想,“純粹數(shù)學(xué)是這樣一類集合,其中命題皆可表示成‘p蘊(yùn)含q’這一形式,而p、q這類命題又都包含變項(xiàng)與邏輯常項(xiàng)”[4],據(jù)此,他還想將“1+1=2”這類“算術(shù)命題”改寫成包含變項(xiàng)與邏輯常項(xiàng)的形式,最終獲得某一重言式而使“算術(shù)命題”得到證明。維特根斯坦后來批評這一設(shè)想時說“完全的重言式是算術(shù)的運(yùn)用,而不是它的證明”[5],這是提示算術(shù)命題的證明甚或“算術(shù)命題”這一設(shè)想始終是成疑問的。

我們?nèi)詮母拍钍返姆较蚩创八阈g(shù)命題”“數(shù)學(xué)命題”這類設(shè)想及其生出的諸多疑竇。就數(shù)學(xué)論,命題一詞最初更多用于談及定理。談及定理有兩個方面:一方面,定理一般是被證明了的;另一方面,定理一般是關(guān)于被構(gòu)造出來的對象的。我們只消提到幾何學(xué)中的畢達(dá)哥拉斯定理、三角形內(nèi)角和定理就可識見這點(diǎn)。我們把襲用的定理一詞同諸如“1+1=2”勾連起來,大致就是在提醒,“1+1=2”也應(yīng)當(dāng)作為定理被確定下來。一方面,“1+1=2”這類命題應(yīng)當(dāng)被證明;另一方面,“1”“=”這類數(shù)學(xué)對象應(yīng)當(dāng)被構(gòu)造出來。出于這層考慮,我們傾向于把“1+1=2”寫成像是包含著證明的形式,如從“1+1”推出“2”,再展開,構(gòu)造一套推理過程。這里包藏一類設(shè)想,數(shù)學(xué)命題應(yīng)當(dāng)是由概念構(gòu)成的。數(shù)學(xué)命題的證明須得依托嚴(yán)格且系統(tǒng)的概念定義,而概念的定義又須使得它在系統(tǒng)內(nèi)部處處一致。由此,數(shù)學(xué)命題的真理性同數(shù)學(xué)概念的定義緊密相連,而數(shù)學(xué)概念的意義又同數(shù)學(xué)對象的實(shí)在性緊密相連。

前期維特根斯坦澄清這類哲學(xué)設(shè)想的基本方向是辨析概念的組合是否生出意義上的越界與混亂。由此,他直面的是把命題、定理同“1+1=2”勾連起來的設(shè)想,是“1+1=2這個命題”“算術(shù)命題”“數(shù)學(xué)命題”這樣的概念組合。這就提醒我們,不是一開始就就著“1+1=2”“2+2=4”“2×2=4”來學(xué)命題這個詞。我們不說“2+2=4這個命題”,我們說“2+2=4這個式子/算式/等式”。把“命題”同“2+2=4”勾連起來當(dāng)是哲學(xué)創(chuàng)造,且這項(xiàng)創(chuàng)造暗合數(shù)學(xué)家的心意。經(jīng)過17世紀(jì)、18世紀(jì)的大發(fā)展,數(shù)學(xué)匯聚了成片的新思想、新概念,這些新思想新概念能不能相容,這是數(shù)學(xué)內(nèi)部生出的問題。另外,怎樣把古代數(shù)學(xué)同近代數(shù)學(xué)整合起來,新數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)應(yīng)當(dāng)怎樣,這類問題也都層層生發(fā)。到19世紀(jì),數(shù)學(xué)家也成片經(jīng)營這類問題,它們一般被攬入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)原理、純粹數(shù)學(xué)名下討論。

康德討論純粹數(shù)學(xué)如何可能時,一開始就給定“7+5=12”這樣的“算術(shù)命題”。在康德看來,“7+5=12”肯定是成判斷、成命題的。他把“7+5”理解成“七這個概念加上五這個概念……從它們只能分析出它們的和是一個數(shù)這樣的概念,而不能分析出是哪個數(shù)……先有7這個數(shù),再通過直觀,把合成5這個數(shù)的單位一個一個加到7上,這樣得到12這個數(shù)”[6]。從這一方向看,康德將“+”理解成“累加”就是把“+”看成了關(guān)乎某種被感官感知出來的先后順序的記號。弗雷格反對康德意義上的直觀,警惕滑入數(shù)學(xué)的心理成分,但他接受了后者“算術(shù)命題”這一提法,將諸如“7+5=12”這個算術(shù)命題中的“=”理解成同一性,即“=”這一符號的意義是同一。將“+”這一記號理解成累加,將“=”這一記號理解成同一性,將“7+5=12”這一等式理解成命題……這當(dāng)是維特根斯坦所要批判的,其批判的方向在于辨析我們所受“加”“等于”這類日常概念用法的蠱惑以及它們由之生義的原本上下文。

四、數(shù)學(xué)證明

前期維特根斯坦對“數(shù)學(xué)命題”這一設(shè)想的批判首先關(guān)乎其對記號這一概念所做的意義辨析。在維特根斯坦看,我們用命題記號表達(dá)思想。一方面,命題記號可以被感官感知;另一方面,命題記號是可能事件/世界的投影。對“2+2”“7+5”這類記號的形形色色的“看”不關(guān)乎事件/世界的可能,諸如“2+2”“7+5”這類表達(dá)式不是命題記號,不表達(dá)思想,而所謂直觀只是我們理解我們說的“一加一”“七加五”這樣的語言的“看”的過程的描述。倘若我們將這里的“=12”理解成“產(chǎn)生/得到12”,那么我們一開始就不必學(xué)2、3、4……這樣的數(shù),只學(xué)“1”與“+”就足夠了,因?yàn)橹灰庇^提供了“1+1=2”這類算術(shù)命題的真理性,2、3、4……就都可以一個一個產(chǎn)生/得到。我們當(dāng)然不是從一開始給定的諸如1、2這類數(shù)借著累加得到更多數(shù)的。

維特根斯坦不容邏輯/數(shù)學(xué)自治與科學(xué)界限有一絲一毫混淆,這一點(diǎn)結(jié)晶在他從事哲學(xué)之初所錘煉的“邏輯須得關(guān)心自己”這一警句之中。為此他發(fā)展出《邏輯哲學(xué)論》中的命題學(xué)說,力主唯命題記號表達(dá)事件/世界的可能性,唯命題具有意義,“～”“→”這類記號不具有意義。由此,將“肯定”看成“雙重否定”不是在說后者是否定的“累加”,而是說表達(dá)式具有相同的成真基礎(chǔ)。而“+”“=”一度被理解成“累加”“同一性”,好像它們具有實(shí)在性,且應(yīng)當(dāng)被構(gòu)造出來。就此,維特根斯坦這樣論證,諸如“7+5”抑或“12”這類表達(dá)式,知道了它們的意謂,也就知道了它們所意謂的是不是同一的,這里沒有弗雷格等設(shè)想的“推出”“(同一性的)斷定”,也沒有能被寫成“推出”形式的諸如“7+5=12”這類“算術(shù)命題”?！八阈g(shù)命題”原本是等式,而“=”這一記號指的是兩個不同的表達(dá)式,抑或兩個不同的記號具有同一意謂,且在運(yùn)算過程中可以相互置換,諸如“1+1”與“2”,“a”與“b”。從記號用法的方向看,我們用“a=b”同我們用“三角形a、b中線交點(diǎn)與b、c中線交點(diǎn)是同一的”初衷不同。我們用“a=b”不是為了一般地表示算術(shù)、幾何、邏輯,抑或科學(xué)中總能被說成是“同一”的那些命題,諸如弗雷格引為援助的“晨星與暮星是同一的”。應(yīng)當(dāng)說,“a=b”有特定用法,我們解方程用b替換a,抑或最終得出“a=b”。這里的“a=b”不是推出的,而是依循規(guī)則將方程轉(zhuǎn)換為“a=b”的形式。我們也可依循規(guī)則將“a=b”轉(zhuǎn)換為另一形式。方程要求從各個方向上展開運(yùn)算,這是笛卡兒早就設(shè)想的。

維特根斯坦提醒,命題僅只包含命題的意義被表達(dá)的可能性,而不包含命題的意義,而這層可能性總要借著我們“看(感知)”命題記號才能展現(xiàn)出來。而被看作“算術(shù)命題”“數(shù)學(xué)命題”的諸如“1+1=2”“7+5=12”實(shí)則不關(guān)乎可能事件/世界,等式置換與數(shù)學(xué)運(yùn)算過程中的“看(感知)”也不是對事物/對象,抑或自然/實(shí)在的感知,這里所需的“看(感知)”首先是對記號的感知。維特根斯坦更愿將數(shù)學(xué)命題同邏輯命題而非科學(xué)命題歸作一類,將數(shù)學(xué)視作科學(xué)不如將數(shù)學(xué)視作邏輯,將數(shù)學(xué)命題視作可充分分析至簡單命題層面的復(fù)雜命題不如將數(shù)學(xué)命題視作等式及基于所設(shè)定規(guī)則的等式置換。由此,維特根斯坦“證明”了諸如“2×2=4”這類“算術(shù)命題”?！拔┦苓壿嬤\(yùn)算的一般理論語言框定的‘Ωt′x=Ωs′x’這一等式被證明,‘t=s’這類數(shù)的同一式才是算術(shù)定理?！薄哆壿嬚軐W(xué)論》就“2×2=4”所做證明實(shí)則是將“2×2=4”轉(zhuǎn)換成Ω2×2′x=Ω4′x。證明“2×2=4”并不以2、4這類數(shù)概念以及“×”“=”這類記號的定義為前提,而是將其轉(zhuǎn)換成一套運(yùn)算語言,這套運(yùn)算語言脫出傳統(tǒng)事物、性質(zhì)理論,將“數(shù)的算術(shù)翻譯成運(yùn)算的一般理論”[7]。當(dāng)然,此套語言記號僅為規(guī)制數(shù)學(xué)過程的一個有效方向,然而,語言效力并不僅限于數(shù)學(xué)與邏輯,20世紀(jì)哲學(xué)發(fā)展業(yè)已揭示“語言問題……不復(fù)是一個認(rèn)識論與經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的問題”[8]。以此觀之,語言研究包含了更為廣闊的跨學(xué)科與交叉學(xué)科發(fā)展空間,必將為21世紀(jì)人類生活本質(zhì)與趨向的闡釋提供更為本真的視野。

五、反邏輯主義

早期分析哲學(xué)主要致力于提供算術(shù)概念的定義以及算術(shù)命題的證明。一方面,數(shù)及“0”這類算術(shù)概念應(yīng)當(dāng)獲得定義。另一方面,“2+2=4”“2×2=4”這類算術(shù)命題應(yīng)當(dāng)獲得證明。這兩方面設(shè)想,一般放到算術(shù)基礎(chǔ)名下討論。算術(shù)哲學(xué)主要考察算術(shù)概念的實(shí)在性與算術(shù)命題的真理性。這兩類考察又系于“算術(shù)基礎(chǔ)”這一設(shè)想,而算術(shù)本身又可視作現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。由此,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這類設(shè)想也就層層發(fā)生。這一設(shè)想要在設(shè)定數(shù)學(xué)本身是一種科學(xué),而不是算術(shù)、代數(shù)、幾何、微積分這種種學(xué)科的籠統(tǒng)概括。數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)具有某種內(nèi)部一致性,這就要求各門學(xué)科之間必須處處一致、處處相容。在維特根斯坦看來,且不論這種一致性是否能夠獲得,單就這種不加限定地將數(shù)學(xué)視作一種科學(xué)的設(shè)想已然妨害了正當(dāng)理解數(shù)學(xué)。前期維特根斯坦將數(shù)學(xué)理解成一套依循特定規(guī)則的運(yùn)算系統(tǒng),它也成了那些以自然/實(shí)在為研究對象的科學(xué)的界限,或者說,數(shù)學(xué)顯示了界限。

模糊界限抑或越界都會造成誤解,諸如康德、弗雷格等要求數(shù)學(xué)、邏輯如科學(xué)般致力于“增加知識”。出于這層考慮,他們不滿于前人所謂純粹數(shù)學(xué)命題是分析命題的觀點(diǎn)?？档碌牟粷M在于數(shù)學(xué)命題應(yīng)當(dāng)包含直觀,不能只是主詞自說自話;弗雷格的不滿在于數(shù)學(xué)命題應(yīng)當(dāng)是符號意義同一的集中展現(xiàn)(這里他摒棄直觀,植入推理,將數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)對象設(shè)想成是構(gòu)造的)。從維特根斯坦方向看,邏輯命題與數(shù)學(xué)命題都不屬于數(shù)學(xué)。前者屬于邏輯,后者不是命題。二者又都不同于科學(xué)命題,不必考察命題之外的事實(shí),只需“看”命題記號就可得出“真”“假”。當(dāng)然,數(shù)學(xué)命題不是命題,自然談不上真假,能夠談的是某則運(yùn)算是不是合乎規(guī)則,某個置換是不是被規(guī)則所容許,某個等式能不能置換成另一個等式。

羅素將《邏輯哲學(xué)論》認(rèn)作天才之作,但他仍對其中或明或暗與邏輯主義抵牾之處表示了疑慮。弗雷格則干脆承認(rèn)讀不懂,他讀到《邏輯哲學(xué)論》之初就事實(shí)、事態(tài)做出的區(qū)分就停住了,遑論深究。前期維特根斯坦并不熱衷羅素類型論抑或還原公理,不過,仍可將其數(shù)的定義視作對弗雷格、羅素符號語言的發(fā)展,從形式化方向看,他比后者走得更遠(yuǎn),“‘函式’‘?dāng)?shù)’表示形式概念,在概念文字中當(dāng)用變項(xiàng),而非函式或類來表示”[9]。從大方向看,維特根斯坦接納了自弗雷格以來邏輯主義者將“算術(shù)”“數(shù)學(xué)”及“邏輯”看作“語言”的設(shè)想,將“意義”“句法”這類用作語言理解的概念移植入數(shù)學(xué)、邏輯,從而問及諸如“數(shù)學(xué)命題的意義”“函式的句法規(guī)則”。對這類問題的考察使得維特根斯坦最終脫開了“從邏輯推出數(shù)學(xué)”邏輯主義主線,摒棄了對邏輯主義至關(guān)重要的諸如“數(shù)學(xué)對象”“數(shù)學(xué)命題”這類基本概念組合。前期維特根斯坦的數(shù)學(xué)哲學(xué)更接近他終身奉為圭臬的赫茲在物理學(xué)原理上的工作,與赫茲發(fā)展新的概念框架以祛除牛頓體系傳承下來所謂“力”這一概念對照,也在發(fā)展新的概念框架以祛除弗雷格、羅素等邏輯主義者累積下來的諸如“推理”“對象”這類哲學(xué)概念。