簡 杰 ，郭 彪 ，李 強(qiáng) ，李 肖 ，宋久鵬 ，張 羽 ，敖進(jìn)清 ，黃 勇

1) 西華大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院,成都 610039 2) 吉?jiǎng)P恩(霸州)金屬粉末有限公司,廊坊 065701

粉末冶金工藝（powder metallurgy，PM）是一種高效、綠色、環(huán)保的機(jī)械零件制造近凈成形技術(shù)[1]，被廣泛應(yīng)用于汽車、飛機(jī)、軌道交通等制造領(lǐng)域[2-4]。然而，經(jīng)傳統(tǒng)壓制、燒結(jié)的粉末冶金制品具有一定的孔隙，不能達(dá)到高強(qiáng)度零件的使用要求。燒結(jié)后的熱加工可以提高粉末冶金制品的相對密度，從而改善其力學(xué)性能[5-6]。因此，粉末冶金材料在高溫塑性加工過程中的熱變形行為受到了廣泛關(guān)注。

在研究金屬材料熱變形行為時(shí)，其抗斷裂能力與熱變形流動(dòng)規(guī)律往往是關(guān)注的重點(diǎn)。金屬材料的抗斷裂能力可以通過斷裂功來評估。采用拉應(yīng)力-應(yīng)變積分法計(jì)算的斷裂功能綜合反映金屬材料在塑性變形過程中的損傷容限。Rodriguez 等[7]研究了應(yīng)變速率和溫度對AZ31B 鎂合金拉伸斷裂特征的影響并計(jì)算了其斷裂功，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在150 ℃附近和所有應(yīng)變速率下，試樣的斷裂功均有明顯的最大值，這與應(yīng)變速率和溫度對損傷積累的影響有關(guān)。Guo 等[8]通過單軸拉伸試驗(yàn)，研究了溫度和應(yīng)變速率對Al-Zn-Mg-Cu 合金斷裂行為的影響，發(fā)現(xiàn)應(yīng)變率敏感性系數(shù)在200 ℃顯著上升，斷裂功在室溫和100 ℃時(shí)隨應(yīng)變率的增加而急劇波動(dòng)。

本構(gòu)模型作為研究材料熱變形規(guī)律的一種重要方法，能夠表征材料熱加工時(shí)的流變特征，預(yù)測材料塑性變形過程的流變應(yīng)力，為有限元模擬提供重要的理論基礎(chǔ)。構(gòu)建本構(gòu)模型的常用方法主要有唯象型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（artificial neural network，ANN）。目前常用的唯象本構(gòu)模型包括Arrhenius 型、Johnson-Cook 型與Hensel-Spittel 型[9-11]，其中Arrhenius本構(gòu)模型與Johnson-Cook 本構(gòu)模型對于研究粉末冶金材料熱變形行為有著廣泛的應(yīng)用。Meng 等[12]對粉末冶金制得的高溫鉬板進(jìn)行單軸熱拉伸測試，建立了應(yīng)變五階多項(xiàng)式的Arrhenius 本構(gòu)模型，得到了流變應(yīng)力的預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。Zhu等[13]采用Arrhenius 本構(gòu)模型建立了粉末冶金TiB2/7050A 的高溫壓縮流變模型，計(jì)算了該合金熱變形激活能為143.11 kJ/mol。Zygula 等[14]研究了粉末冶金Ti-10V-2Fe-3Al 亞穩(wěn)態(tài)合金在大范圍變形溫度和應(yīng)變速率下的壓縮過程，建立的Arrhenius 本構(gòu)模型較好地預(yù)測了流變應(yīng)力與變形溫度、應(yīng)變速率的關(guān)系。Qu 等[15]對粉末冶金V-5Cr-5Ti 棒材進(jìn)行等溫壓縮試驗(yàn)，建立了應(yīng)變補(bǔ)償?shù)腁rrhenius 本構(gòu)模型與修正的Johnson-Cook 本構(gòu)模型，對比發(fā)現(xiàn)，應(yīng)變補(bǔ)償?shù)腁rrhenius 本構(gòu)模型能在整個(gè)變形溫度范圍內(nèi)跟蹤實(shí)驗(yàn)值。Wang 等[16]對粉末冶金純鎢進(jìn)行熱壓縮試驗(yàn)，建立了基于Arrhenius 模型、Johnson-Cook 模型、修正Johnson-Cook 模型等多個(gè)本構(gòu)模型預(yù)測純鎢在高溫下的流變應(yīng)力，通過相關(guān)系數(shù)與平均絕對相對誤差評價(jià)了各模型的預(yù)測精度。但利用Hensel-Spittel 本構(gòu)模型研究粉末冶金材料熱變形行為的報(bào)道較少。

本文對粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼進(jìn)行高溫拉伸測試，獲得其在850～1000 ℃變形溫度、0.1、1.0、10.0 s-1應(yīng)變速率下的應(yīng)力應(yīng)變曲線，分析其高溫流變行為，計(jì)算其斷裂功，建立斷裂功與變形溫度、應(yīng)變速率的數(shù)學(xué)模型，并基于Hensel-Spittel 模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立其高溫流變本構(gòu)模型，并對兩種模型的預(yù)測精度進(jìn)行評價(jià)，以獲得更準(zhǔn)確的應(yīng)力、應(yīng)變速率、變形溫度以及應(yīng)變之間的關(guān)系。

1 實(shí)驗(yàn)材料及方法

將鐵粉、銅粉、石墨粉混合，并在數(shù)控液壓機(jī)上壓制，得到生坯；將生坯置于MXQ1700-40 型氮?dú)鈿夥諣t中，在1150 ℃保溫1 h 燒結(jié)，獲得Fe-2Cu-0.5C（質(zhì)量分?jǐn)?shù)，%）粉末冶金鋼燒結(jié)坯。利用阿基米德排水法測得燒結(jié)坯密度為7.2 g/cm3。經(jīng)機(jī)加工將燒結(jié)坯制成啞鈴型高溫拉伸試樣，在Gleeble-3500 型熱模擬機(jī)上以不同溫度（850、900、950、1000 ℃）和應(yīng)變速率（0.1、1.0、10.0 s-1）進(jìn)行高溫拉伸測試，直到試樣被拉斷。對高溫拉伸測試數(shù)據(jù)進(jìn)行有限元計(jì)算輔助修正，詳細(xì)修正過程見文獻(xiàn)[17]，得到修正后的真應(yīng)力-應(yīng)變曲線和實(shí)際應(yīng)變速率，即0.13、1.05、10.10 s-1。

2 結(jié)果與討論

2.1 應(yīng)力-應(yīng)變曲線分析

圖1 為不同應(yīng)變速率下粉末冶金Fe-2Cu-0.5C鋼的真應(yīng)力-真應(yīng)變關(guān)系曲線。在熱成形過程中，金屬的高溫塑性流變行為取決于加工硬化與動(dòng)態(tài)軟化的共同作用[18]。如圖所示，試樣在同一變形溫度和應(yīng)變速率下，應(yīng)力值隨應(yīng)變逐漸增加。這是因?yàn)樵跓嶙冃卧缙冢诲e(cuò)密度的迅速增加以及動(dòng)態(tài)軟化機(jī)制的受限，加工硬化作用占據(jù)主導(dǎo)地位。隨著試樣變形量的增大，試樣的軟化機(jī)制不斷增強(qiáng)，在硬化與軟化的相互作用下，曲線逐漸趨于平穩(wěn)。在同一應(yīng)變速率下，試樣從850 ℃到1000 ℃的最大應(yīng)力值依次減小。這是因?yàn)榻饘僭拥臒峄罨潭入S著溫度的升高而增強(qiáng)，導(dǎo)致位錯(cuò)、空位和晶界的遷移率增強(qiáng)，位錯(cuò)滑移和爬升也得到促進(jìn)，變形溫度升高進(jìn)一步增強(qiáng)了軟化機(jī)制，削弱了加工硬化機(jī)制，降低了流變應(yīng)力[19]。在同一溫度下，隨著應(yīng)變速率的增加，試樣的應(yīng)力不斷增大。這是因?yàn)檩^高的應(yīng)變速率會(huì)加快位錯(cuò)的增殖速度，引起位錯(cuò)強(qiáng)化，促使加工硬化作用增強(qiáng)，應(yīng)力值增加[20]。在不同溫度下，試樣的斷裂應(yīng)變也有差異。斷裂應(yīng)變是決定材料抗斷裂能力的重要力學(xué)參數(shù)，反應(yīng)了金屬材料的可塑性。在圖1 中，斷裂應(yīng)變隨應(yīng)變速率的變化不大，但隨著溫度的升高，斷裂應(yīng)變呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。這是由于變形溫度的升高導(dǎo)致試樣的動(dòng)態(tài)軟化作用增強(qiáng)，塑性增強(qiáng)，從而提高了斷裂應(yīng)變。但是，一旦變形溫度超過一定限度，材料的強(qiáng)度降低，使得材料容易斷裂，反而降低斷裂應(yīng)變。

圖1 不同應(yīng)變速率下粉末冶金Fe-2Cu-0.5C鋼真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線：（a）0.13 s-1；（b）1.05 s-1；（c）10.10 s-1Fig.1 True stress-true strain curves of the powder metallurgy Fe-2Cu-0.5C steels at the different strain rates: (a) 0.13 s-1; (b) 1.05 s-1; (c)10.10 s-1

2.2 斷裂功

斷裂功是指材料在塑性變形過程中因裂紋的擴(kuò)展而發(fā)生斷裂時(shí)，單位體積吸收的能量。斷裂功比斷裂應(yīng)變更全面地反應(yīng)了金屬材料在塑性變形過程中的抗損傷斷裂能力，可通過真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線下方的面積積分來計(jì)算[21]。對圖1 中各曲線積分，結(jié)果如圖2 所示。在同一應(yīng)變速率下，隨著溫度的升高，斷裂功先增大后減小，在900 ℃時(shí)達(dá)到峰值，此時(shí)試樣的抗斷裂性能最好。在同一溫度下，隨著應(yīng)變速率的增加，斷裂功不斷增大，這是因?yàn)檩^高應(yīng)變速率引起的加工硬化對試樣的抗斷裂能力有積極作用。因此，變形溫度與應(yīng)變速率對于粉末冶金鋼的抗損傷斷裂能力的影響不盡相同，在所測試的應(yīng)變速率和溫度下，試樣在變形溫度為900 ℃和應(yīng)變速率為10.10 s-1條件下表現(xiàn)出最好的抗斷裂能力。

圖2 斷裂功模型預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)測算值Fig.2 Fracture work values of the model prediction and the experimental calculation

基于上述分析，本文提出以下斷裂功模型來描述粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼斷裂功與變形溫度、應(yīng)變速率之間的關(guān)系，如式（1）所示。

式中：Wf為斷裂功，MJ/m3；a、b、c、d為待求參數(shù)；T為變形溫度，℃；為應(yīng)變速率，s-1。將不同溫度和應(yīng)變速率下共12 組數(shù)據(jù)代入式（1）進(jìn)行擬合求解得到式（2）。

數(shù)學(xué)模型預(yù)測結(jié)果如圖2 所示。從圖中可以看出，模型預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)測算的結(jié)果比較吻合，該模型可以表征粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼在本測試條件下的斷裂功與變形溫度、應(yīng)變速率之間的關(guān)系。因此，將所有溫度和應(yīng)變速率代入模型中計(jì)算，得到整個(gè)熱變形條件下的斷裂功預(yù)測結(jié)果，如圖3所示。

3 本構(gòu)模型的建立

3.1 Hensel-Spittel 本構(gòu)模型

在同一應(yīng)力水平下，變形溫度與應(yīng)變速率是導(dǎo)致粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼流變應(yīng)力-應(yīng)變曲線差異的重要因素。金屬的熱變形行為取決于熱加工過程中硬化與軟化機(jī)制的相互競爭，采用Hensel 和Spittel 提出的本構(gòu)模型可以描述金屬材料的流變應(yīng)力與溫度、應(yīng)變速率以及應(yīng)變之間的關(guān)系[22]。Hensel-Spittel 模型如式（3）所示。

式中：σ為流變應(yīng)力，ε為應(yīng)變，為應(yīng)變速率，T為熱變形溫度，A、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7、m8均為材料常數(shù)，其中m1、m8分別為溫度相關(guān)系數(shù)與指數(shù)，m2、m6分別為應(yīng)變強(qiáng)化指數(shù)與相關(guān)系數(shù)，m3為應(yīng)變速率相關(guān)指數(shù)，m4為應(yīng)變?nèi)趸禂?shù)，m5為應(yīng)變指數(shù)與溫度相關(guān)系數(shù)，m7為應(yīng)變速率相關(guān)指數(shù)與溫度相關(guān)系數(shù)[11]。為便于求解參數(shù)，將式（3）兩邊同時(shí)取對數(shù)得到式（4）。

為求解材料常數(shù)，在同一變形溫度和應(yīng)變下，將固定值lnA+m1T+m2ε+m4/ε+m5ln(ε+1)+m6ε+m8lnT設(shè)為H1，故式（4）可表示為式（5）。

將4 個(gè)溫度和3 個(gè)應(yīng)變速率下應(yīng)變?yōu)?.0025～0.0700、間隔0.0025 的應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)組代入式（5），繪制每個(gè)溫度下lnσ-ln散點(diǎn)圖，并線性擬合，結(jié)果如圖4 所示。由圖可知，lnσ-ln呈線性關(guān)系，直線斜率為不同應(yīng)變下m3+m7T的值。在不同應(yīng)變下，繪制m3+m7T與變形溫度T的關(guān)系圖，結(jié)果如圖5 所示，分別計(jì)算擬合直線的斜率與截距的平均值得到m3與m7，m3=-0.10044，m7=0.00022。

圖4 不同變形溫度下lnσ-ln 關(guān)系曲線：（a）850 ℃；（b）900 ℃；（c）950 ℃；（d）1000 ℃Fig.4 Relationship of lnσ-ln at the different deformation temperatures: (a) 850 ℃;(b) 900 ℃;(c) 950 ℃;(d) 1000 ℃

圖5 不同應(yīng)變下m3+m7T 與溫度關(guān)系曲線Fig.5 Relationship between m3+m7T and temperature under the different strains

當(dāng)應(yīng)變速率、應(yīng)變不變時(shí)，將常數(shù)lnA+m2lnε+m3ln+m4/ε+m6ε設(shè)為H2，故式（4）可簡化為式（6）。

圖6 為不同應(yīng)變速率下lnσ-T關(guān)系曲線。由圖可知，lnσ-T呈線性關(guān)系，m8lnT+H2為常數(shù)，此時(shí)，m8的值可視為0，令S=m1+m5ln(ε+1)+m7ln。不同應(yīng)變速率下S與ln(ε+1)的關(guān)系曲線如圖7 所示。計(jì)算擬合直線的斜率的平均值得到m5=-0.00173，由截距算得m1=-0.00321。

圖6 不同應(yīng)變速率下 lnσ 和溫度關(guān)系曲線：（a）0.13 s-1；（b）1.05 s-1；（c）10.10 s-1Fig.6 Relationship between lnσ and temperature under the different strain rates: (a) 0.13 s-1;(b) 1.05 s-1;(c)10.10 s-1

圖7 不同應(yīng)變速率下S 與ln(ε+1)關(guān)系曲線Fig.7 Relationship between S and ln(ε+1) at the different strain rates

當(dāng)應(yīng)變速率與變形溫度一定時(shí)，將常數(shù)lnA+m1T+m3ln+m7Tln設(shè)為H3,，故式（4）可簡化為式（7）。

根據(jù)式（7），采用MATLAB 中的fittype 和fit 命令進(jìn)行擬合，得到不同變形溫度和應(yīng)變速率下lnσ與ε關(guān)系，如圖8 所示。通過擬合得到不同溫度與應(yīng)變速率下的擬合系數(shù)，對各系數(shù)計(jì)算平均值得到m2=0.36241，m4=0.00086，m6=-5.6944。

圖8 不同變形溫度下lnσ 與ε 關(guān)系：（a）850 ℃；（b）900 ℃；（c）950 ℃；（d）1000 ℃Fig.8 Relationship of lnσ and ε at the different deformation temperatures: (a) 850 ℃;(b) 900 ℃;(c) 950 ℃;(d) 1000 ℃

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和計(jì)算得到的m1～m8代入式（3），即可求得在每個(gè)變形條件下的A值，對所有A取平均值得A=6323.0，至此，Hensel-Spittel 本構(gòu)模型的材料參數(shù)全部求解完成。得到粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼高溫拉伸流變過程的Hensel-Spittel本構(gòu)模型，如式（8）所示。

3.2 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因強(qiáng)大的非線性數(shù)據(jù)處理能力可被用于材料本構(gòu)模型的建立[23-24]。采用BP 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來建立粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼的高溫拉伸流變應(yīng)力預(yù)測模型。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)通常由輸入層、隱含層和輸出層組成，輸入層與輸出層通常各為1 層，隱含層數(shù)量根據(jù)實(shí)際訓(xùn)練誤差進(jìn)行調(diào)整，本文的隱含層數(shù)量為1。將溫度、應(yīng)變速率與應(yīng)變?nèi)齻€(gè)參數(shù)作為BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，應(yīng)力值作為輸出。隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)（p）由經(jīng)驗(yàn)公式（式（9））確定[25]。

式中：m為輸入變量個(gè)數(shù)，n為輸出變量個(gè)數(shù)，l為0～10 常數(shù)。不斷調(diào)整p的大小直至網(wǎng)絡(luò)誤差達(dá)到可接受的范圍。經(jīng)調(diào)試，本文隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)選擇12。輸入層與隱含層傳遞函數(shù)采用tansig，隱含層與輸出層采用purelin 連接，訓(xùn)練函數(shù)使用trainlm，所建立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖9 所示。

圖9 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.9 Structure diagram of the BP neural network

在訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)前，為避免數(shù)據(jù)間量綱的差異，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，采用式（10）將所有數(shù)據(jù)映射至[-1,1]區(qū)間。

式中：X為包含溫度、應(yīng)變速率、應(yīng)變3 個(gè)參數(shù)的矩陣向量，Xmax、Xmin分別為X最大值與最小值，X′為歸一化后的值。從粉末冶金鋼高溫拉伸流變應(yīng)力-應(yīng)變曲線的293 組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取80%的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，剩下作為測試集，迭代次數(shù)設(shè)為500 次，均方誤差為10-5，收斂過程如圖10 所示。由圖可知，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)迭代260 次后達(dá)到收斂條件。

3.3 兩種模型對比

Hensel-Spittel 型本構(gòu)模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果對比見圖11。由圖可知，基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的應(yīng)力預(yù)測值可以在整個(gè)變形溫度和應(yīng)變速率范圍內(nèi)跟蹤實(shí)驗(yàn)值。在900 ℃和950 ℃、應(yīng)變速率為1.05 s-1、10.10 s-1條件下，實(shí)驗(yàn)值與Hensel-Spittel 本構(gòu)模型的預(yù)測值有顯著的偏差。

通過決定系數(shù)（R2）與平均絕對相對誤差（AARE）可進(jìn)一步比較兩種模型的預(yù)測精度[26]。其中R2表示擬合優(yōu)度，是統(tǒng)計(jì)分析中使用的一種度量，可以評估模型預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值的相關(guān)程度，可通過式（11）計(jì)算；AARE是一個(gè)無偏統(tǒng)計(jì)量，通過相對誤差的逐項(xiàng)比較來計(jì)算（式（12）），AARE常用來判斷模型預(yù)測的準(zhǔn)確性。

式中：Ej為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，Pj為模型預(yù)測值，為Ej的平均值，n為計(jì)算數(shù)據(jù)總量。

式中，Ej為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，Pj為預(yù)測值，n為數(shù)據(jù)總量。對兩種模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如圖12 所示。Hensel-Spittel 本構(gòu)模型決定系數(shù)R2為0.9743，平均絕對相對誤差A(yù)ARE為3.16%，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的決定系數(shù)R2為0.9999，平均絕對相對誤差A(yù)ARE為0.17%。由此可知，Hensel-Spittel本構(gòu)模型對流變應(yīng)力的可預(yù)測性相對偏低，這是由于材料在不同溫度和應(yīng)變速率下的熱變形行為是非線性的，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因適合處理復(fù)雜的非線性關(guān)系，在本文中表現(xiàn)出更好的預(yù)測性能。

圖12 應(yīng)力實(shí)驗(yàn)值與應(yīng)力預(yù)測值線性相關(guān)曲線：（a）Hensel-Spittel 本構(gòu)模型；（b）BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig.12 Correlation curves of the experimental and predicted stress: (a) Hensel-Spittel constitution model;(b) BP neural network model

4 結(jié)論

（1）計(jì)算了粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼的斷裂功，發(fā)現(xiàn)斷裂功隨變形溫度升高呈先增大后減小趨勢；隨應(yīng)變速率增加不斷增大，在變形溫度為900 ℃、應(yīng)變速率為10.10 s-1附近，材料具有最好的韌性；建立的斷裂功模型可以表征斷裂功與變形溫度、應(yīng)變速率之間的關(guān)系。

（2）建立了粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼的Hensel-Spittel 本構(gòu)模型，除變形溫度為900、950 ℃、應(yīng)變速率為1.05、10.10 s-1外，其它條件下與實(shí)驗(yàn)值吻合度較高。

（3）使用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建了粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼的本構(gòu)模型，計(jì)算得到其預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值的絕對平均相對誤差A(yù)ARE為0.17%，決定系數(shù)R2為0.9999，結(jié)果優(yōu)于Hensel-Spittel 模型。