簡 杰 ，郭 彪 ，李 強 ，李 肖 ，宋久鵬 ，張 羽 ，敖進清 ，黃 勇

1) 西華大學材料科學與工程學院,成都 610039 2) 吉凱恩(霸州)金屬粉末有限公司,廊坊 065701

粉末冶金工藝（powder metallurgy，PM）是一種高效、綠色、環(huán)保的機械零件制造近凈成形技術[1]，被廣泛應用于汽車、飛機、軌道交通等制造領域[2-4]。然而，經傳統(tǒng)壓制、燒結的粉末冶金制品具有一定的孔隙，不能達到高強度零件的使用要求。燒結后的熱加工可以提高粉末冶金制品的相對密度，從而改善其力學性能[5-6]。因此，粉末冶金材料在高溫塑性加工過程中的熱變形行為受到了廣泛關注。

在研究金屬材料熱變形行為時，其抗斷裂能力與熱變形流動規(guī)律往往是關注的重點。金屬材料的抗斷裂能力可以通過斷裂功來評估。采用拉應力-應變積分法計算的斷裂功能綜合反映金屬材料在塑性變形過程中的損傷容限。Rodriguez 等[7]研究了應變速率和溫度對AZ31B 鎂合金拉伸斷裂特征的影響并計算了其斷裂功，結果發(fā)現(xiàn)，在150 ℃附近和所有應變速率下，試樣的斷裂功均有明顯的最大值，這與應變速率和溫度對損傷積累的影響有關。Guo 等[8]通過單軸拉伸試驗，研究了溫度和應變速率對Al-Zn-Mg-Cu 合金斷裂行為的影響，發(fā)現(xiàn)應變率敏感性系數(shù)在200 ℃顯著上升，斷裂功在室溫和100 ℃時隨應變率的增加而急劇波動。

本構模型作為研究材料熱變形規(guī)律的一種重要方法，能夠表征材料熱加工時的流變特征，預測材料塑性變形過程的流變應力，為有限元模擬提供重要的理論基礎。構建本構模型的常用方法主要有唯象型和人工神經網(wǎng)絡（artificial neural network，ANN）。目前常用的唯象本構模型包括Arrhenius 型、Johnson-Cook 型與Hensel-Spittel 型[9-11]，其中Arrhenius本構模型與Johnson-Cook 本構模型對于研究粉末冶金材料熱變形行為有著廣泛的應用。Meng 等[12]對粉末冶金制得的高溫鉬板進行單軸熱拉伸測試，建立了應變五階多項式的Arrhenius 本構模型，得到了流變應力的預測值與實驗結果吻合較好。Zhu等[13]采用Arrhenius 本構模型建立了粉末冶金TiB2/7050A 的高溫壓縮流變模型，計算了該合金熱變形激活能為143.11 kJ/mol。Zygula 等[14]研究了粉末冶金Ti-10V-2Fe-3Al 亞穩(wěn)態(tài)合金在大范圍變形溫度和應變速率下的壓縮過程，建立的Arrhenius 本構模型較好地預測了流變應力與變形溫度、應變速率的關系。Qu 等[15]對粉末冶金V-5Cr-5Ti 棒材進行等溫壓縮試驗，建立了應變補償?shù)腁rrhenius 本構模型與修正的Johnson-Cook 本構模型，對比發(fā)現(xiàn)，應變補償?shù)腁rrhenius 本構模型能在整個變形溫度范圍內跟蹤實驗值。Wang 等[16]對粉末冶金純鎢進行熱壓縮試驗，建立了基于Arrhenius 模型、Johnson-Cook 模型、修正Johnson-Cook 模型等多個本構模型預測純鎢在高溫下的流變應力，通過相關系數(shù)與平均絕對相對誤差評價了各模型的預測精度。但利用Hensel-Spittel 本構模型研究粉末冶金材料熱變形行為的報道較少。

本文對粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼進行高溫拉伸測試，獲得其在850～1000 ℃變形溫度、0.1、1.0、10.0 s-1應變速率下的應力應變曲線，分析其高溫流變行為，計算其斷裂功，建立斷裂功與變形溫度、應變速率的數(shù)學模型，并基于Hensel-Spittel 模型和BP 神經網(wǎng)絡建立其高溫流變本構模型，并對兩種模型的預測精度進行評價，以獲得更準確的應力、應變速率、變形溫度以及應變之間的關系。

1 實驗材料及方法

將鐵粉、銅粉、石墨粉混合，并在數(shù)控液壓機上壓制，得到生坯；將生坯置于MXQ1700-40 型氮氣氣氛爐中，在1150 ℃保溫1 h 燒結，獲得Fe-2Cu-0.5C（質量分數(shù)，%）粉末冶金鋼燒結坯。利用阿基米德排水法測得燒結坯密度為7.2 g/cm3。經機加工將燒結坯制成啞鈴型高溫拉伸試樣，在Gleeble-3500 型熱模擬機上以不同溫度（850、900、950、1000 ℃）和應變速率（0.1、1.0、10.0 s-1）進行高溫拉伸測試，直到試樣被拉斷。對高溫拉伸測試數(shù)據(jù)進行有限元計算輔助修正，詳細修正過程見文獻[17]，得到修正后的真應力-應變曲線和實際應變速率，即0.13、1.05、10.10 s-1。

2 結果與討論

2.1 應力-應變曲線分析

圖1 為不同應變速率下粉末冶金Fe-2Cu-0.5C鋼的真應力-真應變關系曲線。在熱成形過程中，金屬的高溫塑性流變行為取決于加工硬化與動態(tài)軟化的共同作用[18]。如圖所示，試樣在同一變形溫度和應變速率下，應力值隨應變逐漸增加。這是因為在熱變形早期，位錯密度的迅速增加以及動態(tài)軟化機制的受限，加工硬化作用占據(jù)主導地位。隨著試樣變形量的增大，試樣的軟化機制不斷增強，在硬化與軟化的相互作用下，曲線逐漸趨于平穩(wěn)。在同一應變速率下，試樣從850 ℃到1000 ℃的最大應力值依次減小。這是因為金屬原子的熱活化程度隨著溫度的升高而增強，導致位錯、空位和晶界的遷移率增強，位錯滑移和爬升也得到促進，變形溫度升高進一步增強了軟化機制，削弱了加工硬化機制，降低了流變應力[19]。在同一溫度下，隨著應變速率的增加，試樣的應力不斷增大。這是因為較高的應變速率會加快位錯的增殖速度，引起位錯強化，促使加工硬化作用增強，應力值增加[20]。在不同溫度下，試樣的斷裂應變也有差異。斷裂應變是決定材料抗斷裂能力的重要力學參數(shù)，反應了金屬材料的可塑性。在圖1 中，斷裂應變隨應變速率的變化不大，但隨著溫度的升高，斷裂應變呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。這是由于變形溫度的升高導致試樣的動態(tài)軟化作用增強，塑性增強，從而提高了斷裂應變。但是，一旦變形溫度超過一定限度，材料的強度降低，使得材料容易斷裂，反而降低斷裂應變。

圖1 不同應變速率下粉末冶金Fe-2Cu-0.5C鋼真應力-真應變曲線：（a）0.13 s-1；（b）1.05 s-1；（c）10.10 s-1Fig.1 True stress-true strain curves of the powder metallurgy Fe-2Cu-0.5C steels at the different strain rates: (a) 0.13 s-1; (b) 1.05 s-1; (c)10.10 s-1

2.2 斷裂功

斷裂功是指材料在塑性變形過程中因裂紋的擴展而發(fā)生斷裂時，單位體積吸收的能量。斷裂功比斷裂應變更全面地反應了金屬材料在塑性變形過程中的抗損傷斷裂能力，可通過真應力-真應變曲線下方的面積積分來計算[21]。對圖1 中各曲線積分，結果如圖2 所示。在同一應變速率下，隨著溫度的升高，斷裂功先增大后減小，在900 ℃時達到峰值，此時試樣的抗斷裂性能最好。在同一溫度下，隨著應變速率的增加，斷裂功不斷增大，這是因為較高應變速率引起的加工硬化對試樣的抗斷裂能力有積極作用。因此，變形溫度與應變速率對于粉末冶金鋼的抗損傷斷裂能力的影響不盡相同，在所測試的應變速率和溫度下，試樣在變形溫度為900 ℃和應變速率為10.10 s-1條件下表現(xiàn)出最好的抗斷裂能力。

圖2 斷裂功模型預測值與實驗測算值Fig.2 Fracture work values of the model prediction and the experimental calculation

基于上述分析，本文提出以下斷裂功模型來描述粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼斷裂功與變形溫度、應變速率之間的關系，如式（1）所示。

式中：Wf為斷裂功，MJ/m3；a、b、c、d為待求參數(shù)；T為變形溫度，℃；為應變速率，s-1。將不同溫度和應變速率下共12 組數(shù)據(jù)代入式（1）進行擬合求解得到式（2）。

數(shù)學模型預測結果如圖2 所示。從圖中可以看出，模型預測值與實驗測算的結果比較吻合，該模型可以表征粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼在本測試條件下的斷裂功與變形溫度、應變速率之間的關系。因此，將所有溫度和應變速率代入模型中計算，得到整個熱變形條件下的斷裂功預測結果，如圖3所示。

3 本構模型的建立

3.1 Hensel-Spittel 本構模型

在同一應力水平下，變形溫度與應變速率是導致粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼流變應力-應變曲線差異的重要因素。金屬的熱變形行為取決于熱加工過程中硬化與軟化機制的相互競爭，采用Hensel 和Spittel 提出的本構模型可以描述金屬材料的流變應力與溫度、應變速率以及應變之間的關系[22]。Hensel-Spittel 模型如式（3）所示。

式中：σ為流變應力，ε為應變，為應變速率，T為熱變形溫度，A、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7、m8均為材料常數(shù)，其中m1、m8分別為溫度相關系數(shù)與指數(shù)，m2、m6分別為應變強化指數(shù)與相關系數(shù)，m3為應變速率相關指數(shù)，m4為應變弱化系數(shù)，m5為應變指數(shù)與溫度相關系數(shù)，m7為應變速率相關指數(shù)與溫度相關系數(shù)[11]。為便于求解參數(shù)，將式（3）兩邊同時取對數(shù)得到式（4）。

為求解材料常數(shù)，在同一變形溫度和應變下，將固定值lnA+m1T+m2ε+m4/ε+m5ln(ε+1)+m6ε+m8lnT設為H1，故式（4）可表示為式（5）。

將4 個溫度和3 個應變速率下應變?yōu)?.0025～0.0700、間隔0.0025 的應力-應變數(shù)據(jù)組代入式（5），繪制每個溫度下lnσ-ln散點圖，并線性擬合，結果如圖4 所示。由圖可知，lnσ-ln呈線性關系，直線斜率為不同應變下m3+m7T的值。在不同應變下，繪制m3+m7T與變形溫度T的關系圖，結果如圖5 所示，分別計算擬合直線的斜率與截距的平均值得到m3與m7，m3=-0.10044，m7=0.00022。

圖4 不同變形溫度下lnσ-ln 關系曲線：（a）850 ℃；（b）900 ℃；（c）950 ℃；（d）1000 ℃Fig.4 Relationship of lnσ-ln at the different deformation temperatures: (a) 850 ℃;(b) 900 ℃;(c) 950 ℃;(d) 1000 ℃

圖5 不同應變下m3+m7T 與溫度關系曲線Fig.5 Relationship between m3+m7T and temperature under the different strains

當應變速率、應變不變時，將常數(shù)lnA+m2lnε+m3ln+m4/ε+m6ε設為H2，故式（4）可簡化為式（6）。

圖6 為不同應變速率下lnσ-T關系曲線。由圖可知，lnσ-T呈線性關系，m8lnT+H2為常數(shù)，此時，m8的值可視為0，令S=m1+m5ln(ε+1)+m7ln。不同應變速率下S與ln(ε+1)的關系曲線如圖7 所示。計算擬合直線的斜率的平均值得到m5=-0.00173，由截距算得m1=-0.00321。

圖6 不同應變速率下 lnσ 和溫度關系曲線：（a）0.13 s-1；（b）1.05 s-1；（c）10.10 s-1Fig.6 Relationship between lnσ and temperature under the different strain rates: (a) 0.13 s-1;(b) 1.05 s-1;(c)10.10 s-1

圖7 不同應變速率下S 與ln(ε+1)關系曲線Fig.7 Relationship between S and ln(ε+1) at the different strain rates

當應變速率與變形溫度一定時，將常數(shù)lnA+m1T+m3ln+m7Tln設為H3,，故式（4）可簡化為式（7）。

根據(jù)式（7），采用MATLAB 中的fittype 和fit 命令進行擬合，得到不同變形溫度和應變速率下lnσ與ε關系，如圖8 所示。通過擬合得到不同溫度與應變速率下的擬合系數(shù)，對各系數(shù)計算平均值得到m2=0.36241，m4=0.00086，m6=-5.6944。

圖8 不同變形溫度下lnσ 與ε 關系：（a）850 ℃；（b）900 ℃；（c）950 ℃；（d）1000 ℃Fig.8 Relationship of lnσ and ε at the different deformation temperatures: (a) 850 ℃;(b) 900 ℃;(c) 950 ℃;(d) 1000 ℃

將實驗數(shù)據(jù)和計算得到的m1～m8代入式（3），即可求得在每個變形條件下的A值，對所有A取平均值得A=6323.0，至此，Hensel-Spittel 本構模型的材料參數(shù)全部求解完成。得到粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼高溫拉伸流變過程的Hensel-Spittel本構模型，如式（8）所示。

3.2 BP 神經網(wǎng)絡模型

人工神經網(wǎng)絡因強大的非線性數(shù)據(jù)處理能力可被用于材料本構模型的建立[23-24]。采用BP 人工神經網(wǎng)絡來建立粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼的高溫拉伸流變應力預測模型。BP 神經網(wǎng)絡結構通常由輸入層、隱含層和輸出層組成，輸入層與輸出層通常各為1 層，隱含層數(shù)量根據(jù)實際訓練誤差進行調整，本文的隱含層數(shù)量為1。將溫度、應變速率與應變三個參數(shù)作為BP 神經網(wǎng)絡的輸入，應力值作為輸出。隱含層節(jié)點數(shù)（p）由經驗公式（式（9））確定[25]。

式中：m為輸入變量個數(shù)，n為輸出變量個數(shù)，l為0～10 常數(shù)。不斷調整p的大小直至網(wǎng)絡誤差達到可接受的范圍。經調試，本文隱含層節(jié)點數(shù)選擇12。輸入層與隱含層傳遞函數(shù)采用tansig，隱含層與輸出層采用purelin 連接，訓練函數(shù)使用trainlm，所建立的神經網(wǎng)絡結構如圖9 所示。

圖9 BP 神經網(wǎng)絡結構圖Fig.9 Structure diagram of the BP neural network

在訓練網(wǎng)絡前，為避免數(shù)據(jù)間量綱的差異，需要對數(shù)據(jù)進行歸一化處理，采用式（10）將所有數(shù)據(jù)映射至[-1,1]區(qū)間。

式中：X為包含溫度、應變速率、應變3 個參數(shù)的矩陣向量，Xmax、Xmin分別為X最大值與最小值，X′為歸一化后的值。從粉末冶金鋼高溫拉伸流變應力-應變曲線的293 組數(shù)據(jù)中隨機選取80%的數(shù)據(jù)作為訓練集，剩下作為測試集，迭代次數(shù)設為500 次，均方誤差為10-5，收斂過程如圖10 所示。由圖可知，BP 神經網(wǎng)絡迭代260 次后達到收斂條件。

3.3 兩種模型對比

Hensel-Spittel 型本構模型和BP 神經網(wǎng)絡模型預測的結果與實驗測試結果對比見圖11。由圖可知，基于BP 神經網(wǎng)絡模型的應力預測值可以在整個變形溫度和應變速率范圍內跟蹤實驗值。在900 ℃和950 ℃、應變速率為1.05 s-1、10.10 s-1條件下，實驗值與Hensel-Spittel 本構模型的預測值有顯著的偏差。

通過決定系數(shù)（R2）與平均絕對相對誤差（AARE）可進一步比較兩種模型的預測精度[26]。其中R2表示擬合優(yōu)度，是統(tǒng)計分析中使用的一種度量，可以評估模型預測值與實驗值的相關程度，可通過式（11）計算；AARE是一個無偏統(tǒng)計量，通過相對誤差的逐項比較來計算（式（12）），AARE常用來判斷模型預測的準確性。

式中：Ej為實驗數(shù)據(jù)，Pj為模型預測值，為Ej的平均值，n為計算數(shù)據(jù)總量。

式中，Ej為實驗數(shù)據(jù)，Pj為預測值，n為數(shù)據(jù)總量。對兩種模型的預測結果進行統(tǒng)計分析，結果如圖12 所示。Hensel-Spittel 本構模型決定系數(shù)R2為0.9743，平均絕對相對誤差AARE為3.16%，BP 神經網(wǎng)絡模型的決定系數(shù)R2為0.9999，平均絕對相對誤差AARE為0.17%。由此可知，Hensel-Spittel本構模型對流變應力的可預測性相對偏低，這是由于材料在不同溫度和應變速率下的熱變形行為是非線性的，BP 神經網(wǎng)絡因適合處理復雜的非線性關系，在本文中表現(xiàn)出更好的預測性能。

圖12 應力實驗值與應力預測值線性相關曲線：（a）Hensel-Spittel 本構模型；（b）BP 神經網(wǎng)絡模型Fig.12 Correlation curves of the experimental and predicted stress: (a) Hensel-Spittel constitution model;(b) BP neural network model

4 結論

（1）計算了粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼的斷裂功，發(fā)現(xiàn)斷裂功隨變形溫度升高呈先增大后減小趨勢；隨應變速率增加不斷增大，在變形溫度為900 ℃、應變速率為10.10 s-1附近，材料具有最好的韌性；建立的斷裂功模型可以表征斷裂功與變形溫度、應變速率之間的關系。

（2）建立了粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼的Hensel-Spittel 本構模型，除變形溫度為900、950 ℃、應變速率為1.05、10.10 s-1外，其它條件下與實驗值吻合度較高。

（3）使用BP 神經網(wǎng)絡構建了粉末冶金Fe-2Cu-0.5C 鋼的本構模型，計算得到其預測值與實驗值的絕對平均相對誤差AARE為0.17%，決定系數(shù)R2為0.9999，結果優(yōu)于Hensel-Spittel 模型。