葉新和 姚娟妹

(江蘇省泰州醫(yī)藥高新區(qū)(高港區(qū))教育局 225300)

1 應(yīng)然:設(shè)計思路

有理數(shù)乘法法則,尤其是“負(fù)負(fù)得正”,歷來是學(xué)習(xí)的難點.直接告知學(xué)生“負(fù)負(fù)得正”的正確性,副作用很明顯:有的學(xué)生如“雜交水稻之父”袁隆平(1930—2021)會認(rèn)為“數(shù)學(xué)是不講理的”[1],有的學(xué)生如法國文豪司湯達(dá)(1783—1842)會困惑,心想是老師在騙他還是數(shù)學(xué)本身就是一場騙局[2].有學(xué)者試圖給出七年級學(xué)生能夠接受的證明[3,4],但仔細(xì)分析,其中均有值得商榷之處[3].這也從反面表明了嚴(yán)格的證明必須應(yīng)用整數(shù)環(huán)的有關(guān)知識(在整數(shù)環(huán)的公理系統(tǒng)中可以嚴(yán)格地證明負(fù)負(fù)得正這個法則[5]),然而整數(shù)環(huán)的知識又遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了七年級學(xué)生的接受能力.

教育是培養(yǎng)人的活動,這是教育與其他一切社會現(xiàn)象的根本區(qū)別[6]3.教育必須要遵循兒童身心發(fā)展的規(guī)律.無論是制定教育計劃、選擇教育內(nèi)容,還是采取有效的教育方法,都必須從兒童發(fā)展的實際出發(fā),滿足兒童發(fā)展的需要[6]8.從新世紀(jì)我國課程改革的理論基礎(chǔ)來看,人本主義思想是其心理學(xué)理論基礎(chǔ),其課程觀的主旨是促進(jìn)人的全面發(fā)展[7].可見學(xué)習(xí)必須立足學(xué)生實際,以學(xué)生可接受為前提.數(shù)學(xué)學(xué)科在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用[8]1,這也是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心作用.與此相匹配,“初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質(zhì),逐步形成理性精神”[8]6是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中設(shè)定的課程目標(biāo).

基于上述分析,筆者以為有理數(shù)乘法法則學(xué)習(xí)設(shè)計的應(yīng)然思路為:以人本主義思想為指導(dǎo),立足學(xué)生實際、以學(xué)生可能的接受能力為前提,在有理數(shù)乘法法則的探索、理解與運(yùn)用中盡可能發(fā)展學(xué)生的理性思維水平.

2 實然:學(xué)習(xí)過程

2.1 課前準(zhǔn)備

(1)用正負(fù)數(shù)來表示:

①若規(guī)定水位上升記為+,則水位上升 2 cm記為cm,水位下降6 cm記為cm.

②若將現(xiàn)在時刻作為基準(zhǔn),記為0,則3小時前記為小時,3小時后記為小時.

設(shè)計意圖鞏固舊知,為后面利用水位升降模型驗證有理數(shù)乘法法則作鋪墊.

(2)會利用計算器輸入負(fù)整數(shù).

2.2 探索活動1:利用計算器探索乘法法則的必要性

情境1 星期天,小明帶著剛收到的生日禮物(計算器)找小穎玩,發(fā)現(xiàn)她正在做下面的試題.

計算:1)(+2)×(+3)=;2)(+1)×(+3)=;3)0×(+3)=.

小明說:“小學(xué)生都會的.”小穎指著下一頁說:“還有4)(-1)×(+3)=;5)( )×(+3)=;6)(-3)×(+3)=.式子5)中被乘數(shù)被油墨污染了,看不清楚.要是你能寫出答案,我就相信你厲害.”“這是有規(guī)律的,”小明仔細(xì)看了看,將計算器遞給小穎,說:“我直接寫結(jié)果,你利用這個來驗證.”驗證后小穎發(fā)現(xiàn)了這組式子及計算結(jié)果的規(guī)律.

問題1(1)式子5)中被污染的地方是什么數(shù)?說說你的想法.

(2)你也能直接寫出這些式子的計算結(jié)果嗎?說說你是怎么想的,并用計算器驗證.

設(shè)計意圖將不熟悉的“負(fù)數(shù)×正數(shù)”的計算問題轉(zhuǎn)化為容易解答的找規(guī)律問題來解決,同時創(chuàng)設(shè)了利用計算器進(jìn)行驗證的情境.

問題2假如小穎做的是下面這題.

計算:7)(-3)×(+2)=;8)(-3)×(+1)=;9)(-3)×0=.

(1)你能仿照情境1中方法得到式子7)的計算結(jié)果嗎?說說你的辦法并用計算器驗證結(jié)果是否正確.

(2)猜一猜式子8)和9)的計算結(jié)果,驗證你的猜測.

(3)猜測式子10)(-3)×(-1),11)(-3)×(-2),12)(-3)×(-3)的計算結(jié)果,并驗證.

設(shè)計意圖式子7)與10)不斷引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,以此發(fā)展問題意識.繼續(xù)讓學(xué)生經(jīng)歷觀察—分析—猜測—驗證的過程,以積累探索與發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗,同時初步發(fā)展了理性思維水平.

2.3 探索活動2:總結(jié)乘法法則的必要性

情境2 如果小明與小穎交流時,小穎的小妹妹不小心將計算器碰掉在地上,無法顯示計算結(jié)果.此時該怎樣計算(-5)×(-6)呢?說說你的想法.

設(shè)計意圖計算器在計算時起著“腳手架”作用.為發(fā)展理性思維,需要盡快拆除.

問題3任意兩個有理數(shù)相乘,你會確定它們的乘積嗎?試用語言來描述.(乘法法則內(nèi)容略)

2.4 探索活動3:驗證乘法法則的合理性

情境3 計算器碰掉在地上,計算(-2)×(+3)時如果小穎的計算器顯示結(jié)果為“-8”,小明的顯示結(jié)果為“-6”,又該怎么辦呢?一籌莫展中,數(shù)學(xué)老師來家訪,提醒他們可以試著用水位變化的生活實例來說明.經(jīng)過討論,兩人覺得可借助實例“將現(xiàn)在水位記為0 cm.如果水位每小時下降2 cm,那么3小時后的水位比現(xiàn)在下降6 cm”來說明.

問題4(1)在上述實例中,“-2”“+3”“-6”分別表示什么?

(2)類似地,等式“(+2)×(-3)=-6”的正確性可用水位變化實例“將現(xiàn)在水位記為0 cm.如果水位每小時(填‘上升’或者‘下降’) 2 cm,那么3小時(填‘前’或者‘后’)水位比現(xiàn)在(填寫‘高’或者‘低’)6 cm”來說明.

(3)試用水位變化實例來說明等式(-2)×(-3)=+6的正確性.

設(shè)計意圖借助生活經(jīng)驗來驗證有理數(shù)乘法法則的合理性,繼續(xù)發(fā)展理性思維水平.

2.5 例題講解

(1)計算:1)(+4)×(+6);2)(-4)×(+6);3)(+4)×(-6);4)(-4)×(-6).(規(guī)范過程略)

(2)觀察算式1)與2)、算式1)與3),你有何猜測?(注:當(dāng)被乘數(shù)、乘數(shù)中有一個變成它的相反數(shù)時,所得乘積變成原來的相反數(shù))

(3)你能從這組算式中選擇另外兩個來驗證你的猜測嗎?

(4)任意選擇兩組具備你猜想特征的算式,計算并驗證你的猜測.

設(shè)計意圖鞏固新知,繼續(xù)發(fā)展探索與概括能力,發(fā)展理性思維水平.

2.6 課后練習(xí)

習(xí)題1 判斷下列各式是否正確并說明理由:

(1)(-2)×(-4)=-6;

(2)(-2)+(-4)=+8.

設(shè)計意圖呈現(xiàn)學(xué)生常見錯誤,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨,同時繼續(xù)培養(yǎng)問題意識.

習(xí)題2 (1)在橫線處填上“>”“<”或者“=”.

1)(-2)×(-3)(-3)×(-2);

2)(-9)×(-6)(-6)×(-9).

(2)對此,你能提出什么問題?能用其他算式來驗證嗎?能用語言來描述你的發(fā)現(xiàn)嗎?

(3)根據(jù)小學(xué)學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算律的經(jīng)驗,你還能提出什么問題?

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生初步探索有理數(shù)運(yùn)算律,為后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊,同時發(fā)展問題意識.

3 回顧與反思

3.1 立足學(xué)生實際

立足學(xué)生實際,意味著要根據(jù)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)“四基”情況確定合適的學(xué)習(xí)起點,要充分發(fā)揮學(xué)習(xí)用品在探索中的作用,根據(jù)學(xué)生的接受能力來預(yù)設(shè)學(xué)習(xí)收獲.

(1)要創(chuàng)設(shè)合適的學(xué)習(xí)起點.對于七年級學(xué)生而言,“負(fù)數(shù)×正數(shù)”“正數(shù)×負(fù)數(shù)”“負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)”均不熟悉.教學(xué)中設(shè)計按照一定規(guī)律排列的多個算式,從橫向看為有理數(shù)乘法的各種情形,從縱向看變成分別找被乘數(shù)、乘數(shù)以及積的規(guī)律,這樣起點較低,直指新學(xué)內(nèi)容,便于啟迪學(xué)生思維.

(2)要巧搭法則探索的“腳手架”.收到生日禮物去好朋友面前適當(dāng)“顯擺”,是初中生的正常心理.對于情境1中的1)～6),如果有學(xué)生一開始不能或者不敢猜測,那么根據(jù)計算器計算的結(jié)果進(jìn)行猜測,顯得更有必要,既驗證了猜測結(jié)果的正確性又能有效樹立學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.如果情境1中的1)～6)、問題2中的7)～12)計算結(jié)果不正確,后續(xù)猜測、歸納有理數(shù)乘法法則便無從談起,可見計算器在有理數(shù)乘法法則的探索中起著必不可少的“腳手架”作用.

(3)要構(gòu)造容易理解的生活實例.目前尚未發(fā)現(xiàn)七年級學(xué)生能理解的、用數(shù)學(xué)知識來驗證的方法,要進(jìn)行驗證需要從數(shù)學(xué)內(nèi)容之外尋找實例.在學(xué)生熟悉的生活實例中,水位變化涉及到的3種量其正負(fù)性規(guī)定最為自然,此時乘法的意義也與學(xué)生生活經(jīng)驗一致,構(gòu)造水位變化的實例來驗證是可取辦法.由于“構(gòu)造”對于學(xué)生來說難度頗大,注意到學(xué)生已經(jīng)猜測得到了有理數(shù)的乘法法則,讓學(xué)生在模仿與類比的基礎(chǔ)上“構(gòu)造”出相應(yīng)生活實例,進(jìn)而能夠確認(rèn)等式的正確性即可.

3.2 不斷發(fā)展理性思維水平

先猜測再驗證以及發(fā)展推理能力(意識)是發(fā)展學(xué)生理性思維水平的兩種基本做法.

(1)形成“猜測后及時驗證”的思維習(xí)慣意味著學(xué)生的理性思維達(dá)到較高層次.為發(fā)展理性思維水平,本設(shè)計中通過多種形式來進(jìn)行驗證.首先是借助計算器進(jìn)行驗證.計算器作為常見學(xué)習(xí)用品,用于驗證猜測結(jié)果,既順理成章又隨手可得.其次,在總結(jié)出乘法法則后借助水位變化的生活經(jīng)驗進(jìn)行驗證.有理數(shù)乘法法則是根據(jù)特殊情形進(jìn)行猜測而得到的,在得到驗證之前,法則僅僅是“可能如此”.為突顯通過生活實例進(jìn)行驗證的必要性也是消除“袁隆平”們、“司湯達(dá)”們可能產(chǎn)生的誤解與困惑,根據(jù)手表定律創(chuàng)設(shè)了“摔后兩只計算器顯示結(jié)果不一致”的情境.(手表定律內(nèi)容為:一個人只有一只手表時,可以清楚地知道現(xiàn)在是幾點,而當(dāng)他同時擁有兩只顯示不一致的手表時,會失去對準(zhǔn)確時間的認(rèn)定[9].)需要指出的,即使是錯誤顯示的結(jié)果,也要精心選擇真實可信的情形,以“deli 837ES”型桌上計算器為例,當(dāng)數(shù)字右上角的“∣”強(qiáng)行顯示時,數(shù)字0至9中,“6”顯示為“8”、“5”顯示為“9”,其他數(shù)字則能正確顯示.不同的顯示結(jié)果令學(xué)生無所適從.此處僅驗證了具體情形.學(xué)生學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)后可驗證一般情形(等式“(-a)×(-b)=ab(其中a,b為正有理數(shù))”的正確性可用水位變化實例“將現(xiàn)在水位記為0 cm.如果水位每小時下降acm,那么b小時前的水位比現(xiàn)在高abcm”來說明).驗證之后,對有理數(shù)乘法法則的看法會由“可能如此”變成“應(yīng)該如此”,理性思維水平得到顯著提升.最后是在例題講解環(huán)節(jié)再次提供先猜測再驗證的機(jī)會.根據(jù)“教—學(xué)—評一致性”設(shè)計了例題,試圖一舉多得:既是新知(有理數(shù)乘法法則)、新視角(尋找數(shù)學(xué)等式間關(guān)系)的應(yīng)用,更是對“猜測后及時驗證”做法的強(qiáng)化,以繼續(xù)發(fā)展理性思維水平.

(2)在有理數(shù)乘法法則的學(xué)習(xí)與運(yùn)用中發(fā)展推理意識.學(xué)習(xí)過程中教師在多處讓學(xué)生判斷時說出想法,是外顯思維過程,希望展示支撐判斷的理由或者依據(jù).例題講解中根據(jù)有理數(shù)乘法法則來確定計算結(jié)果的符號以及絕對值,突出了法則的指導(dǎo)作用,做到“算必有據(jù)”.

需要指出的是,理性思維能夠發(fā)展達(dá)到的程度由學(xué)生的接受能力確定.基礎(chǔ)不同、接受能力不同的學(xué)生,能夠達(dá)到的理性思維水平會有差別.第二部分“實然學(xué)習(xí)過程”是給思維能力較強(qiáng)的學(xué)生提供的一種學(xué)習(xí)路徑,實際教學(xué)中應(yīng)該根據(jù)學(xué)生情況作些補(bǔ)充與刪減.