韋 旭 朱 雁

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

柏拉圖是一名數(shù)學(xué)哲學(xué)家[1],同時(shí)也是一名數(shù)學(xué)教育家,他將自己的數(shù)學(xué)教育思想充分貫徹在他創(chuàng)辦的柏拉圖學(xué)院中,培養(yǎng)出了多位數(shù)學(xué)家,例如證明了只存在五種正多面體的泰特圖斯(Theaetetus)、創(chuàng)立嚴(yán)謹(jǐn)窮竭法的歐達(dá)克斯(Eudoxus)、《幾何原本》的作者歐幾里得(Euclid)……[2]柏拉圖在《理想國》中系統(tǒng)闡述了自己的數(shù)學(xué)教育思想,因此有必要對柏拉圖在《理想國》中的數(shù)學(xué)教育思想進(jìn)行解讀．

本文首先在柏拉圖的“世界二元論”的背景下介紹《理想國》中的數(shù)學(xué)教育目的、數(shù)學(xué)教育的具體內(nèi)容以及數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與教學(xué)思想,然后對數(shù)學(xué)教育目的的兩種取向進(jìn)行討論,并從本體論的角度對柏拉圖提出的數(shù)學(xué)教育內(nèi)容進(jìn)行分析,最后將柏拉圖的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、教學(xué)思想與當(dāng)代數(shù)學(xué)教育思想進(jìn)行比較并得到啟示．

1 數(shù)學(xué)教育目的

柏拉圖將世界分為可感世界(可見世界)和理念世界(可知世界).他認(rèn)為人們現(xiàn)實(shí)生活所處的可感世界是對理念世界的描摹,可感世界是流變的,因可感世界的對象變動(dòng)不居,可感世界不存在真正的知識(shí),因此可感世界存在而不實(shí)在;理念世界是永恒不變的,人們只有通過思維才能知覺理念世界,理念世界具有實(shí)在性,真理只存在于理念世界中．

根據(jù)柏拉圖在《理想國》中的論述,數(shù)學(xué)教育的目的可以分為現(xiàn)實(shí)應(yīng)用和促使心靈轉(zhuǎn)向．由于柏拉圖在青少年時(shí)期親眼目睹了雅典在伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭中慘敗于斯巴達(dá)人,他在《理想國》中特別強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)兩大分支——算術(shù)和平面幾何在統(tǒng)率軍隊(duì)和排兵布陣方面的用處．相比于數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用目的,柏拉圖顯然更看重?cái)?shù)學(xué)促使心靈轉(zhuǎn)向的作用．

柏拉圖在《理想國》中認(rèn)為數(shù)學(xué)教育充當(dāng)了連通可感世界和理念世界的橋梁,他用幾何研究舉例說明了數(shù)學(xué)的橋梁作用:個(gè)體在研究平面幾何中的正方形或者圓形時(shí),以形似的可感世界的事物為手段,但思考的卻是具有共相特征的一般的正方形理念、圓形理念,圖形理念相比于圖形殊相不具有厚度,殊相只是對理念的模仿,理念只存在于思維中,個(gè)體經(jīng)過思考接觸到理念世界．?dāng)?shù)學(xué)一方面與可感世界流變的殊相接觸,另一方面能接觸共相,觸及純粹的理念世界[3],于是在數(shù)學(xué)研究過程中,個(gè)體以殊相為手段,心靈在此時(shí)處于理智狀態(tài),對共相進(jìn)行思考,個(gè)體的認(rèn)知從對殊相的感性認(rèn)識(shí)上升到對共相的理性認(rèn)識(shí),心靈也接觸到理念世界,實(shí)現(xiàn)心靈從可感世界到理念世界的轉(zhuǎn)向．

2 數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容

柏拉圖在《理想國》中根據(jù)數(shù)學(xué)研究對象將數(shù)學(xué)教育內(nèi)容分為算術(shù)、平面幾何、立體幾何、天文學(xué)和諧音學(xué)．具體來看每一部分內(nèi)容:算術(shù)并不只是要求個(gè)體對可感世界的客觀物體進(jìn)行計(jì)算與數(shù)數(shù),為了心靈到達(dá)理念世界,柏拉圖要求個(gè)體研究理念世界的純數(shù)．算術(shù)能訓(xùn)練個(gè)體的反應(yīng)力、計(jì)算能力和理性思維,幫助個(gè)體的靈魂把握實(shí)在,為學(xué)習(xí)其他學(xué)科奠定基礎(chǔ)．幾何學(xué)是柏拉圖極其重視的學(xué)科,在他創(chuàng)辦的柏拉圖學(xué)院門前就刻有一句話:不精通幾何學(xué)的人勿入此門[4]．平面幾何的研究對象是永恒實(shí)在的圖形理念,通過思考平面幾何中較為深層次的事物,個(gè)體更容易把握理念世界的終極目的善理念．立體幾何科目屬于三維尺度下的學(xué)習(xí),其研究對象為立方體等具有厚度的事物的理念．《理想國》中的天文學(xué)和諧音學(xué)為數(shù)學(xué)的應(yīng)用學(xué)科,柏拉圖提出要像研究幾何一樣忽視可感世界的事物,以理念為思考對象,提出問題并建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行天文研究[5]．同樣,柏拉圖認(rèn)為要從數(shù)字的角度對諧音學(xué)進(jìn)行研究,諧音學(xué)的研究對象并不是音樂的旋律,而是可聞音之間數(shù)的和諧關(guān)系．以上五門科目聯(lián)系緊密,立體幾何為平面幾何在三維空間的拓展,天文學(xué)為運(yùn)動(dòng)的立體之研究,同時(shí),天文學(xué)和諧音學(xué)是算術(shù)和幾何的應(yīng)用學(xué)科,柏拉圖要求學(xué)習(xí)者在深入掌握各科的基礎(chǔ)上,弄清各科的聯(lián)系并得出總體認(rèn)識(shí),提升理性思維．

柏拉圖認(rèn)為個(gè)體需要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)研究方法為假設(shè)-演繹法,假設(shè)-演繹法需要有前置條件,例如在研究算術(shù)和幾何時(shí),個(gè)體須先假設(shè)基數(shù)和圖形已知且絕對正確,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹推理獲得數(shù)學(xué)結(jié)論．但由于假設(shè)-演繹法的前置條件被默認(rèn)為自明的,沒有經(jīng)過嚴(yán)格證明,因此柏拉圖不認(rèn)同能夠通過這種方法獲得真正的知識(shí)．

3 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)思想

柏拉圖在《理想國》中針對數(shù)學(xué)教育提出了一系列數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)思想,可以將其分為以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)思想和以教師為主體的教學(xué)思想．

對學(xué)生來說,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先要有良好的記憶力,柏拉圖認(rèn)為對真理的熱愛會(huì)讓學(xué)習(xí)者在追求知識(shí)的道路上充滿動(dòng)力,因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要強(qiáng)烈的興趣．在學(xué)習(xí)者擁有對數(shù)學(xué)的興趣的基礎(chǔ)上,堅(jiān)持不懈的精神同樣為柏拉圖重視,他認(rèn)為學(xué)習(xí)的艱苦相比于肉體的勞累更有挑戰(zhàn)性,學(xué)習(xí)者面對困難不輕易放棄才會(huì)到達(dá)知識(shí)的彼岸．從以上分析可以認(rèn)識(shí)到柏拉圖在學(xué)生具備基本認(rèn)知條件的基礎(chǔ)上,注重調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性,使得他們主動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的學(xué)生主體性．

柏拉圖在《理想國》中談?wù)摂?shù)學(xué)教育時(shí)表露出了一系列教育教學(xué)思想．柏拉圖表示任何一個(gè)人學(xué)習(xí)算術(shù)、幾何等科目時(shí)均不應(yīng)該被強(qiáng)迫進(jìn)行,他提倡寓教學(xué)于游戲中,通過游戲可以了解學(xué)生的天性以及提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,進(jìn)而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動(dòng)性．柏拉圖重視數(shù)學(xué)教學(xué)的策略與方法,他認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要由易到難,逐步深入,先學(xué)習(xí)算術(shù),然后是二維的平面幾何,進(jìn)而是三維的立體幾何,最后是數(shù)學(xué)的應(yīng)用學(xué)科——研究運(yùn)動(dòng)三維物體的天文學(xué)和諧音學(xué)．柏拉圖還認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)與其他科目的聯(lián)系,即所謂“天性擅長算術(shù)的人,往往也敏于學(xué)習(xí)其他一切學(xué)科”[6]．?dāng)?shù)學(xué)和其他科目的這種聯(lián)系表明學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有助于學(xué)習(xí)其他學(xué)科,因此在教學(xué)時(shí)要考慮各學(xué)科的教學(xué)順序,這種聯(lián)系也提示了教師將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科結(jié)合進(jìn)行跨學(xué)科教學(xué)的可能性．

4 討論

(1)數(shù)學(xué)教育目的的兩種取向

《理想國》中數(shù)學(xué)教育目的可以分為促進(jìn)心靈轉(zhuǎn)向和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用,顯然柏拉圖更看重前者．然而當(dāng)代教育界的一些學(xué)者對數(shù)學(xué)教育目的有不同的看法,弗賴登塔爾(Freudenthal)提出了現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育思想:數(shù)學(xué)是有用的,學(xué)生要將學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到其他學(xué)科和現(xiàn)實(shí)生活中[7]．實(shí)用主義教育家杜威(Dewey)認(rèn)為數(shù)學(xué)要與生活緊密聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)對兒童生活經(jīng)驗(yàn)的改造[8]．在今天的數(shù)學(xué)教育中,數(shù)學(xué)在改造世界中的應(yīng)用價(jià)值和培養(yǎng)人理性思維的作用均被各國教育界認(rèn)同,并在各自國家的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中體現(xiàn)[9]．

(2)本體論視域下的數(shù)學(xué)教育內(nèi)容

柏拉圖認(rèn)為數(shù)學(xué)并不是由人類創(chuàng)造的,只是為人類發(fā)現(xiàn)．他對數(shù)學(xué)本體論的這一觀念也被稱作數(shù)學(xué)柏拉圖主義,并影響著后世數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的認(rèn)知,康托爾(Cantor)便認(rèn)為數(shù)學(xué)家的工作是發(fā)現(xiàn)而不是發(fā)明[10]．但數(shù)學(xué)柏拉圖主義作為柏拉圖客觀唯心主義的產(chǎn)物,不能解釋構(gòu)造數(shù)學(xué)家的工作,因此也被一些數(shù)學(xué)家批評(píng),弗賴登塔爾便認(rèn)為“數(shù)學(xué)是人類的活動(dòng)”[11]．

在柏拉圖看來,數(shù)學(xué)的研究方法為假設(shè)-演繹法,這與羅素(Russell)認(rèn)為數(shù)學(xué)是邏輯演繹體系的觀點(diǎn)相似．柏拉圖對假設(shè)-演繹法有超越時(shí)代的認(rèn)識(shí),他認(rèn)為假設(shè)-演繹法的前置條件沒有經(jīng)過嚴(yán)格證明,不一定能夠獲得真正的知識(shí)．

(3)歷久彌新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)思想

柏拉圖在《理想國》中提出的許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)思想在今天仍然適用．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面,柏拉圖重視學(xué)生的主觀能動(dòng)性以及學(xué)習(xí)過程中的主體性,我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)同樣明確指出:學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體[12]．柏拉圖認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不應(yīng)該被強(qiáng)迫進(jìn)行,學(xué)生需要對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣,當(dāng)代數(shù)學(xué)教育家波利亞(Polya)提出的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原則之一就是最佳動(dòng)機(jī)原則:學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中要有興趣的刺激[13]．柏拉圖提出的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生應(yīng)具備備的認(rèn)知條件、學(xué)習(xí)品質(zhì)等在當(dāng)代數(shù)學(xué)教育中同樣被重視．在數(shù)學(xué)教學(xué)方面,柏拉圖提出了一些數(shù)學(xué)教學(xué)的策略與方法,他認(rèn)為教師要注意教學(xué)的順序,教學(xué)內(nèi)容要由易到難、逐步深入,波利亞針對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)順序也提出了階段循序原則:學(xué)生必須有序經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中低級(jí)到高級(jí)三個(gè)階段[13]．

5 結(jié)語

柏拉圖的數(shù)學(xué)教育思想與許多當(dāng)代數(shù)學(xué)教育家的觀點(diǎn)不謀而合,在今天仍然充滿生機(jī)．?dāng)?shù)學(xué)教育實(shí)踐者要重視數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)理性思維的獨(dú)特作用.例如,教師可以在教學(xué)幾何等數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)有意脫離現(xiàn)實(shí)物理世界,要求學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行思考,在教學(xué)數(shù)學(xué)研究方法時(shí)要求學(xué)生對假設(shè)-演繹法進(jìn)行批判性思考,達(dá)到提升學(xué)生理性思維層次的目的．?dāng)?shù)學(xué)教育實(shí)踐者還要吸收柏拉圖數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)思想的精華,如搭建腳手架教學(xué)、進(jìn)行跨學(xué)科教學(xué)、通過數(shù)學(xué)游戲調(diào)動(dòng)學(xué)生主觀能動(dòng)性等,并將之融入實(shí)踐,實(shí)現(xiàn)自我和學(xué)生的雙重提升．