周曉杰

（大連大學(xué)信息工程學(xué)院 遼寧 大連 116622）

2017 年以來(lái)，教育部積極推進(jìn)新工科建設(shè)，奏響“復(fù)旦共識(shí)、天大行動(dòng)、北京指南”三部曲。新工科建設(shè)以立德樹(shù)人為引領(lǐng)，培養(yǎng)面向未來(lái)的創(chuàng)新型卓越工程人才[1]。作為理工科的一門重要基礎(chǔ)課，高等數(shù)學(xué)不但是很多工科專業(yè)課程的知識(shí)基礎(chǔ)，也承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神、提升其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的重要任務(wù)。因此，面對(duì)新工科建設(shè)的機(jī)遇與挑戰(zhàn)，高等數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)做出適當(dāng)?shù)母母铩?/p>

教育部2015 年發(fā)布的《關(guān)于加強(qiáng)專業(yè)學(xué)位研究生案例教學(xué)和聯(lián)合培養(yǎng)基地建設(shè)的意見(jiàn)》文件指出，案例教學(xué)是以學(xué)生為中心，以案例為基礎(chǔ)，通過(guò)呈現(xiàn)案例情境，將理論與實(shí)踐緊密結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而掌握理論、形成觀點(diǎn)、提高能力的一種教學(xué)方式[2]。案例教學(xué)法在法律、醫(yī)學(xué)、工商管理等學(xué)科教學(xué)中的成功促使我們探索其在大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[3-4]。

1 案例法引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的意義

1.1 案例教學(xué)法能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

作為地方性普通本科院校，大連大學(xué)學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)普遍不高。以2022 年某理工科專業(yè)為例，忽略各省高考試卷的不同，單從分?jǐn)?shù)來(lái)看，該專業(yè)高考數(shù)學(xué)平均分僅為91.3 分，不及格率為41.5%，相當(dāng)一部分同學(xué)反映數(shù)學(xué)是其弱勢(shì)科目，多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及長(zhǎng)期學(xué)習(xí)受挫的經(jīng)歷磨滅了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過(guò)引入案例教學(xué)法，將抽象的理論和專業(yè)問(wèn)題以及生活實(shí)際結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

1.2 案例教學(xué)法是以學(xué)生為中心理念的體現(xiàn)

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)側(cè)重講授概念、性質(zhì)、定理等理論知識(shí)，以及幫助學(xué)生理解這些理論的例題及習(xí)題。在這個(gè)過(guò)程中，以教師為主體，學(xué)生處于被動(dòng)接受的地位。而采用案例教學(xué)法，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)生主動(dòng)思考，參與其中，在“做中學(xué)”，更能體現(xiàn)以學(xué)生為中心的教學(xué)理念。在案例教學(xué)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)新能力，使學(xué)生掌握面向未來(lái)的本領(lǐng)，這也是以學(xué)生發(fā)展為中心教學(xué)理念的體現(xiàn)。

1.3 案例教學(xué)法有利于課程思政目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)

在當(dāng)前“大思政”的背景下，如何將“全過(guò)程育人，全方位育人”的思政元素融入具體的教學(xué)設(shè)計(jì)當(dāng)中，是每門課程都面臨的問(wèn)題。課程思政講求“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”，如“鹽溶于水”，在潛移默化中對(duì)學(xué)生進(jìn)行正確的價(jià)值引導(dǎo)。而如果為了思政而思政，生硬地展示思政元素則可能產(chǎn)生適得其反的效果。采用案例教學(xué)，可將思政元素融于案例中、融入故事中，進(jìn)而相對(duì)更好地實(shí)現(xiàn)課程思政的育人目標(biāo)。

2 高等數(shù)學(xué)案例的整體教學(xué)設(shè)計(jì)

在充分分析高等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容及教學(xué)要求的基礎(chǔ)上，我們收集整理了教學(xué)案例庫(kù)，主要包含概念引入型案例和數(shù)學(xué)應(yīng)用型案例，并將思政教學(xué)目標(biāo)融入其中。教材采用大連理工大學(xué)出版的《工科數(shù)學(xué)分析》，全書共九章，案例教學(xué)整體實(shí)施方案見(jiàn)表1。

表1 案例教學(xué)整體實(shí)施方案

3 案例教學(xué)舉例

本節(jié)以高等數(shù)學(xué)第一章極限部分單調(diào)有界原理內(nèi)容為例，介紹案例教學(xué)法的具體實(shí)施過(guò)程。

3.1 教學(xué)分析

經(jīng)過(guò)前面內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)能夠理解極限概念的思想及定義，會(huì)用極限的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則計(jì)算簡(jiǎn)單的極限。單調(diào)有界原理是一個(gè)重要的極限存在準(zhǔn)則，也是證明第二重要極限的基礎(chǔ)，需要學(xué)生理解其內(nèi)涵并會(huì)應(yīng)用其解決實(shí)際問(wèn)題。剛?cè)氪髮W(xué)的學(xué)生容易延續(xù)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，注意力主要放在如何做題上，因此教師宜多培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考及分析問(wèn)題的能力。本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是對(duì)單調(diào)有界原理的理解及運(yùn)用，教學(xué)難點(diǎn)是通過(guò)案例培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

3.2 教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：理解單調(diào)有界原理的內(nèi)容，會(huì)用單調(diào)有界原理解決數(shù)列極限問(wèn)題。能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成孜孜以求的奮斗精神。

3.3 教學(xué)方法

以案例教學(xué)法為主導(dǎo)，通過(guò)案例問(wèn)題，采用啟發(fā)式的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。采用“數(shù)形結(jié)合”的思想幫助學(xué)生理解。

3.4 教學(xué)過(guò)程

3.4.1 案例引入

心理學(xué)研究指出，任何一種新技能的獲得和提高都要經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的學(xué)習(xí)。我們經(jīng)常有這樣的經(jīng)歷，兩人學(xué)習(xí)某項(xiàng)技能，經(jīng)過(guò)相同時(shí)間的學(xué)習(xí)后，他們對(duì)該技能的掌握程度可能有較大的差異，這種現(xiàn)象是如何產(chǎn)生的呢？能否用數(shù)學(xué)方法加以解釋[5]？

3.4.2 案例分析

學(xué)習(xí)是一個(gè)積累的過(guò)程，技能的掌握程度不但與學(xué)習(xí)者的初始掌握程度及學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)，也與其自身的學(xué)習(xí)效率密切相關(guān)。假設(shè)b0為開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)的技能掌握程度，A 表示經(jīng)過(guò)一次學(xué)習(xí)之后所掌握的程度，即每次學(xué)習(xí)所掌握的內(nèi)容占未掌握內(nèi)容的百分比。

下面探究數(shù)學(xué)模型的建立，通過(guò)啟發(fā)式教學(xué)與學(xué)生共同建立模型。

記bn為經(jīng)過(guò)n次學(xué)習(xí)后所掌握的程度。則1b0就是第一次學(xué)習(xí)時(shí)尚未掌握的新內(nèi)容，經(jīng)過(guò)一次學(xué)習(xí)掌握的新內(nèi)容為A1b0，于是b1b0=A1=b0，類似有b2b1=A1b1。以此類推，得到經(jīng)過(guò)n次學(xué)習(xí)后所掌握的程度為bn+1bn=A1bn,n=0，1，2，…，即

bn+1= 1A bn+A，n=0，1，2，

于是，將該技能掌握程度表示成一個(gè)數(shù)列，通過(guò)分析數(shù)列，即可得到想要的結(jié)論。

3.4.3 案例求解

探究數(shù)列特點(diǎn)，可以首先用數(shù)形結(jié)合的方法，將數(shù)列可視化來(lái)進(jìn)行觀察。不妨假設(shè)b0=0，分別取A為不同值，觀察數(shù)列的情況如圖1。

圖1 數(shù)列元素圖示

從圖像觀察得知：無(wú)論A的取值如何，數(shù)列都是單調(diào)遞增的，而且隨n著的增大，無(wú)限趨近于1，即由此引出單調(diào)有界原理這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想具體講解兩種情況：若數(shù)列單調(diào)遞增且有上界或單調(diào)遞減且有下界，則該數(shù)列必有極限。

回到原問(wèn)題，從上述建立的數(shù)學(xué)模型可知，經(jīng)過(guò)同樣時(shí)間的學(xué)習(xí)過(guò)程，不同的人技能掌握程度產(chǎn)生差異主要是因?yàn)閷W(xué)習(xí)效率的不同。若掌握95%以上的學(xué)習(xí)內(nèi)容則認(rèn)為該技能基本掌握，則學(xué)習(xí)效率A=0.8 的同學(xué)只需要兩次學(xué)習(xí)即可達(dá)到，而A=0.3 的同學(xué)則需要9 次學(xué)習(xí)才能達(dá)到。雖然過(guò)程不同，但只要通過(guò)足夠次數(shù)的學(xué)習(xí)都能達(dá)到掌握知識(shí)的目的，殊途同歸。由此我們還可以看出，隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)行，掌握速度越來(lái)越慢，入門容易，深入鉆研難，要追求卓越就要發(fā)揚(yáng)孜孜以求的奮斗精神。

3.4.4 數(shù)學(xué)擴(kuò)展

為了鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，可以用典型的極限問(wèn)題來(lái)講解單調(diào)有界原理的應(yīng)用。例如，1996 年高等數(shù)學(xué)考研題：設(shè)x1=10，，試證數(shù)列{xn}極限存在，并求此極限。做題的同時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)利用單調(diào)有界原理解決極限問(wèn)題的常用情形及具體應(yīng)用方法。

3.4.5 思考

最后給出兩個(gè)思考題：①在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，一般要考慮兩種機(jī)制：知識(shí)的獲得和知識(shí)的遺忘，在此機(jī)制下，模型又該如何建立？②若用模型刻畫知識(shí)的記憶程度，考慮艾賓浩斯記憶曲線，模型又該如何改進(jìn)？思考題供有余力的同學(xué)進(jìn)行鉆研，可進(jìn)一步提升學(xué)生的創(chuàng)新能力。

3.5 教學(xué)反思

本小節(jié)的教學(xué)采用案例教學(xué)法，使學(xué)生聚焦于分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的情境中，能夠在教師的引導(dǎo)下主動(dòng)思考，在解決問(wèn)題的過(guò)程中掌握單調(diào)有界原理這一知識(shí)，并能潛移默化地對(duì)學(xué)生進(jìn)行價(jià)值引領(lǐng)，實(shí)現(xiàn)了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。

4 結(jié)語(yǔ)

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中采用案例教學(xué)法，可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力。本文通過(guò)單調(diào)有界原理小節(jié)的教學(xué)具體闡述了案例教學(xué)的過(guò)程及效果。后續(xù)還將繼續(xù)收集教學(xué)案例，做好案例教學(xué)學(xué)時(shí)與講授學(xué)時(shí)的分配，編制基于案例教學(xué)的課程整體教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)單元設(shè)計(jì)，力爭(zhēng)實(shí)現(xiàn)案例教學(xué)成效最大化。