霍瑞麗, 王 坤, 張 姍

(1.南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院, 南京 211816;2. 上海中森建筑與工程設(shè)計顧問有限公司,上海 200062)

梁是建筑和橋梁工程中最基本的受力構(gòu)件,在復(fù)雜應(yīng)力環(huán)境下易產(chǎn)生各種形態(tài)的裂縫,裂縫的存在將改變結(jié)構(gòu)原有的動力特性,影響結(jié)構(gòu)的耐久性,嚴(yán)重時引發(fā)工程災(zāi)難[1-3]。20世紀(jì)80年代,Christides等[4]首次對梁上下表面含對稱裂縫的歐拉梁建立了微分方程,利用連續(xù)剛度公式近似模擬由裂縫引起的應(yīng)力場變化,該理論也適用于僅一側(cè)存在裂縫梁的彎曲振動。Chondros等[5]基于斷裂力學(xué)理論,考慮裂縫的影響建立了連續(xù)變化的柔度矩陣,建立彈簧剛度Kt與裂縫尺寸之間的關(guān)系,為求解裂縫梁的振動提供新思路。王術(shù)新等[6]對裂縫梁前3階固有頻率的變化與裂縫位置和深度之間的關(guān)系進(jìn)行了計算和分析,發(fā)現(xiàn)裂縫梁的邊界條件不同,其振動特性不同,固有頻率的變化規(guī)律也不同。王敏楊等[7-8]基于裂縫損傷識別技術(shù),為等截面裂縫梁動力特性的研究提供新方法。趙佳雷等[9-10]基于能量法,利用Chebyshev-Ritz法對含多裂縫梁的自由振動進(jìn)行了分析,并探討了豎向裂縫參數(shù)對結(jié)構(gòu)的影響。

鄧焱等[11]對T形截面梁進(jìn)行了損傷位置和損傷程度檢測,驗證了曲率模態(tài)對橋梁損傷的敏感性。張姍等[12]研究了含單裂紋 T 型梁的自振特性,并與實際 T 型截面梁的有限元分析結(jié)果對比驗證了結(jié)果的正確性。Shivani等[13]通過建立數(shù)學(xué)模型研究了裂縫傾斜角度、位置、尺寸對不同邊界條件下斜裂縫梁振動特性的影響。馬輝等[14]建立了斜裂縫懸臂梁的有限元模型,研究裂縫參數(shù)對梁非線性振動特性的影響。Sunil等[15]利用扭轉(zhuǎn)線彈簧模型表征斜裂縫的柔度,結(jié)合靜態(tài)撓度測量檢測斜裂縫懸臂梁的損傷問題。Nandwana等[16]利用扭轉(zhuǎn)線彈簧模擬了細(xì)長梁中的裂縫,探討了傾角為45°的斜裂縫懸臂梁與含內(nèi)部裂縫簡支梁的橫向振動特性。李忠獻(xiàn)等[17]采用模態(tài)應(yīng)變能推導(dǎo)了斜裂縫深度的表達(dá)式,結(jié)合遺傳神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)對斜裂縫位置和傾斜角度的識別,為斜裂縫梁的損傷識別提供理論依據(jù)。Behera等[18]基于有限元ANSYS軟件對斜裂縫懸臂梁進(jìn)行建模與仿真分析,研究模態(tài)參數(shù)隨裂縫參數(shù)的變化規(guī)律。蔣杰等[19-20]基于小變形的二維線彈性力學(xué)理論,分析了端部有裂紋的懸臂梁和固支深梁的自由振動特性,探討了高跨比、裂縫深度對自振頻率和振型的影響,但只考慮了豎向裂縫,未考慮斜裂紋對結(jié)構(gòu)動力特性的影響。

由于結(jié)構(gòu)幾何外形及荷載形式的復(fù)雜性,尤其是動力荷載作用下以剪切變形為主的深梁,服役過程中常常產(chǎn)生斜裂縫。當(dāng)前大多數(shù)的學(xué)者對帶裂縫梁振動特性的研究主要集中于豎向裂縫,對斜裂縫影響結(jié)構(gòu)振動特性理論方面的研究相對較少。本文以帶斜裂縫的矩形截面梁為研究對象,精細(xì)劃分子域單元,通過坐標(biāo)變換方程將劃分后的梯形求解域轉(zhuǎn)化為矩形求解域,采用Chebyshev-Ritz法得到變換后各子域的振動特征方程,結(jié)合位移連續(xù)性條件聯(lián)立各子域振動方程進(jìn)行求解。采用有限元軟件進(jìn)行對比分析驗證,研究了裂縫傾斜角度、位置對梁整體振動特性的影響。

1 斜裂縫梁的振動特征方程

1.1 模型單元

考慮含斜裂縫的矩形截面梁,假設(shè)裂縫斜向直線型發(fā)展,裂縫深度沿梁的寬度方向不發(fā)生變化,如圖1所示。梁長為l,寬為b,高為h,梁底端存在沿正方向傾斜角度為θ的斜裂縫,斜裂縫長度為a(裂縫沿梁截面高度方向的有效長度為acosθ),梁底端斜裂縫距離梁左右兩端的距離分別為l2和l3,斜裂縫尖端距離梁上下表面的垂直距離分別為h1,h2。梁的彈性模量為E,密度為ρ,泊松比為μ。梁寬b遠(yuǎn)小于梁高h(yuǎn),故可將三維的振動問題采用二維彈性力學(xué)的平面應(yīng)力理論求解。將梁劃分為3個子域q(q=1, 2, 3),并建立局部坐標(biāo)系。

圖1 斜裂縫梁的分析模型Fig.1 Analytical model of beams with diagonal cracks

1.2 坐標(biāo)變換

為簡化計算,對矩形子域1進(jìn)行無量綱化處理,梯形子域2、梯形子域3運(yùn)用坐標(biāo)變換系統(tǒng),將梯形求解域等效為規(guī)則的正方形求解域,如圖2所示。坐標(biāo)變換表達(dá)式如下所示。

圖2 坐標(biāo)變換系統(tǒng)Fig.2 Coordinate transformation system

子域q=1

(1)

子域q=2

(2)

子域q=3

(3)

根據(jù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則,各子域q坐標(biāo)變換前后導(dǎo)數(shù)的變換關(guān)系式應(yīng)滿足

(4)

式中,雅克比矩陣Jq的表達(dá)式為

(5)

故各子域q的雅克比矩陣Jq為

(6)

把式(5)代入式(4),可得兩類坐標(biāo)間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系滿足

(7)

故各子域q的坐標(biāo)間導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為

(8)

1.3 各子域的振動特征方程

帶斜裂縫的矩形截面梁被劃分為3個部分后,對3個子域梁的振動問題進(jìn)行獨(dú)立分析。由二維彈性力學(xué)的平面應(yīng)力理論,斜裂縫矩形梁各子域q的線彈性應(yīng)變能Vq與動能Tq分別為

(9)

(10)

平面應(yīng)力理論中的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足

(11)

式中:線性應(yīng)變關(guān)系又滿足如下關(guān)系式

(12)

子域q在x,z方向上的位移函數(shù)uq,wq可表示為

(13)

將式(13)分別代入式(9)、式(10),得到各子域梁的最大應(yīng)變能Vmax,q和最大動能Tmax,q

(14)

(15)

式中,雅克比矩陣Jq的行列式分別為

為得到高收斂性的解,用Chebyshev多項式與邊界函數(shù)的乘積構(gòu)造各子域q的位移試函數(shù)

(16)

式中:φu,q,φw,q,φu,q,φw,q分別為各子域梁的邊界函數(shù)沿x,z方向上的分量;Aij,q,Bmn,q為位移函數(shù)中相應(yīng)項的未知系數(shù)。Ps(χ) (χ=xq,zq)為在區(qū)域[-1,1]的一維s階Chebyshev多項式函數(shù),表達(dá)式為

Ps(χ)=cos[(s-1)arccos(χ)],s=1,2,3,…

(17)

各子域梁的能量泛函Π為

Πq=Vmax,q-Tmax,q

(18)

求解最小泛函

(19)

將式(14)、式(15)代入式(19),推導(dǎo)出各子域q的振動特征方程為

([Kq]-Ω2[Mq]){Xq}=0

(20)

式中:[Kq],[Mq]分別為第q個子域的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣;Ω為無量綱固有頻率;{Xq}為未知系數(shù)Aij,q與Bmn,q構(gòu)成的列向量。其中

{Aq}={A11,qA12,q…A21,qA22,q…Ai1,q…Aij,q}T,

{Bq}={B11,qB12,q…B21,qB22,q…Bm1,q…Bmn,q}T

(21)

式(21)中各子域q的矩陣元素分別如下所示。

當(dāng)q=1時

(22)

其中,

λ1=h1/l1,γ1=h1l1/hl,h1=h-acosθ,

(23)

當(dāng)q=2,3時

(24)

其中,

λq=h2/lq,γq=h2lq/hl,h2=acosθ

(25)

1.4 斜裂縫梁的振動特征方程

對3個子域梁的振動特征方程進(jìn)行整合,可得整個斜裂縫梁的振動特征方程

[K]-Ω2[M]){X}=0

(26)

其中,

(27)

由于子域梁段間的位移連續(xù)性,子域1與子域2、子域3在交界處的位移試函數(shù)滿足如下關(guān)系式

(28)

式中,

(29)

由Chebyshev多項式的基本性質(zhì)可知

(30)

(31)

將位移試函數(shù)式(16)代入式(28),并借助式(30)和式(31),推導(dǎo)出子域1與子域2、子域3間的未知系數(shù)Aij,q,Bmn,q滿足關(guān)系式

(32)

(33)

式中

(34)

由上述各子域間的位移連續(xù)性可知式(26)中列向量{X}的未知系數(shù)Aij,q,Bmn,q并非完全獨(dú)立,因此引入獨(dú)立的列向量來消除非獨(dú)立系數(shù)。令

(35)

將式(35)代入式(26),整個斜裂縫梁的振動特征方程轉(zhuǎn)化為

(36)

2 收斂性分析

為驗證本方法的收斂性,以兩端固支的斜裂縫矩形截面梁為例,考慮3種高跨比(h/l=0.1, 0.2, 0.5)的影響,分析結(jié)構(gòu)前8階無量綱頻率參數(shù)Ω的收斂情況,如表1所示。該梁的彈性模量E=210 GPa,密度ρ=7 800 kg/m3,泊松比μ=0.3,裂縫長度a=0.2h,裂縫位于跨中(l2/l=0.5)且裂縫傾斜角度θ=30°。計算過程中各子域梁的位移函數(shù)uq,wq在x,z方向上選取相同數(shù)量的Chebyshev多項式級數(shù)項來提高計算效率,由表1可知,隨著Chebyshev多項式級數(shù)項的增加,頻率參數(shù)單調(diào)收斂,當(dāng)級數(shù)項達(dá)到40×10時,無量綱頻率參數(shù)Ω精度可達(dá)到3位有效數(shù)字以上,具有良好的收斂性。

表1 不同高跨比兩端固支斜裂縫矩形梁無量綱頻率參數(shù)Ω的收斂性Tab.1 Convergence of non-dimensional frequency parameters Ω of rectangular beams with diagonal cracks fixed at two ends with different high-span ratios

3 結(jié)果對比分析

3.1 本文解與文獻(xiàn)結(jié)果的對比

為驗證本文理論方法的準(zhǔn)確性,將本文解與文獻(xiàn)[21]的試驗結(jié)果進(jìn)行對比。試驗結(jié)果與本文解的對比如表2所示。由表2可知,本文解與試驗結(jié)果高度吻合,誤差控制在1.430 4%以內(nèi),證明了本文方法的合理性和有效性。

表2 不同裂縫傾斜角度下兩端固支斜裂縫矩形梁無量綱頻率本文解與文獻(xiàn)[21]試驗結(jié)果的對比Tab.2 Comparison of non-dimensional frequency between analytical and Ref [21] for rectangular beams with different diagonal cracks fixed at two ends

為進(jìn)一步證明本文方法的有效性,將本文解與Shivani等的解進(jìn)行對比分析,不同裂縫角度下(θ=30°, 45°, 60°)無量綱頻率的比較, 如表3所示。材料彈模E為2 GPa,密度ρ為7 850 kg/m3,梁的高跨比h/l為0.1。由表3可知兩種方法的最大誤差為1.862 3%,結(jié)果吻合較好。另外,傳統(tǒng)方法在分析斜裂縫梁的動力學(xué)特性時,通常將梁等效為在裂縫處由彈簧連接的兩部分,首先需考慮等效彈簧的剛度,對于斜裂縫梁,還要考慮彈簧位置對結(jié)果的影響,頻率階次越高,誤差越大。本文提出的理論方法不需進(jìn)行上述假設(shè),按照實際裂紋形態(tài)將梁劃分為三部分進(jìn)行分析,利用坐標(biāo)變換法將梯形區(qū)域轉(zhuǎn)換為矩形求解域,結(jié)合位移連續(xù)性條件整合三部分方程,具有更高的精度,且還可進(jìn)一步推廣至任意四邊形區(qū)域廣泛應(yīng)用。

表3 不同裂縫傾斜角度下前3階無量綱頻率本文解與文獻(xiàn)[13]解的對比Tab.3 Comparison of non-dimensional frequency between analytical and Ref [13] solutions for different diagonal cracks

3.2 本文解與有限元解的對比

為了檢驗本文方法對于不同傾斜角度下裂縫梁的精度,考慮當(dāng)高跨比h/l=0.1,裂縫位于跨中(l2/l=0.5),裂縫長度a=0.2h時,不同裂縫傾斜角度(-15°,0°,15°,30°,45°)下有限元ANSYS軟件計算結(jié)果與本文解的前8階無量綱頻率參數(shù)值對比,采用PLANE183實體單元對斜裂縫梁進(jìn)行模擬,如表4所示。由表4可知,當(dāng)傾斜角度值不大于45°時,有限元解與本文解的最大誤差可控制在3.578 2%以內(nèi);傾斜角度值越小,理論解與有限元解越接近,模擬的誤差越小。當(dāng)裂縫傾斜角度趨于0° 時,理論上斜裂縫梁的計算結(jié)果應(yīng)接近于豎向裂縫梁的理論解,當(dāng)傾斜角度為0°時,本文解與含豎向裂縫梁的有限元解最大誤差僅為-0.673 5%,可以證明本文方法的精確性。

表4 不同裂縫傾斜角度下兩端固支斜裂縫矩形梁無量綱頻率本文解與有限元解的對比Tab.4 Comparison of non-dimensional frequency between analytical and experimental results for rectangular beams with different diagonal cracks fixed at two ends

高跨比h/l=0.1的兩端固支斜裂縫矩形截面梁,裂縫傾斜角度θ=30°,位于l2/l=0.2處時上表面豎向位移W本文解與有限元解的對比,如表5所示。由表5可知豎向位移W有限元解與本文解的最大誤差控制在3.820 5%以內(nèi),進(jìn)一步證明了本文方法的精確性。

表5 兩端固支斜裂縫矩形梁豎向位移W本文解與有限元解的對比Tab.5 Comparison of the vertical displacement W between analytical and FE solutions for rectangular beams with diagonal cracks fixed at two ends

4 參數(shù)分析

4.1 斜裂縫參數(shù)對結(jié)構(gòu)頻率的影響

以高跨比h/l=0.1,裂縫長度a=0.2h的兩端固支梁為例,分別分析了斜裂縫的傾斜角度與裂縫位置對固有頻率的影響。4種不同裂縫傾斜角度(0°,15°,30°,45°)情況下前8階無量綱頻率參數(shù)隨著裂縫位置的變化而產(chǎn)生的影響,如圖3所示。由圖3可知,對于兩端固支的梁,當(dāng)斜裂縫在跨中時,對結(jié)構(gòu)自振頻率的影響相對較大,裂縫位置對高階無量綱頻率的影響更為顯著;隨著裂縫傾斜角度值的增加,斜裂縫梁的無量綱頻率逐漸增加。

圖3 不同裂縫傾斜角度下裂縫位置對固支裂縫梁頻率的影響Fig.3 The effect of crack position at different diagonal angles on the frequency of beams fixed at two ends

4.2 斜裂縫參數(shù)對振型的影響

以高跨比h/l=0.1,裂縫長度a=0.2h的兩端固支梁的上表面豎向位移W的振型圖為例,分析斜裂縫位置、傾斜角度對振型的影響。當(dāng)傾斜角度θ為30°時,5種不同裂縫位置(l2/l= 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5)下斜裂縫梁上表面豎向位移W振型圖的變化情況,如圖4所示。由圖4可知:斜裂縫位置對結(jié)構(gòu)振型分布影響不大,但對結(jié)構(gòu)的低階振型的位移影響較為顯著,距離裂縫位置越近,位移值變化越明顯;遠(yuǎn)離裂縫的一端振型分布及位移值沒有明顯變化;裂縫位置對高階振型影響較小。

圖4 不同裂縫位置固支斜裂縫梁前4階振型圖Fig.4 The first four mode of beams fixed at two ends with diagonal cracks at different crack positions

當(dāng)裂縫位于跨中(l2/l= 0.5)時,4種不同角度(θ= 15°, 22.5°, 30°, 45°)下斜裂縫梁上表面豎向位移W振型圖的變化情況,如圖5所示。由圖5可知,斜裂縫的傾斜角度對結(jié)構(gòu)的振型分布影響不大,但對低階振型尤其是一階振型位移值影響較大,裂縫傾斜角度越大,各點位移值越大。

圖5 不同傾斜角度時固支帶斜裂縫梁前4階振型Fig.5 The first four mode of beams fixed at two ends with different diagonal angles

5 結(jié) 論

本文以斜裂縫梁為研究對象,通過引入坐標(biāo)變換方程將梯形子域轉(zhuǎn)換為矩形域,利用Chebyshev-Ritz法分別建立各子域梁的振動方程,結(jié)合各子域梁界面交界處的位移連續(xù)性得到整個斜裂縫梁的振動特征方程,并結(jié)合算例進(jìn)行了收斂性及參數(shù)分析。主要結(jié)論如下:

(1)基于彈性力學(xué)平面應(yīng)力理論建立振動方程,無需考慮剪切效應(yīng)的影響,與傳統(tǒng)平截面假定理論相比,分析精度更高,計算更直觀便捷,且具有較好的收斂性。

(2)以兩端固支斜裂縫梁為例,分析了斜裂縫位置、傾斜角度對結(jié)構(gòu)自振頻率的影響。結(jié)果表明,裂縫位置對高階結(jié)構(gòu)自振頻率的影響更顯著;斜裂縫在固支梁跨中位置時,對結(jié)構(gòu)自振頻率影響較大,位于兩端時影響較小;同一位置的斜裂縫傾斜角越大,結(jié)構(gòu)的自振頻率越大。

(3)以兩端固支斜裂縫梁為例,研究了斜裂縫位置、傾斜角度對結(jié)構(gòu)振型的影響。斜裂縫位置及傾斜角度對結(jié)構(gòu)一階振型的影響較大,距離裂縫位置越近,傾斜角度越大,固支梁上表面位移值增大越明顯;對高階振型影響較小。