盧偉山

新高考注重考查學(xué)生關(guān)鍵能力和學(xué)科核心素養(yǎng)等多重功能，筆者研讀近年真題時(shí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)函數(shù)最值的考查頻率非常之高，函數(shù)最值問題需要學(xué)生較好掌握三角函數(shù)、二次函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，基本不等式等知識(shí)，而且需要一定的數(shù)學(xué)思維，能夠全面考查學(xué)生關(guān)鍵能力。

一、指向數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力提升的函數(shù)最值高考真題賞析

1.利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值問題

利用導(dǎo)數(shù)求最值的問題在這近年高考試題中開始慢慢的滲透到其他知識(shí)考點(diǎn)的考查中。

例1.已知函數(shù)f（x）=2sinx+ sin2x，則f（x）的最小值是????????? ．

例2.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p0.

例1和例2分別是2018年全國卷I的填空題第16題和第20題概率題，這是兩道極具創(chuàng)新的試題，學(xué)生熟悉又陌生。學(xué)生會(huì)主觀上會(huì)認(rèn)為這是考查三角函數(shù)，從而選擇利用三角函數(shù)的方法來求最值（輔助角公式化成單一三角函數(shù)），其實(shí)不然，注意例1的函數(shù)解析式并非同角的兩個(gè)三角函數(shù)的形式。因此，學(xué)生在嘗試后會(huì)發(fā)現(xiàn)思路受阻，無法解答。例2則是將二項(xiàng)分布的概率和函數(shù)最值相結(jié)合，意料之外，情理之中，概率解析式是學(xué)生比較熟悉的，但這類“函數(shù)”的最值求法卻是“新穎”的。

若解析式中的三角函數(shù)不是同角的兩個(gè)三角函數(shù)的形式時(shí)，考慮到函數(shù)的連續(xù)性，就可以嘗試?yán)美脤?dǎo)數(shù)求最值的方法。例2中的函數(shù)f（p）=p2（1-p）18，將P視為自變量，函數(shù)的解析式可以看作是自變量P的高階函數(shù)，然后利用求導(dǎo)來求最值，在高中階段，對(duì)自變量的高階函數(shù)最值問題，最有效的方法就是通過求導(dǎo)求最值。2017年全國卷I填空題第16題也以屬于此類題型，此類題型屬于對(duì)連續(xù)型函數(shù)的通過求導(dǎo)求最值。此外，非連續(xù)型的函數(shù)（如數(shù)列）也可以通過導(dǎo)函數(shù)求最值。

2.利用基本函數(shù)的有界性求最值問題

高考試題中常見利用三角函數(shù)和二次函數(shù)的有界性來求函數(shù)最值。

（1）求E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

例7考查三角形周長(zhǎng)最大值的問題，在余弦定理構(gòu)造的等式中，應(yīng)用基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求得最值，例8是高考解題幾何中?？歼@類求最值的題型，基本思路是通過計(jì)算，最后轉(zhuǎn)成基本不等式求最值。選擇填空題也常見到利用基本不等式求最值。

基本不等式的本質(zhì)是揭示常量與變量之間的關(guān)系，利用基本不等求最值的第一個(gè)類型就是求幾個(gè)正數(shù)和的最小值，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，通過添加常數(shù)、拆項(xiàng)等方式使其積為常量；當(dāng)積是常量時(shí)，就可以求變量的和的最值；第二個(gè)類型求幾個(gè)正數(shù)積的最大值，一般通過乘以或除以常數(shù)、拆因式（常常是拆高次的因式）、平方等方式構(gòu)造條件使其和為常數(shù)，當(dāng)其和是常量時(shí)，就可以求變量的積的最值。利用基本不等式求最值時(shí)需要特別注意：一正、二定、三相等的原則，考題常從這三個(gè)角度設(shè)置考點(diǎn)。

二、基于函數(shù)最值問題的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力提升的教學(xué)建議

教學(xué)中，像本文所探討的函數(shù)最值問題的幾種解法都需要在平時(shí)教學(xué)中著重講解的求解方法，我們教學(xué)要幫學(xué)生夯實(shí)幾種最值解法的解題思路，解題步驟，應(yīng)用場(chǎng)景等。另外，我們還需要重視教會(huì)學(xué)生牢牢掌握、理解好數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、模型的本質(zhì)。

從近五年的函數(shù)最值問題的高考真題來看，并不考查的單一知識(shí)點(diǎn)，往往都多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交匯，綜合性較強(qiáng)。我們教學(xué)中需要重視知識(shí)的整體性和關(guān)聯(lián)性，厘清各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的要素，以及要素之間的關(guān)聯(lián)性。只有這樣，學(xué)生才能夠在復(fù)雜的題目中尋找到解決方法。

此外，高考題逐漸淡化特殊解題技巧，越來越重視通性通法的考查。在教學(xué)中我們也應(yīng)該更多注重解決相關(guān)問題的通性通法，盡量探索問題解決最本質(zhì)、最基本的方法。當(dāng)學(xué)生掌握好通性通法后，就有可以進(jìn)一步提升、拓展的空間，提升數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力。

【注：本文系廣州市天河區(qū)教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度小課題（2021X011）的研究成果】

責(zé)任編輯 韋英哲