吳建梅, 徐潔瓊, 王俊杰, 徐啟祥

(廣西大學 數(shù)學與信息科學學院,南寧 500064)

神經(jīng)元是神經(jīng)系統(tǒng)的基本結構和功能單元,神經(jīng)系統(tǒng)的放電活動主要表現(xiàn)為神經(jīng)元產(chǎn)生和傳輸電脈沖的過程,神經(jīng)信息主要通過神經(jīng)元放電活動的節(jié)律模式來進行編碼。最早的神經(jīng)元模型由Hodgkin和Huxley在1952年提出,稱為Hodgkin-Huxley(H-H)模型[1]。為便于數(shù)學理論分析、高效計算以及大規(guī)模神經(jīng)網(wǎng)絡的模擬,許多學者對該模型進行了改進。其中,累積發(fā)放神經(jīng)元模型(IF模型)是一類比較常用的簡化模型,這類模型能夠模擬真實神經(jīng)元豐富和復雜的放電行為且維數(shù)較低。其中平方自適應IF模型(Izhikevich模型)、自適應指數(shù)IF(integrate-and-fire)神經(jīng)元模型、四次IF神經(jīng)元模型等模型是其中的代表。Breete等[2]用自適應指數(shù)IF神經(jīng)元模型成功擬合了椎體神經(jīng)元真實的放電記錄。Izhikevich等[3]用Izhikevich神經(jīng)元模型對哺乳動物的丘腦皮層系統(tǒng)進行了模擬。四次IF神經(jīng)元模型不僅能產(chǎn)生自適應指數(shù)IF神經(jīng)元模型和Izhikevich神經(jīng)元都能產(chǎn)生的放電模式,還能產(chǎn)生Phasic相應、放電頻率自適應、閾下振蕩等放電模式[4]。本文選擇四次累積發(fā)放神經(jīng)元模型為代表來研究非光滑神經(jīng)元的動力學行為,將理論分析四次IF模型的周期解的存在性和穩(wěn)定性。

IF神經(jīng)元模型具有重置過程,因此,該類模型具有非光滑特性,屬于非光滑動力系統(tǒng)的范疇。四次IF神經(jīng)元模型屬于第一類非光滑系統(tǒng),即,脈沖動力系統(tǒng)。脈沖動力系統(tǒng)廣泛存在于自然、社會與實際工程背景中,涉及到眾多領域。例如,機械系統(tǒng)中典型的碰撞振動系統(tǒng)[5]、電路中的開關切換[6]、閾值限定[7]等,以及生物力學領域中的害蟲治理[8]、種群動力學模型[9-10]、微生物生長模型[11]等。對脈沖動力系統(tǒng)周期解的研究,往往會選擇不連續(xù)面或時間面為龐加萊截面,通過重置映射和光滑流的復合得到一個龐加萊映射,把脈沖動力系統(tǒng)周期解的存在性轉化為龐加萊映射的不動點的存在性[12]。Yang等[13]提出HR混合模型,應用龐加萊映射不動點理論給出了周期解的存在性和穩(wěn)定性分析,并討論了其周期增加的分岔和混沌現(xiàn)象;He等[14]研究了具有狀態(tài)依賴脈沖效應的FHN模型的動力學行為,利用幾何分析構造了不同條件下的龐加萊映射,通過龐加萊映射不動點理論和幾何分析技術,得到了脈沖神經(jīng)元模型周期解的存在性和穩(wěn)定性的條件;Yi等[15]研究了具有狀態(tài)依賴脈沖效應的Izhikevich模型,通過脈沖動力系統(tǒng)的理論、龐加萊截面和常微分方程幾何理論等給出周期解的存在性和穩(wěn)定性充分條件,并用數(shù)值仿真驗證了主要結果。在此基礎上,本文將利用非光滑動力學理論和不動點理論,通過證明四次累積發(fā)放神經(jīng)元模型1-階同宿環(huán)的存在性,從而證明同宿分岔后,1-階周期解(1-階簇放電)的存在性。

1 模型、相關定義及方法

考慮四次累積發(fā)放神經(jīng)元模型

(1)

當v到達某一給定閾值時,系統(tǒng)具有如下重置過程,即,

(2)

方便起見,接下來用M表示閾值線v=vth,則M為脈沖集,用L表示重置線v=vr,故L為M對應的相集。用Ψ表示脈沖函數(shù),即存在A(vA,wA)∈M,有Ψ(vA)=vr,Ψ(wA)=wA+d,用φ表示系統(tǒng)(1)、(2)相應的流。

定義1:若O(v,w)為系統(tǒng)(1)、(2)的軌線,(v(t+),w(t+))∈L為O上的點(v(t),w(t))∈M對應的重置點,并且存在非負正數(shù)n、正整數(shù)k,使得(vn(t+),wn(t+))=(vn+k(t+),wn+k(t+)),則稱O(v,w)為k-階周期解。k=1時,為1-階周期解。

定義2:如果存在A∈L,當t>0,有φ(A,t)=B∈M,且脈沖效應后B重置到A點,則軌跡φ(A,t)+脈沖線BA稱為1-階環(huán)。

若1-階環(huán)有一個奇點,則稱為1-階奇異環(huán)。此外,若1-階奇異環(huán)的奇點為鞍點,則稱為1-階鞍點同宿環(huán)。1-階鞍點同宿環(huán)由鞍點、鞍點不穩(wěn)定流形、鞍點穩(wěn)定流形和脈沖線四部分組成。

定義3: 假設φ(A,t)是系統(tǒng)(1)、(2)的一個1-階周期解。任意ε>0,存在δ>0,若對任意A1∈U(A,δ)∩L,存在t0>0,當t>t0,有ρ(φ(A,t),φ(A1,t))<ε,則稱1-階周期解φ(A,t)是軌道漸近穩(wěn)定的。其中U表示鄰域,ρ表示距離。

構造龐加萊映射：

可以構造兩種龐加萊映射來討論系統(tǒng)(1)、(2)的動力學行為。

(i) 以重置面為龐加萊截面S={(v,w)|v=vr}。

(ii) 以閾值面為龐加萊截面S1={(v,w)|v=vth}。

方法:四階龍格庫塔法,時間步長為0.000 1,軟件為XPPAUT和MTALAB。

2 系統(tǒng)的動力學行為分析

2.1 v1

(A1) 鞍點E2(v2,w2)的不穩(wěn)定流形MU與脈沖集M相交,交點用A(vA,wA)表示。鞍點E2(v2,w2)的穩(wěn)流形MS與重置線L的交點為B(vB,wB),如圖1所示。圖中字母Lv為v-零值線,Lw為w-零值線,虛線表示脈沖線。后面的示意圖中,不同字母所表示相同的含義。

圖1 情形(A1)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階同宿環(huán)

(A2) 平衡點E1為穩(wěn)定點,平衡點E2為鞍點。鞍點E2的不穩(wěn)定流形MU與脈沖集M相交,其交點用A(vA,wA)表示;鞍點E2的穩(wěn)定流形MS與集合L的交點用B(vB,wB)表示,如圖2所示。

圖2 情形(A2)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階同宿環(huán)

(A3) 平衡點E1為不穩(wěn)定點,E2為鞍點。鞍點E2的不穩(wěn)流形MU與脈沖集M相交,交點用A(vA,wA)表示;集合L與MS的交點為B(vB,wB),如圖3所示。

圖3 情形(A3)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階同宿環(huán)

2.2 v1

(B1) 鞍點E2的不穩(wěn)定流形MU與脈沖集M相交于點A(vA,wA),且wA

圖4 情形(B1)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階同宿環(huán)

(B2)E1為穩(wěn)定平衡點,E2為鞍點。E2的不穩(wěn)定流形MU與脈沖集M相交于點A(vA,wA),且wA>wE2;E2的穩(wěn)定流形MS與L相交于點B(vB,wB),且wB>wE2,如圖5所示。

圖5 情形(B2)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階同宿環(huán)

(B3)E1為不穩(wěn)定平衡點,E2為鞍點。鞍點E2的不穩(wěn)流形MU與脈沖集M相交,交點用A(vA,wA)表示;鞍點E2的穩(wěn)定流形MS與重置線L的交點為B(vB,wB),且wA≤wB

圖6 情形(B3)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階同宿環(huán)

對于以上六種情形,存在d*使得脈沖效應后點A映射到點B,即Ψ(wA,d*)=wA+d*=wB,則BE2、E2A和脈沖線AB構成一個通過鞍點E2的環(huán),因此系統(tǒng)(1)、(2)存在一個同宿環(huán)。如若選取合適的參數(shù),則存在d*≥0使得wB=wA+d*,即系統(tǒng)(1)、(2)存在1-階同宿環(huán)。我們有如下定理。

定理1:對于情形(A1)、(A2)、(A3)、(B1)、(B2)、(B3),選取適當?shù)膮?shù),則存在d*≥0使得系統(tǒng)(1)、(2)存在一個1-階同宿環(huán)。

接下來,選取d為分岔參數(shù)討論同宿分岔問題。當d改變,1-階同宿環(huán)消失,一個1-階周期解出現(xiàn)。不失一般性,我們考慮d*>0。

定理2:對于情形(A1),當0≤dΨ(wC1,d)時,則系統(tǒng)(1)、(2)的同宿環(huán)消失,分岔出一個軌道漸近穩(wěn)定的1-階周期解,而且這個1-階周期解是唯一的。

證明:作圖如圖7所示。對于定理中給出的條件,則可得到以下序列:

圖7 情形(A1)時系統(tǒng)(1)、(2)的1-階周期解的存在性

定理3:對于情形(A2)、(A3)、(B2)、(B3),當d>d*≥0,且wB

證明:以情形(B2)為例,根據(jù)定理所給的條件作圖如圖8所示,則可得到如下序列

圖8 情形(B2),系統(tǒng)(1)、(2)的1-階周期解的存在性

w1

當k→∞時,存在w∈(w1,wA)使得w2k+1=w,w2k=w,故系統(tǒng)(1)、(2)存在唯一一個軌道漸近穩(wěn)定的1-階周期解。證明完畢。對于情形(A2)、(A3)、(B3),證明類似,在此不重復證明。

對于(B1)情形,當d改變時,1-階同宿環(huán)消失,當0≤d

定理4:對于(B1)情形,當0≤d

證明:作圖如圖9所示,點C為w-零值線與閾值線M:v=vth的交點。以v=vth為龐加萊截面,取初始點位于v=vth,且w0∈[wC,wA],則有w1=α(w0)∈M。由于d≥0,故φ(wC+d)≥wC。

圖9 情形(B1),系統(tǒng)(1)、(2)的1-階周期解的存在性

(i)w0=w1,則有唯一一點w0∈[wC,wA]使得α(w0)=w0,故系統(tǒng)(1)、(2)存在唯一1-階周期解,且是軌道漸近穩(wěn)定的。

(ii)w0

(iii)w0>w1,則有wC<…

接下來我們將給出1-階周期解軌道漸近穩(wěn)定的一般性判定定理。

定理5:當d≥0時,設O(v(t),w(t))為系統(tǒng)(1)、(2)的周期為T的1-階周期解,其初始點為Z+(vr,w*),且與閾值線v=vth相交于點Z(vth,w*-d)。若μ<1,則O(v(t),w(t))是軌道漸近穩(wěn)定的,其中

證明:根據(jù)參考文獻[16],由系統(tǒng)(1)、(2)可取

P=v4+2av-w+i,Q=a(bv-w),

f=Δv=vr-vth,h=Δw=d,φ=v-vth,

(v(T),w(T))=(vth,w*-d),

(v(T+),w(T+))=(vr,w*)。

則有

則可得到:

Δ1=

且有

則可得Floquent乘子:

3 數(shù)值仿真

在此章中,運用數(shù)值仿真的手段去驗證理論的結果,以情形(A1)和情形(B2)為例。當選取參數(shù)i=4,a=4,b=2時,則系統(tǒng)(1)、(2)平衡點分別為E1(-1.491 5,-2.983 1),E2(-0.708 71,-1.417 40),取vr=-0.5,vth=0.5,則有v1

(a)

對于情形(B2),當選取參數(shù)i=0.3,a=1,b=1.24時,則系統(tǒng)(1)、(2)的兩個平衡點分別為E1(-0.685 81,-0.850 40),E2(-0.447 51,-0.554 91),重置值和閾值分別取vr=-0.5,vth=-0.3,則有v1d*時,由定理3可知系統(tǒng)(1)、(2)的同宿環(huán)消失,一個軌道漸近穩(wěn)定的1-階周期解出現(xiàn),如圖11(b)所示。其中1-階周期解由字母O表示。

(a)

4 結 論

(1) 討論了系統(tǒng)(1)、(2)存在兩個平衡點(一個為鞍點,一個非鞍點)時的同宿分岔。考慮E1(v1,w1)為非鞍點的平衡點,E2(v2,w2)為鞍點,且有v1

(2) 僅針對系統(tǒng)具有兩個平衡點的情形進行了討論,當系統(tǒng)具有其它動力學特性情形下,周期解的存在性和穩(wěn)定性的分析,以及多周期峰放電和簇放電存在性的研究將在后續(xù)工作中開展。

猜你喜歡

龐加萊鞍點重置

龐加萊偵察術

中外文摘(2022年7期)2022-05-17 09:36:42

求解無約束函數(shù)局部鞍點的數(shù)值算法

湘潭大學自然科學學報(2022年1期)2022-04-11 11:07:42

龐加萊偵察術

青年文摘(2021年20期)2021-12-11 18:45:12

龐加萊偵查術

文萃報·周五版(2021年44期)2021-12-06 20:05:14

系統(tǒng)重置中途出錯的解決辦法

電腦愛好者(2019年17期)2019-10-30 03:34:48

重置人生 ①

快樂作文(5.6年級)(2019年5期)2019-09-10 05:59:05

2018年山西省對口升學考試考生重置密碼申請表

山西教育·招考(2018年4期)2018-05-30 10:48:04

含有二階冪零鞍點的雙同宿環(huán)附近的極限環(huán)分支

上海師范大學學報·自然科學版(2018年3期)2018-05-14 13:47:10

SKT不變凸非線性規(guī)劃的鞍點特征研究

經(jīng)濟數(shù)學(2017年4期)2018-01-18 17:25:55

改進的復制動態(tài)方程及其穩(wěn)定性分析

純粹數(shù)學與應用數(shù)學(2015年3期)2015-10-14 05:44:03

振動與沖擊2023年23期

振動與沖擊的其它文章

汽車主動懸架次優(yōu)控制策略等效性研究

楔形船艏舷側撞擊場景下甲板結構損傷預報解析方法研究

碎冰航道中航行船舶阻力數(shù)值預報

單流體空化模型在水下爆炸誘導空化問題中的對比分析

基于近似貝葉斯計算的包裝件模型選擇和參數(shù)估計

復雜輪廓膜式空氣彈簧非線性結構參數(shù)統(tǒng)一模型