楊柳青, 趙艷影

(南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院,南昌 330063)

動(dòng)力吸振器(dynamic vibration absorber, DVA),是一種用于抑制不期望的振動(dòng)的機(jī)械裝置。它由附加在需要保護(hù)以免受到振動(dòng)的主質(zhì)量塊上的另一個(gè)質(zhì)量塊以及彈性元件組成。Frahm[1]于1909年首次提出吸振器的概念,這種初次提出的DVA為無(wú)阻尼吸振器,它通過在目標(biāo)頻率產(chǎn)生反共振達(dá)到抑制振動(dòng)的目的,但這種DVA的減振頻帶有限,也被稱為窄帶DVA。Ormondroyd等[2]和Den[3]在無(wú)阻尼DVA的基礎(chǔ)上加入阻尼進(jìn)行深入研究,進(jìn)而提出Voigt式DVA,該模型不僅能夠拓寬減振頻帶,還能有效降低振幅;并首次提出固定點(diǎn)理論,發(fā)現(xiàn)主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線始終通過兩個(gè)與阻尼系數(shù)無(wú)關(guān)的固定點(diǎn)。Brock[4]和Hahnkamm[5]根據(jù)固定點(diǎn)理論分別在1932年和1946年得到動(dòng)力吸振器的最優(yōu)頻率比以及最優(yōu)阻尼比。Asami等[6]和Nishihara等[7]在不考慮主系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼的情況下,通過固定點(diǎn)理論對(duì)有阻尼DVA進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì),保證兩個(gè)共振峰的幅值相等并且最小,從而得到吸振器的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)并給出其解析式。Ren[8]提出了一種含接地阻尼元件的新型動(dòng)力吸振器,發(fā)現(xiàn)也存在相似的固定點(diǎn),并且可以通過調(diào)整接地阻尼系數(shù)來(lái)改善減振效果。

隨著對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)研究的深入,眾多學(xué)者發(fā)現(xiàn)含有接地剛度元件的振動(dòng)系統(tǒng)減振能力比傳統(tǒng)動(dòng)力吸振器強(qiáng),并且固有頻率低,承載能力大。彭解華等[9]利用判定結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的能量準(zhǔn)則,推導(dǎo)了判定彈性系統(tǒng)靜態(tài)穩(wěn)定性的剛度準(zhǔn)則,采用正負(fù)剛度并聯(lián)彈性元件,有效降低了系統(tǒng)的固有頻率,從而提高了隔振效果。彭海波等[10-13]將接地負(fù)剛度元件運(yùn)用于多種DVA之中,其中文獻(xiàn)[10]提出了一種含接地負(fù)剛度元件的動(dòng)力吸振器模型,通過固定點(diǎn)理論得到了接地負(fù)剛度動(dòng)力吸振器的最優(yōu)頻率比,最優(yōu)阻尼比以及最優(yōu)負(fù)剛度比,研究表明接地負(fù)剛度元件動(dòng)力吸振器相比于傳統(tǒng)動(dòng)力吸振器,減振效果更好,減振頻帶更寬。文獻(xiàn)[11]對(duì)含有接地負(fù)剛度彈簧元件的三要素型動(dòng)力吸振器模型的最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行了研究,根據(jù)接地負(fù)剛度彈簧元件的特性通過使靜位移和固定點(diǎn)近似相等的思想得到使系統(tǒng)穩(wěn)定的最優(yōu)負(fù)剛度比。文獻(xiàn)[13]發(fā)現(xiàn)當(dāng)質(zhì)量比和放大比的耦合項(xiàng)達(dá)到一定值時(shí),最優(yōu)接地剛度比為正值且系統(tǒng)具有更好的減振特性。范舒銅等[14]將帶有黏彈性特性的Maxwell模型引入DVA,極大地降低了系統(tǒng)振幅,同時(shí)拓寬了減振頻帶。

慣容是一種兩端點(diǎn)受力與加速度相關(guān)的新型結(jié)構(gòu)控制元件,應(yīng)用在吸振系統(tǒng)中可以獲得更好的性能。Smith[15]在提出慣容概念后,將其運(yùn)用在車輛上,改善其懸架的性能,對(duì)多種ISD(Inerter-Spring-Damper)懸架進(jìn)行了分析優(yōu)化。Chen等[16-17]將慣容運(yùn)用于汽車懸架以改善其性能,利用半主動(dòng)控制策略調(diào)節(jié)慣容系數(shù),實(shí)現(xiàn)懸架力的動(dòng)態(tài)控制;他們還將慣容運(yùn)用于動(dòng)力吸振器,并設(shè)計(jì)優(yōu)化準(zhǔn)則從而給出最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)[18-20]。Barredo等[21]提出了利用拓展固定點(diǎn)理論得到含慣容的DVA的解析解。Wang等[22]提出的含慣容和負(fù)剛度的DVA減振性能很好,同時(shí)拓寬了減振頻帶。陳杰等[23]提出了兩種基于含慣容的負(fù)剛度吸振器的被動(dòng)減振控制模型,利用固定點(diǎn)理論分別推導(dǎo)了兩種模型最優(yōu)系統(tǒng)參數(shù)的解析式,從而抑制梁的橫向振動(dòng)。Lewis等[24]在列車轉(zhuǎn)向架中引入多種慣容減振結(jié)構(gòu),研究表明慣容結(jié)構(gòu)可以提高乘客舒適度并同時(shí)減少軌道磨損。隋鵬等[25]提出了一種含慣容和接地剛度的DVA模型進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化并與多種DVA對(duì)比,證明了該模型能夠極大降低主系統(tǒng)振幅,拓寬減振頻帶。

被動(dòng)式線性吸振器和線性隔振器的減振頻帶有限,在受到變頻以及寬頻外激勵(lì)時(shí)的控制效果較差。Olgac等[26]在1992年首次提出將時(shí)滯反饋控制應(yīng)用于系統(tǒng)減振的問題當(dāng)中。時(shí)滯減振是一種主動(dòng)減振技術(shù),能夠?qū)崟r(shí)追蹤外激勵(lì)頻率并調(diào)節(jié)反饋增益系數(shù)及時(shí)滯的大小從而在反共振點(diǎn)抑制系統(tǒng)振動(dòng)。Zhao等[27]研究了時(shí)滯反饋控制在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,研究表明時(shí)滯反饋控制在非線性系統(tǒng)中的減振頻帶更寬以及系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍更大。Sun等[28-29]在主系統(tǒng)質(zhì)量塊上加入一個(gè)吸振器質(zhì)量組成一個(gè)二自由度吸振系統(tǒng),通過數(shù)值仿真以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了時(shí)滯反饋控制比被動(dòng)式動(dòng)力吸振器具有更好的減振效果。Yan等[30-31]研究了時(shí)滯減振控制在汽車懸架系統(tǒng)中的減振效果,利用最優(yōu)控制理論進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,對(duì)隨機(jī)激勵(lì)下的懸架系統(tǒng)進(jìn)行控制分析,證明了主動(dòng)時(shí)滯對(duì)懸架系統(tǒng)控制的有效性。Meng等[32]在時(shí)滯耦合非線性振動(dòng)系統(tǒng)中設(shè)計(jì)等峰優(yōu)化準(zhǔn)則,對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,有效地解決了外激勵(lì)幅值較大的情況下非線性振動(dòng)系統(tǒng)的等峰優(yōu)化問題。

慣容和接地剛度這兩種器件,均可以通過改變系統(tǒng)固有頻率從而改善動(dòng)力吸振器性能。但目前大多數(shù)研究?jī)H僅是在DVA中單獨(dú)引入慣容或接地剛度結(jié)構(gòu)。而隨著對(duì)工程中對(duì)振動(dòng)控制需求的增加,這類動(dòng)力吸振器的性能很難滿足工程實(shí)際需求的增長(zhǎng)。同時(shí)少部分同時(shí)含有慣容和接地剛度的DVA結(jié)構(gòu)也只是將慣容接地,并不能完全體現(xiàn)慣容的兩端點(diǎn)慣性特性,主系統(tǒng)振幅仍然較大,同時(shí)系統(tǒng)減振頻帶相對(duì)較窄。因此,本文通過在含慣容的接地剛度系統(tǒng)中耦合時(shí)滯反饋控制,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì),達(dá)到控制共振峰和反共振峰的幅值以及拓寬系統(tǒng)減振頻帶的目的。

1 力學(xué)模型以及振動(dòng)微分方程

考慮到主系統(tǒng)阻尼的存在,同時(shí)為了進(jìn)一步降低主系統(tǒng)的振幅及拓寬系統(tǒng)的減振頻帶,以提高減振效果,本文考慮在文獻(xiàn)[25]含慣容和接地剛度的動(dòng)力吸振器系統(tǒng)中耦合時(shí)滯反饋控制,力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 含慣容的時(shí)滯耦合接地剛度吸振器系統(tǒng)力學(xué)模型

圖1中:m1和m2分別表示主系統(tǒng)和DVA的質(zhì)量;b表示慣容系數(shù);k表示可變的接地彈簧剛度系數(shù);c1和c2分別表示主系統(tǒng)和DVA阻尼;g1和τ分別表示時(shí)滯反饋增益系數(shù)和時(shí)滯量;F0和ω分別表示外激勵(lì)力的幅值和外激勵(lì)頻率。

根據(jù)牛頓第二定律可得該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

g1x2(t-τ)+kx2=0

(2)

若式(1)和式(2)中時(shí)滯反饋增益系數(shù)g1=0以及主系統(tǒng)阻尼系數(shù)c1=0,本文系統(tǒng)就退化為文獻(xiàn)[25]所述系統(tǒng)。

引入如下參數(shù)及無(wú)量綱量

(3)

(4)

(5)

設(shè)微分方程解的形式為

(6)

將式(6)代入式(4)和式(5)中,解得:

(7)

式中:

Δ(Ω)=[(1+β)(-Ω2)+2(ξ1+pμξ2)jΩ+

α)p2+p2ge-jΩτ]+[β(-Ω2)+2pμξ2jΩ+μp2+

(8)

引入變量A1和A2分別代表主系統(tǒng)和吸振器的振幅放大因子,如下:

(9)

2 時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

為保證系統(tǒng)在穩(wěn)定的前提下工作,要對(duì)時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析,進(jìn)而得到反饋增益系數(shù)g和時(shí)滯量τ的穩(wěn)定工作區(qū)域。在此之前,可以根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的工作情況,設(shè)定反饋增益系數(shù)g和時(shí)滯量τ的取值區(qū)間,將兩個(gè)控制參數(shù)限定在一定范圍

L0={(g,τ)|gmin≤g≤gmax,τmin≤τ≤τmax}

(10)

(11)

將無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)微分方程式(4)和式(5)改寫成狀態(tài)方程式(12)的形式

(12)

式(12)的特征值滿足

det(λI-A-Be-λτ)=0

(13)

式中:

(14)

特征方程為:

2λ3[(β+μ)ξ1+pμ(1+μ)ξ2](β+μ+βμ)-1=0

(15)

因?yàn)檎駝?dòng)微分方程含有時(shí)滯項(xiàng),所以特征方程式(15)是一個(gè)含有指數(shù)項(xiàng)e-λτ的超越方程,含有無(wú)數(shù)個(gè)特征根。本文采用CTCR(cluster treatment of characteristic roots)方法[33]進(jìn)行分析,分析的具體步驟如下:

(1) 定義Kernel Hypercurves(KH):當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)固定在某一系列值時(shí),(g,τ)的二維平面內(nèi)一點(diǎn)使得一個(gè)實(shí)部為零的特征值λ=jΩc,Ωc∈R+,且0≤Ωcτ≤2π,0≤g≤20,在(g,τ)的二維平面中所有符合條件的點(diǎn)形成曲線,稱為KH。

(2) 定義Offspring Hypercurves(OH):上述定義的KH通過以下非線性轉(zhuǎn)換式(16)得到OH

(16)

(3) 定義特征值的變化趨勢(shì)為Root Tendency(RT):

(17)

臨界時(shí)滯τk∈(τk-ν,τk+ν),0<ν?1,k=1,2,3,…時(shí),當(dāng)RT=+1時(shí),特征根從(g,τ)的二維平面左半平面穿過虛軸到右半平面,同時(shí)表示時(shí)滯從左側(cè)穿過時(shí)滯τk時(shí),不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)增加兩個(gè);當(dāng)RT=-1時(shí),特征根從(g,τ)的二維平面右半平面穿過虛軸到左半平面,同時(shí)表示時(shí)滯從左側(cè)穿過時(shí)滯τk時(shí),不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)減少兩個(gè);在其它時(shí)滯區(qū)間,穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)保持不變。

(4) 由歐拉公式,對(duì)指數(shù)項(xiàng)進(jìn)行如下替換

e-jΩcτ=cos(ψc)-jsin(ψc),ψc=Ωcτ

(18)

余弦函數(shù)cos和正弦函數(shù)sin利用正切函數(shù)tan的半角公式轉(zhuǎn)換成如下形式

(19)

接下來(lái)根據(jù)CTCR理論,對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。由式(18)和式(19),特征方程,即,式(15)可以寫成關(guān)于Ωc的多項(xiàng)式函數(shù)如下:

(20)

式中:υk為關(guān)于g,z1的函數(shù),同時(shí)也為Ωc的系數(shù)。

對(duì)式(20)進(jìn)行實(shí)虛部分離,整理得到

(21)

(22)

式中:Rk,Ik也是和g,z1相關(guān)的Ωc的系數(shù),具體如下:

(23)

(24)

從式(23)和式(24)中解出Ωc,需通過判別式以及Dixon結(jié)式得到充分必要條件。Dixon結(jié)式是求解多項(xiàng)式非平凡解的充分必要條件,但Dixon結(jié)式相比于其它結(jié)式,精確度更高。

依據(jù)Dixon結(jié)式,令:

k1(Ωc)≡Re[k(Ωc,g,z1)]

(25)

k2(Ωc)≡lm[k(Ωc,g,z1)]

(26)

(27)

式中:k1(Ωc)和k2(Ωc)為式(25)和式(26)用輔助變量σ替換掉Ωc的表達(dá)式,如下:

(28)

(29)

將式(27)展開得到的式子是關(guān)于Ωc和σ對(duì)稱的deg-1次多項(xiàng)式,稱其為關(guān)于q1(Ωc)和q2(Ωc)的Dixon多項(xiàng)式。由于式(27)是對(duì)稱的多項(xiàng)式,因此可以調(diào)換Ωc和σ的位置,即,δ(Ωc,σ)=δ(σ,Ωc)。

上述的deg,代表著k1(Ωc)和k2(Ωc)中關(guān)于Ωc的最高階數(shù),即,deg=max(deg(k1(Ωc)),deg(k2(Ωc))),其中deg(k1(Ωc))和deg(k2(Ωc))是關(guān)于Ωc的最高階數(shù),k1(Ωc)和k2(Ωc)的每個(gè)共同零點(diǎn)同樣也是δ(Ωc,σ)對(duì)所有σ值的零點(diǎn)。因此可以知道,在共同的零點(diǎn)下,δ(Ωc,σ)中σi的系數(shù)等于零,表示成矩陣的形式

(30)

式中:i=0,1,2,…,deg-1,系數(shù)矩陣D(g,z1)∈d稱作Dixon矩陣,d=deg×deg。

q1(Ωc)和q2(Ωc)有公共零點(diǎn)的充要條件是D(g,z1)是奇異矩陣,即

Det[D(g,z1)]=0

(31)

若g在給定的范圍之內(nèi)取值,則Det[D(g,z1)]=0會(huì)轉(zhuǎn)換成形式上關(guān)于z1的最高階次為16的多項(xiàng)式

(32)

式中,φK(g)為z1的各階系數(shù),由于比較復(fù)雜,此處不再列出。

按照下列步驟分析可得到能夠使得系統(tǒng)穩(wěn)定的時(shí)滯反饋增益系數(shù)g和時(shí)滯量τ的范圍

步驟1設(shè)置參數(shù)g,求解式(32)的根,并選取實(shí)數(shù)根代入式(19),得到ψc;

步驟2從式(19)求得ψc后,代入式(18),得到e-jΩcτ,再將其代入特征方程,即,式(15),得到所有的特征根;

步驟3在步驟2得到的特征根中篩選出純虛根,記為Ωc,將其和步驟1得到的ψc代入式(18),求得時(shí)滯量τk,k=1,2,3,…;

步驟4參數(shù)g在給定范圍內(nèi)線性遞增,重復(fù)上面所述步驟,可以得到所有滿足特征根j為負(fù)的時(shí)滯反饋增益系數(shù)g和時(shí)滯量τ的范圍。

步驟5確定控制參數(shù)的范圍

(33)

3 多目標(biāo)優(yōu)化準(zhǔn)則設(shè)置

本文研究的是一個(gè)二自由度線性系統(tǒng),可以通過求解主系統(tǒng)振幅的極值對(duì)共振峰以及反共振峰的幅值進(jìn)行優(yōu)化,優(yōu)化準(zhǔn)則如下

(34)

(35)

Ωamid-Ωrmid≤Vsym

(36)

(37)

其中:A1(Qopt,Ωri,g,τ)和A1(Qopt,Ωa,g,τ)分別代表滿足優(yōu)化準(zhǔn)則下共振峰和反共振峰的幅值。Ard和Aad分別是共振峰和反共振峰幅值的限定范圍。Ωamid=(ΩaS+ΩaE)/2代表反共振頻率可調(diào)節(jié)區(qū)間的中值,其中ΩaS代表反共振頻率可能調(diào)節(jié)的最小值,ΩaE代表反共振頻率可能調(diào)節(jié)的最大值。Ωrmid=(Ωr1+Ωr2)/2代表第一共振峰和第二共振峰的中值頻率,Ωr1和Ωr2代表第一共振峰和第二共振峰的頻率。Vsym代表了反共振頻率的對(duì)稱性,該值越小,表明反共振頻率越接近兩個(gè)共振峰頻率的中間值,說(shuō)明反共振點(diǎn)的對(duì)稱性越好。

首先,由主系統(tǒng)振幅的極值條件得到共振峰的頻率Ωri(i=1,2)和反共振峰的頻率Ωa,再將其代入式(9),得到共振峰和反共振峰的幅值。針對(duì)優(yōu)化目標(biāo)對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,同時(shí)得到控制參數(shù)反饋增益系數(shù)g和時(shí)滯量τ的取值范圍。

4 參數(shù)優(yōu)化例證

首先,定義系統(tǒng)的質(zhì)量比μ=m2/m1=0.1,阻尼比c1/c2=10,結(jié)構(gòu)參數(shù)ξ1opt由下列關(guān)系式?jīng)Q定

ξ1opt=μpoptξ2optc2/c1

(38)

{0.1,0.391 6,5.391 6,0.726 3,1.302 6,

0.454 5～1.5}

(39)

結(jié)構(gòu)參數(shù)的初值Q0以及終值Q如下

Q0={μ,ξ1,ξ2,p,α,β0}=

{0.1,0.391 6,5.391 6,0.726 3,1.302 6,0.454 5}

(40)

Q={μ,ξ1,ξ2,p,α,β}=

{0.1,0.391 6,5.391 6,0.726 3,1.302 6,1.5}

(41)

最后,將得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)Qu+1代入優(yōu)化準(zhǔn)則,得到控制參數(shù)反饋增益系數(shù)g和時(shí)滯量τ的范圍,循環(huán)流程如圖2所示。

圖2 共振峰及反共振峰計(jì)算流程圖

根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的工作情況,式(10)中控制參數(shù)的取值區(qū)間設(shè)為gmin=0,gmax=20,τmin=0,τmax=2,優(yōu)化目標(biāo)式(34),式(35)和式(37)中設(shè)定Ard=1.1,Aad=0.15。

ξ1=0,β取不同值時(shí)的g和τ的穩(wěn)定區(qū)域圖,如圖3所示。

(a) 三維圖

首先,研究不考慮主系統(tǒng)阻尼的情況下慣容比對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律。從圖3可知,β在0.454 5～1.5這個(gè)取值范圍內(nèi),隨著慣容比β取值不斷增大,反饋增益系數(shù)g和時(shí)滯量τ穩(wěn)定的可調(diào)節(jié)區(qū)間在不斷減小,說(shuō)明慣容比的增大增加了系統(tǒng)的不穩(wěn)定性;反饋增益系數(shù)g取較小值時(shí),時(shí)滯量τ的穩(wěn)定范圍較大;相反地,反饋增益系數(shù)g取較大值時(shí),時(shí)滯量τ的穩(wěn)定范圍較小。工作中,要根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際工作狀況綜合考慮反饋增益系數(shù)和時(shí)滯量的取值。

其次,研究主系統(tǒng)阻尼系數(shù)ξ1對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定的影響規(guī)律。ξ1取不同值時(shí)g和τ的穩(wěn)定區(qū)間,如圖4所示。

(a) ξ1=0.1

對(duì)比圖3和圖4可知,對(duì)某一特定的慣容比,隨著主系統(tǒng)阻尼系數(shù)的不斷增大,反饋增益系數(shù)和時(shí)滯量的穩(wěn)定工作區(qū)間不斷增大,說(shuō)明主系統(tǒng)阻尼具有穩(wěn)定系統(tǒng)的作用;以主系統(tǒng)阻尼系數(shù)ξ1=0.391 6為例,研究慣容比對(duì)系統(tǒng)的影響規(guī)律。在不同慣容比下,滿足優(yōu)化目標(biāo)的幾組控制參數(shù)下的主系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,如圖5所示。

(a) β=0.454 6

從圖5可知,隨著慣容比β取值增大,在不加入時(shí)滯反饋控制時(shí),系統(tǒng)反共振峰的幅值會(huì)隨之降低,但系統(tǒng)第二共振峰的幅值有顯著的增大。引入時(shí)滯反饋之后,在滿足優(yōu)化準(zhǔn)則的條件下,合理的調(diào)節(jié)控制參數(shù)對(duì)降低第二共振峰的幅值有顯著的效果。

為了進(jìn)一步研究如何在時(shí)滯主動(dòng)反饋控制下合理的選擇慣容比,在控制參數(shù)滿足優(yōu)化準(zhǔn)則的條件下,對(duì)應(yīng)不同慣容比的反共振頻率的調(diào)節(jié)區(qū)間,如圖6所示。不同慣容比下反共振頻率點(diǎn)可調(diào)節(jié)的最大和最小值,如圖7所示。

圖6 不同β下的反共振頻率的調(diào)節(jié)區(qū)間

圖7 不同β下反共振頻帶的寬度

此時(shí)系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)如下

{0.1,0.391 6,5.391 6,0.726 3,1.302 6,1.299 4}

(42)

圖8 A1,g和τ響應(yīng)曲線圖

5 多目標(biāo)優(yōu)化方法的優(yōu)越性

表1 不同優(yōu)化方法下的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖9 單目標(biāo)優(yōu)化和多目標(biāo)優(yōu)化下的幅頻響應(yīng)曲線

從圖9可知,由于單目標(biāo)優(yōu)化只控制了兩個(gè)共振峰幅值的差值,使得兩個(gè)共振峰幅值幾乎相等,但是主系統(tǒng)共振峰的幅值仍然偏大。在進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化后,雖然兩個(gè)共振峰幅值的差值稍微變大,但共振峰的幅值得到了很大程度的控制。因此進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化,對(duì)進(jìn)一步控制主系統(tǒng)的共振峰幅值有顯著的效果,也證明了本文提出的多目標(biāo)優(yōu)化方法相比于單目標(biāo)優(yōu)化方法更具有優(yōu)越性。

6 不同吸振器模型優(yōu)化結(jié)果對(duì)比分析

表2 不同吸振器模型的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖10 本文和其它動(dòng)力吸振器模型的幅頻響應(yīng)曲線

與其它吸振器模型相比,本文的時(shí)滯耦合接地剛度吸振器有良好的減振效果,不僅可以降低共振峰和反共振峰的幅值,同時(shí)具有平坦且較寬的反共振頻帶區(qū)間,在此區(qū)間內(nèi)主系統(tǒng)的振幅得到了很好的抑制。

為了定量的分析本文減振效果,在選定的某一段頻率區(qū)域內(nèi),定義:

(43)

式中:Ap為本文吸振器模型主系統(tǒng)的振幅;Ak(k=1,2,3,4)分別為經(jīng)典Voigt型,接地型,N-Voigt型,IG-Voigt型動(dòng)力吸振器模型的主系統(tǒng)振幅;Ek(k=1,2,3,4)為本文和上述其它四個(gè)吸振器模型對(duì)比后的降幅百分比。主系統(tǒng)減振效果對(duì)比,如圖11所示。

圖11 主系統(tǒng)減振效果對(duì)比圖

為了將本文模型與其它吸振器模型在共振峰Ar1,Ar2和反共振峰Aa的幅值進(jìn)行對(duì)比,各模型主系統(tǒng)振幅的幅值及降幅百分比,如表3所示。

表3 共振峰和反共振峰的幅值及衰減比

由表3可以看出,采用時(shí)滯反饋主動(dòng)控制并進(jìn)行優(yōu)化后,主系統(tǒng)的振幅與其它幾種典型的被動(dòng)控制系統(tǒng)相比,在共振峰及反共振峰處獲得了很好的減振性能。

下面,以反共振點(diǎn)為例,分別給出本文模型和其它吸振器模型主系統(tǒng)的時(shí)間歷程響應(yīng)曲線如圖12所示。從圖12可知,仿真的結(jié)果與圖10中的解析結(jié)果相吻合。

(a) 本文與經(jīng)典Voigt型和接地型動(dòng)力吸振器對(duì)比

7 結(jié) 論

本文對(duì)含慣容的接地剛度時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),得到的主要結(jié)論如下:

(1) 當(dāng)考慮主系統(tǒng)阻尼系數(shù)時(shí),對(duì)某一特定的慣容比,隨著主系統(tǒng)阻尼系數(shù)的不斷增大,反饋增益系數(shù)和時(shí)滯量的穩(wěn)定工作區(qū)間不斷增大,說(shuō)明主系統(tǒng)阻尼具有穩(wěn)定系統(tǒng)的作用。

(2) 隨著慣容比的不斷增大,反饋增益系數(shù)和時(shí)滯量?jī)蓚€(gè)控制參數(shù)穩(wěn)定的可調(diào)節(jié)區(qū)間不斷減小,說(shuō)明慣容比的增大降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(3) 慣容比對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)第一共振峰的幅值和頻率影響較小,對(duì)第二共振峰的幅值和頻率影響較大。

(4) 慣容比對(duì)反共振峰的幅值和頻率影響較大,可以通過調(diào)節(jié)慣容比控制反共振點(diǎn)的頻率值,使得可調(diào)反共振頻帶具有很好的對(duì)稱性。

(5) 通過對(duì)慣容比、反饋增益系數(shù)和時(shí)滯參數(shù)的優(yōu)化,時(shí)滯反饋控制獲得了很好的減振效果。不僅實(shí)現(xiàn)了對(duì)主系統(tǒng)共振峰和反共振峰幅值抑制的目標(biāo),同時(shí)還獲得了對(duì)反共振減振頻帶的寬頻控制。