張玉元, 張?jiān)? 張 慧, 余劍搏

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院,蘭州 730070)

薄壁箱梁是現(xiàn)代橋梁工程建設(shè)中主要采用的一種主梁形式,其具有自重輕、抗彎性能好、抗扭剛度大等優(yōu)點(diǎn)[1]。由于橋梁上汽車(chē)、人行及風(fēng)荷載的作用,致使主梁發(fā)生彎曲、扭轉(zhuǎn)和橫向振動(dòng)[2],它將對(duì)人行及車(chē)輛的舒適性和結(jié)構(gòu)的安全服役性能產(chǎn)生重要影響。彎曲振動(dòng)特性及動(dòng)力響應(yīng)是橋梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中主要考慮的一種變形狀態(tài),箱形梁受剪切剪力滯效應(yīng)的影響,將引起結(jié)構(gòu)產(chǎn)生附加變形和應(yīng)力。所謂剪力滯效應(yīng)是由于翼板面內(nèi)剪切變形使遠(yuǎn)離腹板的翼板縱向位移滯后于靠近腹板的翼板縱向位移的一種力學(xué)行為,而剪切變形使彎曲變形后的截面與中和軸不垂直的一種力學(xué)現(xiàn)象[3]。目前,已有許多學(xué)者在箱梁剪切剪力滯效應(yīng)的靜力特性[4-5]及自振頻率[6-7]等方面開(kāi)展了比較深入的研究,而在彎曲空間效應(yīng)對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響及參數(shù)敏感性分析方面還極為缺乏,尚未見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。開(kāi)展箱梁彎曲動(dòng)力響應(yīng)的精細(xì)化分析,對(duì)準(zhǔn)確分析車(chē)橋耦合振動(dòng)及振動(dòng)控制等具有重要的理論意義。

近年來(lái),國(guó)內(nèi)外學(xué)者在箱梁彎曲自振特性及動(dòng)力響應(yīng)方面已開(kāi)展了不少研究。在試驗(yàn)和有限元研究方面,Luo等[8]基于相似理論建立高架鐵路箱梁橋的縮尺模型,研究了箱梁各板件的振動(dòng)傳遞特性及支承剛度對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響;張新亞等[9]制作了32 m鐵路簡(jiǎn)支箱梁橋縮尺模型,研究了單點(diǎn)激振試驗(yàn)條件下調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的布置形式對(duì)箱梁橋動(dòng)力響應(yīng)的影響;周力等[10]基于單自由度和多自由度多模態(tài)控制理論,建立多目標(biāo)模態(tài)的多重動(dòng)力吸振器參數(shù)優(yōu)化方法,并通過(guò)車(chē)-軌-橋有限元模型確定吸振器的優(yōu)化參數(shù)及安裝位置;王少欽等[11]以某三跨連續(xù)箱梁橋?yàn)槔?通過(guò)試驗(yàn)和數(shù)值模擬的方法研究了移動(dòng)荷載作用下箱梁橋位移及加速度的時(shí)程曲線(xiàn),并提出對(duì)橋梁振動(dòng)起控制作用的頻率范圍。在理論研究方面,Beata等[12]基于Timoshenko梁理論建立了鋼-聚合物混凝土梁的振動(dòng)特性分析模型,并通過(guò)Euler-Bernoulli梁理論驗(yàn)證所提模型的可靠性;Feng等[13]基于哈密頓原理,提出一種綜合考慮剪力滯、界面滑移、剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響的波形鋼腹板組合箱梁動(dòng)力特性改進(jìn)分析方法,并揭示剪力滯效應(yīng)和界面滑移對(duì)組合箱梁自振特性的影響;Zhu等[14]基于有限元法和Euler-Bernoulli理論,提出一種考慮界面滑移和剪力滯影響的鋼-混組合箱梁有限元法,并分析了滑移和剪力滯對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響;Kong等[15]建立一種考慮剪切剪力滯效應(yīng)影響的新型波形鋼腹板組合箱梁動(dòng)力特性有限元法,分析了剪切剪力滯效應(yīng)對(duì)該類(lèi)箱梁橋動(dòng)力特性的影響;潘旦光等[16]基于模態(tài)攝動(dòng)法提出一種考慮剪力滯效應(yīng)影響的箱梁振動(dòng)特性新方法,分析了截面參數(shù)變化對(duì)模態(tài)剪力滯系數(shù)的影響;此外,還有學(xué)者研究了斜交箱梁橋[17]和懸索橋[18]的動(dòng)力特性及減振機(jī)理。

綜上所述,上述研究在建立考慮彎曲空間效應(yīng)影響的箱梁動(dòng)力特性解析理論時(shí),常以最大剪切轉(zhuǎn)角差描述剪力滯翹曲變形狀態(tài),由于該廣義位移缺乏明確的物理意義,且求解時(shí)難以直接輸出空間效應(yīng)引起的動(dòng)力響應(yīng);此外,梁端約束條件和梗腋對(duì)箱梁橋彎曲動(dòng)力響應(yīng)的影響研究還未見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。本文以剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度為廣義位移,建立考慮剪切剪力滯效應(yīng)影響的箱梁彎曲簡(jiǎn)諧振動(dòng)變分解析解,詳細(xì)分析梁端約束條件和梗腋對(duì)箱梁彎曲諧響應(yīng)的影響,為箱梁橋動(dòng)力響應(yīng)的精細(xì)化分析及合理參數(shù)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)控制微分方程

(a) 坐標(biāo)系及荷載示意圖

以剪力滯附加撓度f(wàn)(z)為廣義位移,考慮剪切變形對(duì)箱梁彎曲轉(zhuǎn)角的影響,根據(jù)截面幾何關(guān)系,則考慮剪切剪力滯效應(yīng)(下稱(chēng)雙重效應(yīng))影響的箱梁彎曲縱向位移u(x,y,z)表達(dá)為

(1)

根據(jù)彈性理論,則考慮雙重效應(yīng)的箱梁體系總勢(shì)能Π表達(dá)為

(2)

考慮剪力滯附加變形對(duì)箱梁體系總動(dòng)能的影響,則箱梁總動(dòng)能T表達(dá)為

(3)

(4)

(5)

EIxθ″+EIyωf?+GAw(w′-θ)=0

(6)

體系總能量一階變分所需的自然邊界為

(7)

式中:變分項(xiàng)δf和δw分別對(duì)應(yīng)翹曲廣義剪力Qω和豎向剪力Q;變分項(xiàng)δf′和δθ分別對(duì)應(yīng)翹曲廣義力矩Mω和截面彎矩Mx。由于后續(xù)微分方程求解時(shí)邊界條件的需要,此處僅給出翹曲廣義剪力Qω的表達(dá)式,即:

Qω=-EIω(f?+ζθ″-k2f′)

(8)

為了簡(jiǎn)化微分方程式(4)～式(6),可令w(z,t)=w(z)sin(ωt+ψ)、θ(z,t)=θ(z)sin(ωt+ψ)、f(z,t)=f(z)·sin(ωt+ψ),并將其代入后,整理可得關(guān)于豎向撓度w的控制微分方程為

(9)

求解微分方程式(9)可得考慮剪切影響的箱梁撓度ws(z)為

ws(z)=C1sin(λ1z)+C2cos(λ1z)+C3sin(λ2z)+C4·

cos(λ2z)+C5sinh(λ3z)+C6cosh(λ3z)+C7sinh(λ4z)+

(10)

式中:λ1～λ4為微分方程式(9)對(duì)應(yīng)的特征方程根;C1～C8為待定系數(shù),由相應(yīng)邊界條件確定。

將式(10)代入式(4)后,根據(jù)恒等式原理可得考慮剪切影響的箱梁截面轉(zhuǎn)角θ(z)為

θ(z)=B1(C1cos(λ1z)-C2sin(λ1z))+B2(C3cos(λ2z)-

C4sin(λ2z))+B3(C5cosh(λ3z)+C6sinh(λ3z))+B4·

(C7cosh(λ4z)+C8sinh(λ4z))

(11)

整理式(5)～式(6)得到關(guān)于剪力滯附加撓度的微分方程,然后將ws(z)和θ(z)代入后,根據(jù)恒等式原理,可得附加撓度f(wàn)(z)為

f(z)=D1(C1sin(λ1z)+C2cos(λ1z))+D2(C3sin(λ2z)+

C4cos(λ2z))+D3(C5sinh(λ3z)+C6cosh(λ3z))+D4·

(12)

式中:D1～D4為剪力滯附加撓度系數(shù),

下標(biāo)i和j的取值與式(11)同。

考慮雙重效應(yīng)影響的箱梁彎曲簡(jiǎn)諧振動(dòng)控制微分方程滿(mǎn)足的邊界條件為

簡(jiǎn)支端:ws=0,f=0,θ′=0,f″=0

固定端:ws=0,f=0,θ=0,f′=0

當(dāng)不考慮剪切和剪力滯效應(yīng)時(shí),即消去式(4)～式(6)中的(w′-θ)項(xiàng),并用w′替換θ,同時(shí)令f=0,可得初等梁簡(jiǎn)諧振動(dòng)的控制微分方程為

(13)

求解微分方程式(13)可得簡(jiǎn)諧振動(dòng)初等梁撓度w0(z)為

(14)

箱梁彎曲簡(jiǎn)諧振動(dòng)初等梁控制微分方程滿(mǎn)足的邊界條件為

2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的求解

如圖1(a)為任意簡(jiǎn)諧荷載qsin(ωt+ψ)作用下的箱梁示意圖,則其將在豎平面oyz內(nèi)以圓頻率ω做彎曲往復(fù)運(yùn)動(dòng)。根據(jù)第1章建立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)初等梁撓度和剪力滯附加撓度解析解,可導(dǎo)出箱梁截面任一點(diǎn)的初等梁正應(yīng)力σ0(x,y,z)和翹曲正應(yīng)力σω(x,y,z),即:

σ0(x,y,z)=-Eyθ′=Ey[B1λ1(C1sin(λ1z)+

C2cos(λ1z))+B2λ2(C3sin(λ2z)+C4cos(λ2z))-

B3λ3(C5sinh(λ3z)+C6cosh(λ3z))-

B4λ4(C7sinh(λ4z)+C8cosh(λ4z))]

(15)

(16)

(1) 當(dāng)考慮剪切剪力滯效應(yīng)時(shí),不同梁端約束條件下箱梁簡(jiǎn)諧振動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)位移和應(yīng)力所滿(mǎn)足的邊界條件為:

① 兩端簡(jiǎn)支(SS箱梁):

ws(0)=0,θ′(0)=0,f(0)=0,f″(0)=0;

ws(l)=0,θ′(l)=0,f(l)=0,f″(l)=0。

② 左端固定右端鉸支(FS箱梁):

ws(0)=0,θ(0)=0,f(0)=0,f′(0)=0;

ws(l)=0,θ′(l)=0,f(l)=0,f″(l)=0。

③ 兩端固定(FF箱梁):

ws(0)=0,θ(0)=0,f(0)=0,f′(0)=0;

ws(l)=0,θ(l)=0,f(l)=0,f′(l)=0。

(2) 當(dāng)忽略剪切剪力滯效應(yīng)時(shí)(即初等梁變形狀態(tài)),不同梁端約束條件下箱梁簡(jiǎn)諧振動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)位移和應(yīng)力所滿(mǎn)足的邊界條件為:

① 兩端簡(jiǎn)支(SS箱梁):

② 左端固定右端鉸支(FS箱梁):

③ 兩端固定(FF箱梁):

為分析簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率對(duì)箱梁動(dòng)力響應(yīng)的影響,此處定義箱梁截面應(yīng)力和撓度放大系數(shù)κF,即:

(17)

(18)

式中:αs為剪切系數(shù),αs=A/Aw。

滿(mǎn)跨均布荷載作用下,簡(jiǎn)支箱梁(SS箱梁)翹曲正應(yīng)力及附加撓度的表達(dá)式為

(19)

滿(mǎn)跨均布荷載作用下,左端固定右端鉸支的箱梁(FS箱梁)翹曲正應(yīng)力及附加撓度的表達(dá)式為

(20)

滿(mǎn)跨均布荷載作用下,兩端固定的箱梁(FF箱梁)翹曲正應(yīng)力及附加撓度的表達(dá)式為

(21)

3 算例分析

3.1 梁端約束條件影響分析

算例采用文獻(xiàn)[16]中介紹的跨度l=40 m簡(jiǎn)支箱梁,兩端設(shè)置橫隔板,截面尺寸如圖2(a)所示。滿(mǎn)跨作用豎向?qū)ΨQ(chēng)簡(jiǎn)諧荷載qsin(ωt),荷載集度q=2×90 kN/m,質(zhì)量密度ρ=2 500 kg/m3,彈性模量E=35 GPa,泊松比μ=0.166 7,剪切模量G=15 GPa。

(a) 箱梁橫截面尺寸(m)

為驗(yàn)證不同梁端約束條件下箱梁簡(jiǎn)諧振動(dòng)變分解的正確性,運(yùn)用ANSYS-shell63單元建立箱梁有限元模型(共劃分4 626個(gè)節(jié)點(diǎn),4 608個(gè)單元),如圖2(b)所示。除梁端約束外,其余節(jié)點(diǎn)均施加UX、ROTY、ROTZ等3個(gè)約束(這樣可使模型僅顯示彎曲振型),分析過(guò)程不考慮系統(tǒng)阻尼影響。通過(guò)分析箱梁自振頻率來(lái)考證有限元模型的可靠性,利用該模型計(jì)算簡(jiǎn)支梁前5階自振頻率;按照本文方法,當(dāng)外荷載集度q=0時(shí),可退化為考慮雙重效應(yīng)的彎曲自振頻率控制微分方程,求解可得前5階自振頻率,具體計(jì)算過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[19];將上述結(jié)果及文獻(xiàn)[16]給出的解析解和有限元解,如表1所示。

表1 簡(jiǎn)支箱梁前5階彎曲自振頻率對(duì)比

從表1可知,本文計(jì)算得到的ANSYS數(shù)值解與考慮雙重效應(yīng)的彎曲自振頻率變分解、文獻(xiàn)解析解及有限元解吻合良好,進(jìn)而驗(yàn)證了本文建立有限元模型的可靠性。

采用本模型諧響應(yīng)分析結(jié)果進(jìn)一步考證不同梁端約束條件下箱梁簡(jiǎn)諧振動(dòng)變分解的正確性。在箱梁基頻內(nèi)取振動(dòng)頻率fn從0.4 Hz增大至2.4 Hz,步長(zhǎng)為0.4 Hz;運(yùn)用有限元諧響應(yīng)模塊中的Full法進(jìn)行分析,通過(guò)時(shí)程分析獲得不同梁端約束條件下,各頻率對(duì)應(yīng)的箱梁跨中截面動(dòng)撓度;利用本文方法計(jì)算得到相應(yīng)頻率的跨中截面動(dòng)撓度解,如表2所示。

表2 不同梁端約束下箱梁跨中截面動(dòng)撓度對(duì)比

從表2可知,不同梁端約束條件下,考慮彎曲雙重效應(yīng)影響的箱梁跨中截面撓度解析解與有限元數(shù)值解吻合良好,驗(yàn)證了本文方法的正確性;相同振動(dòng)頻率下,梁端約束條件越強(qiáng),跨中截面動(dòng)撓度越小;振動(dòng)頻率從0.4 Hz增大至2.4 Hz時(shí),簡(jiǎn)支箱梁截面撓度增大了2.26倍,左端固定右端簡(jiǎn)支的箱梁截面撓度增大了1.31倍,兩端固定的箱梁截面撓度增大了1.13倍。

梁端約束條件對(duì)箱梁簡(jiǎn)諧振動(dòng)響應(yīng)的影響,利用本文解析解計(jì)算不同梁端約束條件下,箱梁跨中截面的剪切附加撓度wf、剪力滯附加撓度f(wàn)及頂板肋處的翹曲正應(yīng)力σω在初等梁理論中的占比,并繪制影響分布圖,如圖3所示;同時(shí)計(jì)算跨中截面各撓度放大系數(shù)及頂板肋處正應(yīng)力放大系數(shù),如圖4和圖5所示。

從圖3可知:梁端約束條件越強(qiáng),附加撓度及翹曲正應(yīng)力在初等梁中的占比越大;振動(dòng)頻率越大,剪切附加撓度占比越大,剪力滯附加撓度及翹曲正應(yīng)力占比越小;相同約束條件下,剪切附加撓度占比大于剪力滯附加撓度占比,剪力滯附加撓度占比大于翹曲正應(yīng)力占比;振動(dòng)頻率為2.4 Hz時(shí),與簡(jiǎn)支箱梁相比,左固右鉸的箱梁與兩端固定的箱梁跨中截面附加撓度占比增大了13.72%和32.25%,對(duì)應(yīng)頂板肋處的翹曲正應(yīng)力占比增大了3.55%和7.18%。

從圖4和圖5可知:梁端約束條件越強(qiáng),應(yīng)力及撓度放大系數(shù)越小;約束條件對(duì)剪力滯附加撓度及翹曲正應(yīng)力放大系數(shù)的影響較小,而對(duì)剪切附加撓度放大系數(shù)的影響尤為顯著;與簡(jiǎn)支箱梁相比,左固右鉸的箱梁和兩端固定的箱梁縱向應(yīng)力及總撓度放大系數(shù)、剪切附加撓度放大系數(shù)的差值比隨振動(dòng)頻率的增大而增大;振動(dòng)頻率為2.4 Hz時(shí),與簡(jiǎn)支箱梁相比,左固右鉸的箱梁和兩端固定的箱梁跨中截面總撓度放大系數(shù)減小了41.67%和50.48%,頂板肋處縱向應(yīng)力放大系數(shù)減小了41.75%和49.23%。

3.2 梗腋影響分析

采用文獻(xiàn)[20]中介紹的某30 m預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支箱梁橋,截面尺寸如圖6(a)所示,滿(mǎn)跨作用豎向?qū)ΨQ(chēng)簡(jiǎn)諧荷載qsin(ωt),荷載集度q=2×80 kN/m,質(zhì)量密度ρ=2 500 kg/m3,彈性模量E=35.5 GPa,泊松比μ=0.167。

(a) 箱梁橫截面尺寸(m)

為了便于研究梗腋對(duì)箱梁彎曲動(dòng)力響應(yīng)的影響,此處引入梗腋特性參數(shù)υ為

(22)

采用有限元法驗(yàn)證本節(jié)理論方法的正確性,運(yùn)用ANSYS-solide185單元建立箱梁實(shí)體模型,如圖6(b)所示。共劃分19 144個(gè)節(jié)點(diǎn),13 842個(gè)單元,除梁端約束外其余節(jié)點(diǎn)均施加約束UX(這樣可使箱梁僅顯示彎曲振型,通過(guò)觀察多階模態(tài)來(lái)確定),分析過(guò)程不考慮系統(tǒng)阻尼影響。在箱梁基頻內(nèi)取振動(dòng)頻率fn從0.6 Hz增大至3.0 Hz,步長(zhǎng)為0.6 Hz;利用諧響應(yīng)模塊中的Full法進(jìn)行分析,通過(guò)時(shí)程分析獲得各頻率下考慮梗腋影響的箱梁跨中截面豎向撓度;利用本文方法計(jì)算得到相應(yīng)解析解,如表3所示。

表3 考慮和忽略梗腋的箱梁跨中截面動(dòng)撓度對(duì)比

從表3可知,考慮梗腋的箱梁動(dòng)撓度與有限元數(shù)值解吻合更好,誤差比控制在7%以?xún)?nèi),而不考慮梗腋的箱梁動(dòng)撓度與有限元數(shù)值解差值比為12%以?xún)?nèi),進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的正確性。

分析梗腋對(duì)箱梁諧響應(yīng)的影響,此處引入差值比參數(shù)Δχ,即:

(23)

利用本文解析解計(jì)算考慮和忽略梗腋影響時(shí)箱梁跨中截面的初等梁撓度差值比Δw0及撓度放大系數(shù)κw0、頂板肋處應(yīng)力差值比Δσ0及應(yīng)力放大系數(shù)κσ0和考慮雙重效應(yīng)影響的箱梁截面總撓度差值比Δw及撓度放大系數(shù)κw、縱向應(yīng)力差值比Δσ及應(yīng)力放大系數(shù)κσ,并繪制其隨振動(dòng)頻率變化的分布圖,如圖7和圖8所示。

圖7 梗腋對(duì)箱梁撓度及應(yīng)力差值比的影響

圖8 梗腋對(duì)箱梁撓度及應(yīng)力放大系數(shù)的影響

從圖7可知:考慮和忽略梗腋影響的箱梁截面動(dòng)應(yīng)力和撓度差值在考慮梗腋的計(jì)算結(jié)果中占比較大,且應(yīng)力差值比明顯大于撓度差值比;梗腋對(duì)初等梁動(dòng)應(yīng)力及撓度的削弱影響較為顯著,基頻內(nèi)振動(dòng)時(shí),跨中截面關(guān)鍵點(diǎn)動(dòng)應(yīng)力和撓度分別減小了18.00%和10.00%左右;考慮雙重效應(yīng)影響的應(yīng)力和撓度差值比分布曲線(xiàn)與初等梁差值比分布曲線(xiàn)較接近,在分析梗腋對(duì)箱梁彎曲諧響應(yīng)影響時(shí),可忽略剪切剪力滯效應(yīng)。

從圖8可知:考慮梗腋影響的應(yīng)力及撓度放大系數(shù)略大于不考慮的計(jì)算結(jié)果,其中應(yīng)力放大系數(shù)大于撓度放大系數(shù),且二者差值比隨振動(dòng)頻率的增大而增大;考慮和不考慮梗腋影響的截面放大系數(shù)分布曲線(xiàn)較接近,其最大差值比不足1.00%,說(shuō)明梗腋對(duì)應(yīng)力和撓度放大系數(shù)的影響很小;考慮雙重效應(yīng)影響的應(yīng)力和撓度放大系數(shù)分布曲線(xiàn)與初等梁分布曲線(xiàn)較接近,在分析梗腋對(duì)箱梁諧響應(yīng)影響時(shí)可忽略雙重效應(yīng)。

4 結(jié) 論

為了分析梁端約束條件和梗腋對(duì)箱梁簡(jiǎn)諧振動(dòng)的影響,本文以剪力滯效應(yīng)引起的附加撓度為廣義位移,運(yùn)用Hamilton原理建立了考慮剪切剪力滯效應(yīng)影響的箱梁彎曲簡(jiǎn)諧振動(dòng)變分解析解,詳細(xì)分析了梁端約束條件和梗腋對(duì)箱梁諧響應(yīng)的影響,并得到以下幾個(gè)主要結(jié)論:

(1) 不同梁端約束條件和梗腋影響的箱梁彎曲諧響應(yīng)解析解與有限元數(shù)值解吻合良好,驗(yàn)證了本文方法的正確性。

(2) 梁端約束條件影響分析表明, 梁端約束條件越強(qiáng),附加撓度及翹曲正應(yīng)力在初等梁計(jì)算結(jié)果中的占比越大,截面應(yīng)力及撓度放大系數(shù)越小;剪切效應(yīng)影響大于剪力滯效應(yīng),且其差值比隨振動(dòng)頻率的增大而增大;當(dāng)振動(dòng)頻率為2.4 Hz時(shí),與簡(jiǎn)支箱梁相比,左端固定右端鉸支的箱梁和兩端固定的箱梁跨中截面附加撓度占比增大了13.72%和32.25%,對(duì)應(yīng)頂板肋處的縱向應(yīng)力放大系數(shù)減小了41.75%和49.23%。

(3) 梗腋影響分析表明,梗腋對(duì)初等梁彎曲諧響應(yīng)的削弱影響較大,而對(duì)截面應(yīng)力和撓度放大系數(shù)的影響較小;梗腋對(duì)雙重效應(yīng)引起的截面附加應(yīng)力、撓度及放大系數(shù)的影響很小,在分析梗腋對(duì)箱梁彎曲諧響應(yīng)影響時(shí),可按初等梁振動(dòng)理論進(jìn)行計(jì)算。