金 花, 張子豪, 呂小紅

(蘭州交通大學(xué) 機電工程學(xué)院,蘭州 730070)

齒輪傳動是應(yīng)用廣泛的動力傳動裝置之一,其工作性能對機械系統(tǒng)有著重要的影響。因此,考慮齒側(cè)間隙、質(zhì)量偏心和時變嚙合剛度等因素影響的齒輪系統(tǒng)動力學(xué)是機械工程界廣泛關(guān)注的研究領(lǐng)域。由于單自由度系統(tǒng)的振動研究既有實踐意義又有理論意義,因此單級直齒輪副的動力學(xué)研究引起了許多學(xué)者的關(guān)注。齒輪系統(tǒng)動力學(xué)的研究方法主要有增量諧波平衡法[1]、A-算符法[2]和分段多尺度法[3]等。Wei等[4]應(yīng)用諧波平衡法和改進的區(qū)間諧波平衡法分別分析了具有確定參數(shù)和不確定參數(shù)單自由度齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)。茍向鋒等[5]應(yīng)用數(shù)值計算的方法辨識了齒輪系統(tǒng)的周期行為模式及其在兩參數(shù)空間的存在區(qū)域。Yang等[6]重構(gòu)了單自由度齒輪系統(tǒng)動力學(xué)的時變嚙合剛度和靜態(tài)傳遞誤差模型。郜志英等[7]應(yīng)用偽不動點追蹤法分析了齒輪系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性與分岔。

擦邊分岔是非光滑系統(tǒng)特有的一種分岔。高建設(shè)等[8]發(fā)現(xiàn)齒面擦邊接觸會使齒輪傳動系統(tǒng)的運動周期、嚙合力以及沖擊狀態(tài)發(fā)生變化。尹樁等[9]研究了齒輪嚙合運動的擦邊行為,發(fā)現(xiàn)擦邊分岔不改變相軌跡的拓撲結(jié)構(gòu)。

共存吸引子[10]和混沌激變[11]是非光滑系統(tǒng)中常見的兩種全局現(xiàn)象。唐進元等[12]應(yīng)用圖胞映射法計算了齒輪系統(tǒng)共存吸引子的全局特性。Shi等[13]計算了單自由度齒輪副在兩參數(shù)平面的多穩(wěn)態(tài)行為。已有關(guān)于齒輪系統(tǒng)全局動力學(xué)的研究報道主要集中在穩(wěn)定周期解和混沌等終態(tài)吸引子的動力學(xué),很少考慮不穩(wěn)定吸引子的存在性,因此,一些隱藏的穩(wěn)定周期吸引子不能被發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)的全局動力學(xué)不能被完全揭示。為了能夠為齒輪副參數(shù)設(shè)計與優(yōu)化提供理論依據(jù),很有必要對齒輪系統(tǒng)共存吸引子(包括穩(wěn)定和不穩(wěn)定)的動力學(xué)進行研究。

打靶法是一種求解非線性系統(tǒng)周期解及穩(wěn)定性的常用方法[14]。近年來,研究者應(yīng)用延續(xù)算法在非光滑系統(tǒng)動力學(xué)領(lǐng)域取得了許多重要的成果[15-17]。本文結(jié)合初值胞映射法和打靶法求解單級直齒輪副的共存吸引子及其穩(wěn)定性,用延續(xù)算法和數(shù)值仿真方法追蹤吸引子的分岔,應(yīng)用胞映射法分析吸引子的吸引域演化,研究系統(tǒng)的共存吸引子特性以及鞍結(jié)型擦邊分岔和混沌激變等不連續(xù)分岔行為,充分揭示系統(tǒng)的全局動力學(xué),為直齒輪副動力學(xué)行為的評價以及參數(shù)設(shè)計與優(yōu)化提供指導(dǎo),為直齒輪副乃至整個機械系統(tǒng)的安全運行和故障預(yù)警等提供參考。

1 齒輪副動力學(xué)模型

單級直齒輪副的力學(xué)模型如圖1所示。Ii、rbi和θi(i=1,2)分別為主、從動齒輪的轉(zhuǎn)動慣量、基圓半徑和扭轉(zhuǎn)角位移。Cg為嚙合阻尼。非線性因素考慮時變嚙合剛度和綜合傳遞誤差,分別為K(t)和e(t)。非光滑因素考慮齒側(cè)間隙為2D。系統(tǒng)的無量綱運動微分方程可表示為

圖1 直齒輪副的力學(xué)模型

(1)

式中:ξ為阻尼比;k為時變嚙合剛度幅值;ε為誤差波動幅值;F為無量綱扭矩;ω為無量綱嚙合頻率;g(x,d)為間隙函數(shù)。無量綱處理時,一般將D作為標稱尺度,此時d=1,則間隙函數(shù)為

(2)

2 共存吸引子的求解與追蹤方法

若周期軌線由點u0∈G1出發(fā)經(jīng)過時間T=2nπ/ω后返回u0點,其運動軌跡為G1→G2→G3→G2→G1,則Poincaré映射及其Jacobi矩陣分別為

(3)

(4)

式中:PDi為矩陣微分方程式(5)中?u(t)/?ui0在t=t1時的解,其中t1為系統(tǒng)在子空間Gi運動的時間。

(5)

設(shè)分岔參數(shù)為v,其余參數(shù)值固定,共存吸引子的求解與追蹤方法描述如下。

(1) 結(jié)合初值胞映射法和基于Poincaré映射的打靶法求解v=v0時的共存吸引子。在Poincaré截面上選取一個待考察的狀態(tài)空間,然后網(wǎng)格化。以網(wǎng)格線的交點作為初始不動點,應(yīng)用打靶法求解v=v0時Poincaré截面上的不動點,即系統(tǒng)的周期吸引子。通過式(4)和式(5)計算Jacobi矩陣PD的特征值,根據(jù)Floquet理論確定周期吸引子的穩(wěn)定性。待循環(huán)計算完所有網(wǎng)格線的交點,便可得到系統(tǒng)共存的周期解及其穩(wěn)定性。

(2) 以v=v0時的周期吸引子為初始不動點,應(yīng)用延續(xù)算法遞減遞增分岔參數(shù)v追蹤該吸引子在v∈[v1,v0]及v∈[v0,v2]內(nèi)的分岔演化。待所有共存的周期吸引子追蹤完畢,便可得到系統(tǒng)在v∈[v1,v2]內(nèi)的全局動力學(xué)。

(3) 應(yīng)用4階變步長Runge-Kutta法數(shù)值仿真系統(tǒng)在v∈[v1,v2]內(nèi)的穩(wěn)定周期運動及其分岔,驗證數(shù)值延拓結(jié)果的正確性并得到混沌響應(yīng)。

3 共存吸引子的穩(wěn)定性與分岔

取系統(tǒng)參數(shù)(1):k=0.1,ε=0.2,ξ=0.04和F=0.05,應(yīng)用初值胞映射法和延拓打靶法求解系統(tǒng)在ω∈[0.20,1.20]的共存周期吸引子及其穩(wěn)定性與分岔,應(yīng)用數(shù)值仿真驗證數(shù)值延拓結(jié)果的正確性并得到混沌響應(yīng)。興存吸引子的分岔圖,如圖2所示。兩種計算結(jié)果的合成分岔圖見圖2(a)。圖2(c)～圖2(i)為圖2(a)的細節(jié)描述。圖2中,實線為穩(wěn)定的周期吸引子,虛線為不穩(wěn)定的周期吸引子;圓點為分岔點;GR、PDi和SNi分別為擦邊、周期倍化和鞍結(jié)分岔,下標i為同一類型分岔的發(fā)生次序;用P1、Q1、R1、S1和T1區(qū)分處于不同分支的穩(wěn)定周期1吸引子,不穩(wěn)定周期吸引子用下標‘U’區(qū)別。圖2(b)為ω遞增和遞減變化時數(shù)值仿真得到的分岔圖。對比圖2(a)和圖2(b)可知,單級直齒輪副存在大量的多吸引子共存行為。但是,目前被廣泛采用的數(shù)值仿真方法和單參數(shù)延拓方法隱藏了許多重要的吸引子信息。因此,結(jié)合多種方法研究直齒輪副的共存吸引子及其穩(wěn)定性與分岔對全面揭示系統(tǒng)的全局動力學(xué)至關(guān)重要。

(a) 合成分岔圖

由圖2可知,鞍結(jié)分岔(SNi)使周期吸引子成對出現(xiàn)或消失,而周期倍化分岔(PDi)使周期吸引子失去或獲得穩(wěn)定。穩(wěn)定的周期1吸引子P1、Q1、R1和S1存在的ω區(qū)間分別為(0.20,0.472 476 76)、(0.275 010 55,0.931 868 68)、(0.312 704 37,0.472 921 97)和(0.323 548 48,0.502 913 07),見圖2(a)。當(dāng)ω=0.395 0時,9個周期吸引子共存,分別是4個穩(wěn)定的周期1、3個不穩(wěn)定的周期1、1個穩(wěn)定的周期4和1個不穩(wěn)定的周期4,其相軌跡和Poincaré映射,如圖3所示。圖3中:相軌跡與對應(yīng)圖2吸引子相同;實線和虛線分別為穩(wěn)定和不穩(wěn)定周期運動的相軌跡;圓點為Poincaré映射不動點。P1運動表現(xiàn)為完全齒面嚙合運動,為簡諧響應(yīng)。其余周期運動由于出現(xiàn)脫嚙以及齒背嚙合狀態(tài),響應(yīng)受到間隙的影響成為非簡諧響應(yīng)。在嚙合過程中,周期1運動Q1和S1U以及周期4運動P4和P4U既有齒面嚙合又有齒背嚙合。

(a)

圖2(a)中矩形區(qū)域①內(nèi)的P1、Q1和R1吸引子分支非常貼近,不能明顯區(qū)分,因此,圖2(c)描述了P1與Q1吸引子的分岔,圖2(d)為R1和R1U吸引子的分岔。由圖2(c)知,增大ω,P1吸引子在ω≈0.470 0時發(fā)生了跳躍分岔。減小步長延拓追蹤P1吸引子在跳躍點附近的詳細動力學(xué),結(jié)果見圖2(e)。隨著ω的遞增,P1吸引子發(fā)生鞍結(jié)型擦邊分岔(GR-SN1),使系統(tǒng)的穩(wěn)定周期1響應(yīng)產(chǎn)生跳躍。GR點與SN1點之間的距離Δω=0.000 545 16。當(dāng)ω=0.471 931 60(GR)時,P1運動的相軌線與邊界∑1相切,系統(tǒng)發(fā)生擦邊分岔使周期1完全嚙合運動變?yōu)橹芷?嚙合-脫嚙運動。隨后在ω=0.472 476 76(SN1)處,P1吸引子經(jīng)鞍結(jié)分岔失去穩(wěn)定性,產(chǎn)生向ω減小方向延續(xù)的不穩(wěn)定周期1吸引子P1U。此后,減小ω。當(dāng)ω=0.457 232 32(SN2)時,系統(tǒng)再次發(fā)生鞍結(jié)分岔,P1U吸引子變?yōu)榉€(wěn)定,用T1表示。同時,參數(shù)ω恢復(fù)遞增的變化方向。

Jiang等分析了碰撞系統(tǒng)擦邊誘導(dǎo)的鞍結(jié)分岔和周期倍化分岔。目前,關(guān)于齒輪系統(tǒng)擦邊誘導(dǎo)的分岔研究還未見報道。有研究發(fā)現(xiàn)擦邊分岔使圖2中系統(tǒng)的響應(yīng)發(fā)生跳躍。由圖2(e)可知,跳躍是由于系統(tǒng)發(fā)生了擦邊誘導(dǎo)的鞍結(jié)分岔SN1,引起P1與T1吸引子轉(zhuǎn)遷過程中的遲滯。擦邊分岔GR是連續(xù)的。這個特征與分段線性系統(tǒng)的鞍結(jié)型擦邊分岔特征相同。

當(dāng)ω=0.481 737 37(PD1)時,T1吸引子經(jīng)周期倍化分岔產(chǎn)生共存的不穩(wěn)定周期1吸引子T1U和穩(wěn)定周期2吸引子T2。延拓追蹤T1U吸引子,在ω=0.506 465 46(PD2)和ω=0.508 750 000(SN3)時,Floquet特征乘子分別為λ1=0.767 44,λ2=1.000 09和λ1=-1.000 52,λ2=-0.779 87,T1U吸引子經(jīng)周期倍化分岔PD2恢復(fù)穩(wěn)定,隨后在SN3點與不穩(wěn)定周期1吸引子Q1U碰撞并消失。通過數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn),T2吸引子經(jīng)周期倍化序列通向短暫的混沌,然后該吸引子的分岔突然終止。

由圖2(d)可知,R1和R1U吸引子的分岔行為非常簡單。兩個吸引子在ω=0.312 704 37(SN4)和ω=0.472 921 97(SN5)時經(jīng)鞍結(jié)分岔同時出現(xiàn)或消失。

圖2(f)描述了圖2(c)所示小區(qū)域⑤的細節(jié)?？梢?在ω=0.275 010 55(SN6)時,系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔產(chǎn)生一對新的周期1吸引子V1和Q1U。Q1U吸引子分支終止于SN3點。V1吸引子存在的ω區(qū)間非常窄。當(dāng)ω=0.275 350 50(PD3)時,系統(tǒng)發(fā)生周期倍化分岔使V1吸引子變?yōu)椴环€(wěn)定吸引子V1U,然后在ω=0.308 476 67(PD4)時經(jīng)周期倍化分岔變?yōu)榉€(wěn)定的Q1吸引子,見圖2(c)。

由圖2(a)可知,在ω=0.323 548 48(SN8)時,系統(tǒng)出現(xiàn)與P1、Q1、Q1U、R1和R1U吸引子共存的S1和S1U吸引子。用延續(xù)算法分別追蹤S1和S1U吸引子,S1U吸引子在ω=0.931 868 68(SN7)時與Q1吸引子碰撞并消失;S1吸引子在ω=0.502 913 07(PD5)時經(jīng)周期倍化分岔失穩(wěn)。

圖2(g)為圖2(a)所示矩形區(qū)域②的局部放大。可見,系統(tǒng)在區(qū)域②內(nèi)出現(xiàn)周期4吸引子的分岔分支。為了詳細描述周期4吸引子的分岔演化,圖2(h)描述了圖2(g)中區(qū)域⑥的細節(jié)。由圖2(g)和(h)可知,增大ω,當(dāng)ω=0.361 546 18(SN9)時,系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔產(chǎn)生1個穩(wěn)定的和1個不穩(wěn)定的周期4吸引子,分別為P4和P4U。增大ω,P4吸引子在ω=0.361 551 81(PD6)處發(fā)生周期倍化分岔。數(shù)值仿真結(jié)果顯示,P4及其周期倍化序列演化的吸引子存在的ω區(qū)間非常窄。用延續(xù)算法追蹤P4U吸引子,在ω=0.403 454 55(SN10)時,P4U吸引子經(jīng)鞍結(jié)分岔獲得穩(wěn)定。此后,ω的變化方向由增大變?yōu)闇p小。當(dāng)ω=0.400 587 00(PD7)時,穩(wěn)定的周期4吸引子經(jīng)周期倍化分岔失穩(wěn),然后在ω=0.393 438 30(PD8)時又恢復(fù)穩(wěn)定。

圖2(i)為圖2(a)所示小區(qū)域③的放大。由圖2(a)和(i)可知,在ω=0.607 492 09(SN11)時,系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔出現(xiàn)1個穩(wěn)定的和1個不穩(wěn)定的周期2吸引子,分別為P2和Q2U。增大ω當(dāng)ω=0.607 512 82(PD9)時,P2吸引子經(jīng)周期倍化分岔失穩(wěn)變?yōu)镻2U吸引子。然后,P2U與Q2U吸引子共存,一直持續(xù)到ω=1.20。

4 混沌激變

由圖2可知,隨著分岔參數(shù)的變化,穩(wěn)定的周期吸引子或經(jīng)鞍結(jié)分岔消失,或經(jīng)一系列分岔演化為混沌?；煦邕吔缂ぷ兪菍?yīng)周期吸引子的分岔突然終止的一個重要因素。當(dāng)ω∈(0.640 330 00,0.931 868 68)時,混沌吸引子與穩(wěn)定的周期1吸引子Q1共存,而在ω∈(1.169 210 00,1.20)時,混沌吸引子與穩(wěn)定的周期2吸引子Q2共存。減小ω,當(dāng)ω=1.169 210 00和ω=0.640 330 00時,系統(tǒng)發(fā)生邊界激變導(dǎo)致混沌吸引子突然消失。為分析邊界激變的分岔結(jié)構(gòu),應(yīng)用胞映射法計算了共存吸引子的吸引域,如圖4所示。

(a) ω=0.80

當(dāng)ω=0.70時,5個周期吸引子(1個穩(wěn)定)和1個混沌吸引子共存。穩(wěn)定周期1吸引子Q1與混沌的吸引域見圖4(b)。圖4中:各吸引子與對應(yīng)圖2吸引子相同;圓點為穩(wěn)定的周期吸引子;“▲”為不穩(wěn)定的周期吸引子;Q1為吸引子的吸引域,Q1吸引子在全局范圍內(nèi)是穩(wěn)定的,系統(tǒng)響應(yīng)對初始條件的擾動不具有敏感性。增大ω,混沌吸引子的吸引域逐漸擴張壓縮Q1吸引子的吸引域,見圖4(a)和(b)。當(dāng)ω=0.931 868 68(SN7)時,Q1吸引子與S1U吸引子碰撞導(dǎo)致Q1吸引子及其吸引域消失。相反,當(dāng)ω減小時,混沌吸引子向中心收縮,導(dǎo)致位于吸引域邊界上的S1U吸引子向混沌吸引子逐漸靠近,見圖4(c)和(d)。其中,圖4(c1)為圖4(c)的局部放大。當(dāng)ω=0.640 330 00時,混沌吸引子與S1U吸引子碰撞,系統(tǒng)發(fā)生邊界激變導(dǎo)致混沌吸引子及其吸引域突然消失,系統(tǒng)的終態(tài)響應(yīng)只表現(xiàn)為Q1運動。

當(dāng)ω∈(1.169 210 00,1.20)時,4個周期吸引子(1個穩(wěn)定)與1個混沌吸引子共存。終態(tài)吸引子的吸引域演化見圖4(e)～圖4(g)。圖4(e)為ω=1.20時的吸引域。不穩(wěn)定周期2吸引子Q2U位于吸引域邊界。2個吸引域互相環(huán)繞且有散點,邊界具有分形特征,說明吸引子對初始條件具有較高的敏感性,Q2吸引子只在局部區(qū)域內(nèi)穩(wěn)定。減小ω,Q2吸引子的吸引域緩慢地向中心收縮導(dǎo)致位于吸引域邊界上的Q2U吸引子向混沌吸引子逐漸靠近,見圖4(f)和(g)。當(dāng)ω=1.169 210 00時,混沌吸引子與Q2U吸引子碰撞,系統(tǒng)發(fā)生邊界激變導(dǎo)致混沌吸引子及其吸引域突然消失。

取系統(tǒng)參數(shù)(2):ω=0.50,ε=0.2,ξ=0.05和F=0.1,應(yīng)用初值胞映射法、延拓打靶法以及數(shù)值仿真計算系統(tǒng)隨時變嚙合剛度幅值k變化的合成分岔圖如圖5所示。圖5中,BC和IC分別為邊界激變和內(nèi)部激變。

圖5 參數(shù)(2)條件下的分岔圖

增大k,當(dāng)k=0.214 967 68(SN1)時,鞍結(jié)分岔使系統(tǒng)出現(xiàn)2個新的周期2吸引子(1個穩(wěn)定,1個不穩(wěn)定)。此后,3個周期2吸引子與1個不穩(wěn)定周期1吸引子共存。當(dāng)k=0.429 255 51(SN2)時,系統(tǒng)再次發(fā)生鞍結(jié)分岔,產(chǎn)生于SN1點的不穩(wěn)定周期2吸引子與產(chǎn)生于PD1(k=0.049 567 51)點的穩(wěn)定周期2吸引子碰撞并消失,系統(tǒng)表現(xiàn)為1個穩(wěn)定的周期2吸引子與1個不穩(wěn)定的周期1吸引子共存。繼續(xù)增大k,穩(wěn)定的周期2吸引子經(jīng)開始于k=0.474 697 47(PD2)的周期倍化序列通向混沌。在PD1和PD2點失穩(wěn)的不穩(wěn)定周期吸引子一直持續(xù)到k=1.80。

當(dāng)k=0.859 977 29(SN3)時,鞍結(jié)分岔再次使系統(tǒng)出現(xiàn)2個新的周期2吸引子。其中,穩(wěn)定周期2吸引子的出現(xiàn)破壞了混沌吸引子的完整吸引域,使系統(tǒng)在極小部分初值下的終態(tài)跳躍為周期2運動。此后,4個周期吸引子(1個穩(wěn)定)與1個混沌吸引子共存,吸引域如圖6所示。取k=0.87,共存吸引子及終態(tài)吸引子的吸引域見圖6(a)。圖6(a)中:圓點為穩(wěn)定的周期2吸引子;“▲”為不穩(wěn)定的周期吸引子。產(chǎn)生于SN3點的不穩(wěn)定周期2吸引子位于吸引域邊界,而產(chǎn)生于周期倍化分岔點PD1和PD2的2個不穩(wěn)定周期吸引子位于混沌吸引子的吸引域內(nèi)。增大k,周期2吸引子的吸引域逐漸擴大,混沌吸引子逐漸長大向吸引域邊界靠近,見圖6(a)～圖6(c)。在BC處,混沌吸引子與位于吸引域邊界上的不穩(wěn)定周期2吸引子碰撞,系統(tǒng)發(fā)生邊界激變導(dǎo)致混沌吸引子及其吸引域突然消失,系統(tǒng)的終態(tài)只表現(xiàn)為周期2運動,見圖6(d)。

(a) k=0.87

繼續(xù)增大k,穩(wěn)定周期2吸引子經(jīng)開始于k=1.141 818 21(PD3)處的周期倍化序列通向混沌?；煦缥蛹捌湮蛞妶D6(e)。圖6(e)中,“▲”為產(chǎn)生于SN3點的不穩(wěn)定周期2吸引子?；煦缥影瑑蓚€窄帶部分。進一步增大k,混沌吸引子突然變大,見圖6(f),這是混沌內(nèi)部激變(IC)的結(jié)果。該激變過程中,混沌吸引子沒有與其吸引域內(nèi)部的不穩(wěn)定周期行為發(fā)生碰撞,這個特性不同于光滑動力系統(tǒng)的內(nèi)部激變特性。

鞍結(jié)分岔產(chǎn)生的不穩(wěn)定周期吸引子可能位于吸引域邊界,而經(jīng)周期倍化分岔失穩(wěn)的不穩(wěn)定周期吸引子肯定位于吸引域內(nèi)部。周期倍化分岔不會造成吸引子吸引域的拓撲結(jié)構(gòu)和形狀發(fā)生變化,不影響吸引子的全局穩(wěn)定性。鞍結(jié)分岔產(chǎn)生新的穩(wěn)定周期吸引子,改變了舊吸引子的吸引域結(jié)構(gòu),使系統(tǒng)在極小部分初值下的終態(tài)發(fā)生跳躍。當(dāng)分岔參數(shù)變化時,混沌吸引子與鞍結(jié)分岔產(chǎn)生的位于吸引域邊界的不穩(wěn)定周期軌道發(fā)生碰撞,系統(tǒng)發(fā)生邊界激變導(dǎo)致混沌吸引子及其吸引域突然消失。

5 結(jié) 論

以單級直齒輪副為研究對象,考慮時變嚙合剛度、綜合傳遞誤差和齒側(cè)間隙等非線性或非光滑因素,研究了系統(tǒng)豐富而復(fù)雜的全局動力學(xué)。選擇Poincaré截面,應(yīng)用初值胞映射法、延拓打靶法以及數(shù)值仿真求解并追蹤系統(tǒng)的共存吸引子及其演化,揭示系統(tǒng)在極小參數(shù)區(qū)間存在的容易隱藏的吸引子信息;構(gòu)建Poincaré映射,求解其Jacobi矩陣的特征值,根據(jù)Floquet理論確定周期吸引子的穩(wěn)定性與分岔類型,研究了共存吸引子的周期倍化、鞍結(jié)和鞍結(jié)型擦邊等分岔行為。應(yīng)用胞映射法計算周期吸引子與混沌吸引子共存時的吸引域,揭示了齒輪系統(tǒng)的兩種激變現(xiàn)象:邊界激變和內(nèi)部激變。

(1) 在一定參數(shù)條件下,單級直齒輪副存在大量的多吸引子共存現(xiàn)象。鞍結(jié)分岔使周期吸引子成對出現(xiàn)或消失,而周期倍化分岔使周期吸引子失去或獲得穩(wěn)定。邊界激變導(dǎo)致混沌吸引子及其吸引域突然消失,對應(yīng)周期吸引子的分岔突然終止。

(2) 直齒輪副屬于分段非線性系統(tǒng)。由于非光滑因素的影響,系統(tǒng)會發(fā)生鞍結(jié)型擦邊分岔。擦邊分岔是連續(xù)的,但擦邊誘導(dǎo)的鞍結(jié)分岔使系統(tǒng)終態(tài)發(fā)生跳躍,并引起遲滯現(xiàn)象。這個特征與分段線性系統(tǒng)的鞍結(jié)型擦邊分岔特征相同。

(3) 位于吸引域邊界上的不穩(wěn)定周期吸引子只能由鞍結(jié)分岔產(chǎn)生。當(dāng)分岔參數(shù)變化時,混沌吸引子與位于吸引域邊界的不穩(wěn)定周期軌道發(fā)生碰撞使系統(tǒng)發(fā)生邊界激變。然而,在內(nèi)部激變過程中,混沌吸引子沒有與其吸引域內(nèi)部的不穩(wěn)定周期軌道發(fā)生碰撞,這個特性不同于光滑動力系統(tǒng)的激變特性。

本研究為全面揭示單級直齒輪副的動力學(xué)提供一個新的視角,研究結(jié)果為齒輪副參數(shù)設(shè)計與優(yōu)化提供理論依據(jù),為直齒輪副乃至整個機械系統(tǒng)的安全運行和故障預(yù)警等提供參考。