田 霖, 孫 亮

(1.民政部一零一研究所,北京 100070; 2.北京科技大學 智能科學與技術學院,北京 100083)

近年來,隨著控制理論、導航技術、材料科學的發(fā)展,無人機技術得到了較快發(fā)展,無人機也在應急救援、農(nóng)林植保、電力巡線等民用領域以及偵察、干擾、打擊等軍事領域得到了越來越廣泛的應用。隨著無人機技術研究的深入,無人機呈現(xiàn)出了成本高、研制周期長、系統(tǒng)復雜等特點,嚴重限制了其在更廣泛領域和場景的應用。針對這些特點,無人機集群概念應運而生,其通過多架低成本小型無人機相互協(xié)同配合完成任務,可以解決單架無人機魯棒性、容錯性差等問題,同時降低了無人機研制成本,縮短了研制周期,因此受到了各國研究人員的廣泛關注[1-4]。

編隊跟蹤控制問題是無人機集群領域的一類重要問題,主要控制方法包括一致性方法和領航跟隨法。文獻[5]考慮了無人機的外部擾動和狀態(tài)受限問題,利用一致性方法解決了多架無人機編隊跟蹤控制問題。文獻[6]基于領航跟隨架構設計了無人機集群的分布式自適應有限時間控制算法,實現(xiàn)了在擾動條件下集群的協(xié)同編隊跟蹤控制。針對無人機集群編隊重構問題,文獻[7]基于自適應終端滑模和干擾觀測器設計了分布式編隊跟蹤控制器,實現(xiàn)了有限時間編隊跟蹤控制。文獻[6]和文獻[7]都實現(xiàn)了有限時間編隊控制,但是收斂時間上限均與系統(tǒng)初始狀態(tài)相關,如果系統(tǒng)初始狀態(tài)距離平衡點較遠,那么收斂時間就會很長,嚴重限制了其在工程中的應用。例如,集群發(fā)現(xiàn)障礙物需要緊急變換陣型進行避障,那么集群必須在碰撞障礙物前的規(guī)定時間內完成陣型變換,因此其完成任務的時間有固定上限。為了解決這個問題,文獻[8]提出了固定時間概念,明確了系統(tǒng)收斂時間與初始狀態(tài)無關而只與設計參數(shù)相關?；诠潭〞r間概念,文獻[9]利用終端滑模方法解決了一類非線性系統(tǒng)的固定時間鎮(zhèn)定問題。文獻[10]和文獻[11]在文獻[9]的基礎上將終端滑模方法推廣到多智能體系統(tǒng)中,針對一階積分器多智能體系統(tǒng)設計了非線性一致性控制律,實現(xiàn)了系統(tǒng)的固定時間一致性。文獻[12]設計了一致性控制律,解決了二階積分器多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性問題。針對由多個諧波振蕩器組成的多智能體系統(tǒng),文獻[13]利用非奇異固定時間終端滑模設計了非線性控制律,實現(xiàn)了多智能體對領航者的一致性跟蹤。針對高階積分器多智能體系統(tǒng),文獻[14]基于領航跟隨架構設計了固定時間一致性控制器,將固定時間滑模方法擴展到了高階積分器多智能體系統(tǒng)上,解決了任意階多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性問題。以上研究只集中在由積分器模型組成的多智能體系統(tǒng)的固定時間一致性問題上,而針對無人機集群的固定時間編隊跟蹤控制問題目前還沒有研究成果,因此本文針對該問題進行了研究。

本文針對帶有執(zhí)行器未建模動態(tài)和不確定性的無人機集群系統(tǒng),利用非奇異固定時間終端滑模方法,設計了集群編隊跟蹤控制器,實現(xiàn)了集群無人機在固定時間內編隊成為理想構型,且收斂時間上界與初始狀態(tài)無關。最后,通過數(shù)值仿真驗證了所設計控制器的有效性。

1 問題描述

考慮一組由N個無人機組成的集群系統(tǒng),其在地面坐標系(東北天坐標系)下的三自由度(3DOF)質點運動模型[15]可以描述為

(1)

式中:i=1,2,…,N;xi、yi、zi分別為集群中第i個無人機在地面坐標系下的三維位置坐標;Vi、γi、χi分別為第i個無人機的地速大小、航跡方位角和航跡傾角;Vci、γci、χci分別為Vi、γi和χi相應的控制輸入;τV、τχ、τγ分別為Vi、γi、χi相應的時間常數(shù)。

令pi=[xi,yi,zi]T為集群中第i個無人機的位置矢量,vi=[vxi,vyi,vzi]T為第i個無人機的速度矢量,ui=[uxi,uyi,uzi]T為第i個無人機在地面坐標系3個軸向上的控制輸入矢量。同時考慮無人機執(zhí)行機構的未建模動態(tài)和不確定性,則式(1)的模型可以轉換為[15]

(2)

式中:di=[dxi,dyi,dzi]T為第i個無人機的執(zhí)行器產(chǎn)生的未建模動態(tài)和不確定性矢量。由文獻[15]可知,式(1)中第i個無人機的控制輸入Vci、γci、χci與式(2)中控制輸入矢量ui的關系可表示為

(3)

假設1:式(2)中的擾動矢量di是有界的,上界已知且滿足‖di‖≤dmax,dmax為正常數(shù)。

假設2:領航者的位置pd、速度vd和速度的導數(shù)gd都是有界的,且上界已知。

假設3:理想編隊構型的位置變量hpi、速度變量hvi和速度變量的導數(shù)gai都是有界的,且上界已知。

(4)

基于式(4),可以將式(2)的模型轉換為編隊誤差系統(tǒng),形式為

(5)

進一步地,定義變量e1i和e2i為

(6)

(7)

針對無人機集群固定時間編隊跟蹤控制問題,本文將設計跟蹤誤差系統(tǒng)中的ui,使得集群中每個無人機的跟蹤誤差epi和evi都在固定時間內收斂到0。

2 控制器設計

為了設計控制器,首先引入一種滑模。

引理1[16]:考慮如下滑模:

(8)

式中:x∈R為連續(xù)變量;fs(x)形式為

(9)

(10)

(11)

(12)

s=H1[e2+fs(e1)]

(13)

基于固定時間滑模式(式(12)),設計集群中第i個無人機的控制律為

(14)

(15)

(16)

式中:m=1,2,3;ψi=[ψi1,ψi2,ψi3]T∈R3為擾動補償項,其形式為[17-18]

(17)

式中:m=1,2,3;ku和κi為正常數(shù)且滿足κi≥dmax+‖udi‖,ζ為正常數(shù)。由文獻[17]和文獻[18]可知,擾動補償項ψi滿足如下關系:

(18)

在給出定理和證明之前,首先引入以下引理。

定理1:考慮無人機集群系統(tǒng)(式(1)),無人機間的通信拓撲為無向連通圖,理想的編隊位置和速度構型為hp和hv,那么針對相應的編隊誤差系統(tǒng)(式(5)),設計控制律形式如式(14),那么可以得到如下結論。

(1) 滑模s在固定時間T1內收斂到區(qū)域Ω1內。收斂時間上界T1為

(19)

(2) 跟蹤誤差epi和evi在固定時間Tt內收斂到區(qū)域Ω2內。其中時間Tt=T1+T2,其中

(20)

證明:首先證明滑模到達段的收斂性,選取Lyapunov函數(shù)為

(21)

對V求導可得:

(22)

由控制律式(14)和式(18)可得:

(23)

式(23)可以表示為以下兩種形式:

(24)

(25)

然后證明滑模滑動段的收斂性,基于結論(1)可以得到‖H2s‖≤‖H2‖Δ1,進一步可以得到evim+fs(epim)≤‖H2‖Δ1。利用文獻[16]中的分析方法對跟蹤誤差epi和evi的特性進行分析可知,滑動模態(tài)s進入滑模面附近的小區(qū)域后會出現(xiàn)3種情況:

綜上所述,跟蹤誤差epi和evi最終在固定時間Tt內收斂到區(qū)域Ω2內。結論(2)得證。

注1:控制器(式(14))實現(xiàn)了集群系統(tǒng)(式(1))的固定時間編隊跟蹤控制。相較于文獻[7]的集群有限時間編隊控制,給出了明確的收斂時間上界,該上界與初始狀態(tài)無關,只與控制器參數(shù)相關,因此可以根據(jù)任務指標調整設計參數(shù),在規(guī)定時間內完成任務,更具有工程應用價值。

注2:基于滑模(式(12))所設計的控制器(式(14))針對的模型是編隊誤差系統(tǒng)(式(7)),目的是使系統(tǒng)(式(7))中的變量e1和e2在固定時間內收斂到小區(qū)域內,進而根據(jù)式(7)中e1和e2與ep和ev的關系得出跟蹤誤差epi和evi在固定時間Tt內收斂到區(qū)域Ω2內,即集群中各無人機的速度和位置與其在編隊構型中相應的理想的速度和位置的誤差收斂到區(qū)域Ω2內,最終達到集群無人機在固定時間內完成理想編隊構型的目的。

注3:所設計的控制器(式(14))基于滑模方法,首先證明了滑動模態(tài)在到達段的收斂性,即滑動模態(tài)在固定時間T1內可從空間任意位置到達滑模面s=0的附近小區(qū)域Ω1內。然后證明了滑動模態(tài)在到達段的收斂性,即滑動模態(tài)到達小區(qū)域Ω1后會在固定時間T2內收斂到原點附近的小區(qū)域Ω2內。因此,跟蹤誤差epi和evi最終在Tt內收斂到Ω2內,這意味著每個無人機的位置和速度與其在編隊構型中理想位置和速度之間的誤差在范圍Ω2內,完成了理想的編隊構型。

3 仿真驗證

為了驗證所提出的無人機集群分布式固定時間編隊跟蹤控制算法的有效性,進行如下數(shù)值仿真?？紤]一組由3個無人機和1個虛擬領航者組成的集群系統(tǒng),3個無人機間均可以進行雙工通信。無人機模型(式(1))中的各狀態(tài)變量的初始值取表1中的值,時間常數(shù)τV、τχ和τγ分別取值為3、1.5和1.5。集群中3個無人機都存在相互的機間通信,無人機2與虛擬領航者進行通信。虛擬領航者的初始位置為[0,0,100]T,速度為[22.63,22.63,0]T。編隊的理想位置構型和理想速度構型分別取表1中的值。式(2)中的di=0.001×[sin(t),cos(t),-sin(t)]T。

表1 編隊初始狀態(tài)和參數(shù)

數(shù)值仿真中控制器取式(14)的形式,式(14)中的滑模面取式(12)的形式,其中的參數(shù)選取為α1=β1=0.15,l1=l2=0.5,p1=p2=0.6,g1=g2=9/7,μ=0.1,ku=0.278 5。

數(shù)值仿真結果如圖1～圖6所示。

圖1 集群中無人機的速度、航跡方位角和航跡傾角

圖1為集群中3架無人機的速度、航跡方位角和航跡傾角的變化曲線,可以看出集群中各無人機的速度在7.5 s內與理想值保持一致,航跡方位角和航跡傾角在14 s內與理想值保持一致,說明無人機在固定時間內完成對虛擬領航者的跟蹤。圖2和圖3分別為式(4)中定義的位置跟蹤誤差epi和速度跟蹤誤差evi的變化曲線,可以看出這2種誤差均在14 s內收斂到0,說明集群中無人機在固定時間內實現(xiàn)了理想的編隊構型。圖4為3架無人機從初始時刻0 s到最終時刻100 s的三維飛行軌跡,圖5為3架無人機在最終時刻的航跡俯視圖。由圖4和圖5可以看出集群中的無人機由初始時刻的分散位置形成了最終理想的三角形編隊。圖6為集群的3架無人機在最終時刻形成的三角形編隊陣型的俯視圖。

圖2 集群中無人機的位置跟蹤誤差

圖3 集群中無人機的速度跟蹤誤差

圖4 集群中無人機的飛行軌跡

圖5 集群中無人機最終時刻的航跡(俯視圖)

圖6 集群中無人機的最終編隊陣型(俯視圖)

4 結束語

本文研究了無人機集群的分布式固定時間編隊跟蹤控制問題。針對帶有執(zhí)行器未建模動態(tài)和不確定性的無人機集群系統(tǒng),基于收斂時間獨立于初始狀態(tài)的固定時間終端滑模設計了分布式編隊協(xié)同跟蹤控制器,實現(xiàn)了無人機集群在固定時間內對理想編隊構型的跟蹤。同時設計了補償外部擾動的魯棒項,增強了系統(tǒng)的魯棒性。通過數(shù)值仿真,驗證了所設計控制器的有效性。