羅阿妮,曹紫鶯,劉賀平,馮亞銘,陸金鑫

(哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,哈爾濱 150001)

富勒(R.B.Fuller)最早提出“張拉整體”的概念,因該類結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)、靈活、抗沖擊和可折展等優(yōu)點(diǎn)[1-4],被廣泛應(yīng)用于建筑[5]、機(jī)器人[6]、可展天線[7]等領(lǐng)域,是研究的熱點(diǎn)問題。法國的Motro給出了較為完善的張拉整體結(jié)構(gòu)的定義:張拉整體結(jié)構(gòu)是由一組離散受壓構(gòu)件包含于連續(xù)的受拉構(gòu)件中組成的穩(wěn)定自平衡體系[8-9]。

棱柱式張拉整體結(jié)構(gòu)是最常見的一類, Amendola等[10]對(duì)雙材料棱柱式張拉整體結(jié)構(gòu)新的組裝方式和壓縮響應(yīng)特性進(jìn)行了研究;Zhang等[11]提出利用棱柱式基本單元構(gòu)造一類由桿-桿連接組成的大尺度張拉整體結(jié)構(gòu)的方法;Wang等[12]提出了一種利用4棱柱張拉整體結(jié)構(gòu)變形來實(shí)現(xiàn)機(jī)器人可操縱滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的設(shè)計(jì)方法;Zhang等[13]提出了一個(gè)由4棱柱張拉整體結(jié)構(gòu)和兩個(gè)端板組成的變形模塊并實(shí)現(xiàn)其對(duì)稱/非對(duì)稱部署;張沛等[14]用動(dòng)力松弛法與反分析思想相結(jié)合的方式研究了含冗余拉索的棱柱式張拉整體結(jié)構(gòu)成形過程。結(jié)構(gòu)中存在拉索失效時(shí)會(huì)造成一般張拉整體結(jié)構(gòu)的整體失效,若結(jié)構(gòu)含冗余拉索則會(huì)在一定程度上避免此種情況,因此,含冗余拉索的棱柱式張拉整體結(jié)構(gòu)比一般張拉整體結(jié)構(gòu)抗破壞能力強(qiáng),含冗余拉索的棱柱式張拉整體結(jié)構(gòu)在橋梁建筑、機(jī)械臂等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。

驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)變形的方式主要分為3種:桿驅(qū)動(dòng)、索驅(qū)動(dòng)和桿-索混合驅(qū)動(dòng),由于索驅(qū)動(dòng)可保持桿長不變,保證繩索始終受拉力作用,索驅(qū)動(dòng)具有可控性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn),是最常用的驅(qū)動(dòng)方式[15]。Fraddosio等[16]研究了由主動(dòng)索和被動(dòng)索控制的V形膨脹器的軸向伸縮變化;Chen等[17]提出了節(jié)能索驅(qū)動(dòng)策略,通過區(qū)分主、被動(dòng)索的方式以V形膨脹器為例全面分析了結(jié)構(gòu)的受拉、受壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)和剪切變形。

本文選用索驅(qū)動(dòng)的方式對(duì)含冗余拉索的棱柱式張拉整體結(jié)構(gòu)的變形能力進(jìn)行研究,選出能量耗散最少的驅(qū)動(dòng)方式。因?yàn)楦淖兘Y(jié)構(gòu)形狀是打破原有平衡建立新的平衡,過程涉及結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能分析,現(xiàn)做出如下假設(shè):1)構(gòu)件受力方向僅沿軸向,不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng),無轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;2)材料為線彈性材料,變形范圍內(nèi)截面積保持不變;3)不考慮節(jié)點(diǎn)連接處的摩擦。

1 張拉整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能分析

張拉整體基本單元的拓?fù)涫疽鈭D如圖1所示,各構(gòu)件與節(jié)點(diǎn)相連,所有節(jié)點(diǎn)均勻分布在上、下端面外接圓上,規(guī)則基本單元的上、下端面外接圓的半徑相等,用R表示,基本單元高度為h,端面上相鄰節(jié)點(diǎn)繞圓心的夾角稱為單元內(nèi)轉(zhuǎn)角,用θ表示,當(dāng)基本單元桿構(gòu)件數(shù)為p時(shí),單元內(nèi)轉(zhuǎn)角θ=2π/p,斜索上端面節(jié)點(diǎn)在下端面的投影與斜索下端面節(jié)點(diǎn)繞圓心的夾角為扭轉(zhuǎn)角,用φ表示。

對(duì)于圖1結(jié)構(gòu),有3個(gè)索構(gòu)件和1個(gè)桿構(gòu)件連接于同一節(jié)點(diǎn),在此基礎(chǔ)上,每個(gè)節(jié)點(diǎn)額外連接一條斜索,則形成了含冗余拉索的張拉整體結(jié)構(gòu),其拓?fù)潢P(guān)系如圖2所示。

圖2 含冗余拉索的棱柱式張拉整體結(jié)構(gòu)拓?fù)涫疽釬ig.2 Topological diagram of prismatic tensegrity structure with redundant cables

圖3 含冗余拉索的棱柱式張拉整體基本單元Fig.3 A prismatic tensegrity basic unit with redundant cables

通過節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和構(gòu)件與節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系,可得結(jié)構(gòu)的平衡方程如下:

A1t=W

(1)

式中:A1∈R6p×ne為式(1)的平衡算子,ne為構(gòu)件總數(shù),t∈Rne×1為各構(gòu)件內(nèi)力,W∈R6p×1為作用于節(jié)點(diǎn)上的外載荷。

單個(gè)構(gòu)件的內(nèi)力計(jì)算公式為[18]

(2)

式中:E為構(gòu)件的彈性模量,A為構(gòu)件的截面積,li為第i個(gè)構(gòu)件長度,li0為第i個(gè)構(gòu)件原長,ki為第i個(gè)構(gòu)件的剛度,Δli為第i個(gè)構(gòu)件長度變化量。

張拉整體結(jié)構(gòu)在初始外力w0作用下達(dá)到平衡狀態(tài),表達(dá)式如下:

Kn0n0=w0

(3)

式中:n0為初始坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)矢量矩陣,Kn0為初始剛度矩陣。

當(dāng)改變外載使之變化為dw或改變索長Δl,則會(huì)打破原有平衡狀態(tài)產(chǎn)生一個(gè)新的平衡,新平衡時(shí)滿足如下表達(dá)式:

KTn0(nf-n0)=dw

(4)

式中:KTn0為切線剛度矩陣,nf為結(jié)構(gòu)變形后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)矢量矩陣。

節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的變化量Δn由式(4)可得

(5)

新的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)公式可表示為

nf=n0+Δn

(6)

2 索驅(qū)動(dòng)張拉整體結(jié)構(gòu)變形分析

研究含冗余拉索的棱柱式拼接結(jié)構(gòu)的變形能力,基本單元與拼接結(jié)構(gòu)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Parameters of tensegrity structure

根據(jù)表1所示參數(shù),研究由2個(gè)含冗余拉索的4棱柱基本單元軸向拼接形成張拉整體結(jié)構(gòu)的變形能力,拼接結(jié)構(gòu)的上、下單元桿構(gòu)件均為逆時(shí)針旋向,且上單元下端面節(jié)點(diǎn)與下單元上端面節(jié)點(diǎn)重合,將初始節(jié)點(diǎn)n1與x軸重合,各節(jié)點(diǎn)編號(hào)和索構(gòu)件編號(hào)如圖4所示。

圖4 含冗余拉索的4棱柱軸向拼接結(jié)構(gòu)Fig.4 Axial splice structure with redundant cables

圖4所示的雙層拼接結(jié)構(gòu)中索構(gòu)件與節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系見表2。

表2 索構(gòu)件連接關(guān)系Tab.2 Connection relationship of cables

依據(jù)位置屬性對(duì)索構(gòu)件進(jìn)行分類,見表3。改變主動(dòng)索索長,被動(dòng)索會(huì)隨之發(fā)生變化,最終實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)變形,根據(jù)主、被動(dòng)索的不同對(duì)索組賦值不同的材料屬性,各構(gòu)件材料屬性參照文獻(xiàn)[17],見表4。

表3 索構(gòu)件分類Tab.3 Classification of cables

表4 構(gòu)件材料屬性Tab.4 Material properties of elements

對(duì)棱柱式張拉整體軸向拼接結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形分析,通過收縮被動(dòng)索索長對(duì)結(jié)構(gòu)施加初始預(yù)緊力,可以以此計(jì)算除主動(dòng)索外結(jié)構(gòu)初始耗散的彈性勢能U0為

(7)

結(jié)構(gòu)預(yù)緊后收縮主動(dòng)索使結(jié)構(gòu)發(fā)生變形,獲得主動(dòng)索額外做功Wa為

(8)

(9)

收縮索長,會(huì)打破結(jié)構(gòu)原有平衡形成新的穩(wěn)定構(gòu)型,不同的驅(qū)動(dòng)方式結(jié)構(gòu)變形不同,限制下端面節(jié)點(diǎn)z軸方向的自由度,保證上端面4個(gè)節(jié)點(diǎn)共面的基礎(chǔ)上,研究結(jié)構(gòu)軸向變形與扭轉(zhuǎn)角變形能力,現(xiàn)定義軸向變形性能參數(shù)ε和扭轉(zhuǎn)變形性能參數(shù)ω,參數(shù)ε為整體結(jié)構(gòu)高度變化,參數(shù)ω為結(jié)構(gòu)上端面與下端面繞z軸的轉(zhuǎn)角相對(duì)于整體結(jié)構(gòu)高度的變化,ε、ω的計(jì)算公式分別為:

ε=Δh/H

(10)

ω=γ/H

(11)

式中:Δh為結(jié)構(gòu)變形前、后上端面與下端面形心的高度差,H為拼接結(jié)構(gòu)總高度,γ為上端面與下端面繞z軸的轉(zhuǎn)角變化。

結(jié)合彈性勢能U0、主動(dòng)索做功Wa、軸向變形性能參數(shù)ε和扭轉(zhuǎn)變形性能參數(shù)ω,定義μS和μT的計(jì)算公式分別為:

(12)

(13)

μS、μT的表達(dá)式在包含能量的基礎(chǔ)上又考慮到結(jié)構(gòu)變形,當(dāng)μS(或μT)越小時(shí),結(jié)構(gòu)變形過程中能量耗散越小,結(jié)構(gòu)更易發(fā)生變形,以此選出索驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)變形的最優(yōu)驅(qū)動(dòng)方式。

3 驅(qū)動(dòng)方式對(duì)結(jié)構(gòu)變形的影響分析

選出主、被動(dòng)索,其余索構(gòu)件均為普通索,賦值表4所示的材料屬性,收縮被動(dòng)索索長對(duì)結(jié)構(gòu)施加預(yù)緊力,后收縮主動(dòng)索驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)發(fā)生變形,獲得最終的穩(wěn)定構(gòu)型,通過計(jì)算被動(dòng)索能量耗散值U0、主動(dòng)索能量耗散做功Wa以及變形性能參數(shù)ε、ω,得出能實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)變形的最優(yōu)驅(qū)動(dòng)方式。

3.1 單一軸向變形

現(xiàn)有4種滿足結(jié)構(gòu)單一軸向變形要求的驅(qū)動(dòng)方式,收縮20%被動(dòng)索索長對(duì)結(jié)構(gòu)預(yù)緊,后收縮15%主動(dòng)索索長實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)變形,根據(jù)表1設(shè)置的基本單元高度(h=0.75 m)可以得出2個(gè)基本單元拼接結(jié)構(gòu)的高度H=1.50 m,4種驅(qū)動(dòng)方式下的變形結(jié)果見表5。

表5 單一軸向變形驅(qū)動(dòng)方式與結(jié)果Tab.5 Driving methods and results of single axial deformation

由表5可得,4種驅(qū)動(dòng)方式全部滿足Δh<0,也就是結(jié)構(gòu)是沿軸向被壓縮的,并且,當(dāng)斜索CD為主動(dòng)索、CSH作為被動(dòng)索時(shí),結(jié)構(gòu)的高度變化最大Δh=-0.393 3 m,軸向變形性能參數(shù)ε=-0.262 2,在相同變化高度下耗能最少μS=18.140 0,此種驅(qū)動(dòng)方式對(duì)單一變形(收縮)效果最好。

為清楚表述結(jié)構(gòu)的最低能耗驅(qū)動(dòng)方式,將驅(qū)動(dòng)方式3的索組構(gòu)件可視化,如圖5所示。獲得的變形前、后的結(jié)構(gòu)如圖6所示,圖中虛線為變形前結(jié)構(gòu),實(shí)線為變形后結(jié)構(gòu)。

圖5 軸向收縮的最優(yōu)驅(qū)動(dòng)方式Fig.5 Optimal driving mode of axial shrinkage

圖6 變形前、后結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Structure before and after deformation

由圖6可以看出,結(jié)構(gòu)變“矮胖”,結(jié)構(gòu)的高度發(fā)生了明顯減小。進(jìn)一步,可以得到結(jié)構(gòu)預(yù)緊后,主動(dòng)索作用過程中節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)變化趨勢和各類構(gòu)件內(nèi)力變化趨勢,分別如圖7、8所示。

圖7 預(yù)緊后節(jié)點(diǎn)(n9)坐標(biāo)Fig.7 Nodal coordinate (n9) after prestress

由圖7可以看出,節(jié)點(diǎn)n9的x軸坐標(biāo)和y軸坐標(biāo)基本保持不變,z軸坐標(biāo)隨著迭代步數(shù)的增加而逐漸減小。由圖8可得,結(jié)構(gòu)預(yù)緊后構(gòu)件已具備內(nèi)力,隨著主動(dòng)索索長減小,結(jié)構(gòu)的單個(gè)構(gòu)件內(nèi)力大小逐漸增加,桿構(gòu)件提供支持力,其內(nèi)力大小始終為負(fù)值,索構(gòu)件提供拉力,其內(nèi)力大小始終為正值,并且,對(duì)于3組索構(gòu)件而言,中間水平索的內(nèi)力始終最大。

圖8 預(yù)緊后結(jié)構(gòu)內(nèi)力變化曲線Fig.8 Curve of structural internal force after prestress

3.2 軸向與扭轉(zhuǎn)的復(fù)合變形

棱柱式張拉整體結(jié)構(gòu)最常見的復(fù)合變形是軸向變形與扭轉(zhuǎn)變形的組合,與單一軸向變形的操作方式相同,先收縮20%被動(dòng)索索長對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)緊,后收縮5%主動(dòng)索索長實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)變形,表6為軸向與扭轉(zhuǎn)復(fù)合變形的驅(qū)動(dòng)方式和結(jié)果。

表6 軸向與扭轉(zhuǎn)復(fù)合變形的驅(qū)動(dòng)方式與結(jié)果Tab.6 Driving methods and results of composite axial and torsional deformation

通過對(duì)表6分析可得:

1)驅(qū)動(dòng)方式1的主動(dòng)索為中間水平索CSH,驅(qū)動(dòng)方式2的主動(dòng)索為上、下端面水平索CBH,兩種驅(qū)動(dòng)方式的被動(dòng)索皆為斜索CD,雖然兩種驅(qū)動(dòng)方式的主動(dòng)索不同,但實(shí)現(xiàn)的變形效果基本相同,其高度變化為Δh=-0.060 6 m,相較于表中所列其他驅(qū)動(dòng)方式,驅(qū)動(dòng)方式2能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)的最大扭轉(zhuǎn)變形,最大扭轉(zhuǎn)角γ=35.219 0°。

2)驅(qū)動(dòng)方式3、4的主動(dòng)索分別為與桿構(gòu)件旋向相同的下、上基本單元斜索,被動(dòng)索為剩余斜索構(gòu)件,兩種驅(qū)動(dòng)方式實(shí)現(xiàn)的驅(qū)動(dòng)效果一致,其中μS=112.827 2、μT=-0.685 0,從數(shù)值上看μS遠(yuǎn)大于μT,說明主動(dòng)索為旋向與桿構(gòu)件旋向相同的斜索時(shí)結(jié)構(gòu)更易發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。

3)驅(qū)動(dòng)方式5將驅(qū)動(dòng)方式3、4進(jìn)行疊加,將主動(dòng)索設(shè)置為旋向與桿構(gòu)件旋向相同的斜索,被動(dòng)索為結(jié)構(gòu)中剩余斜索構(gòu)件,但并未實(shí)現(xiàn)高度變化Δh和扭轉(zhuǎn)角變化γ加倍的情況,Δh和γ較驅(qū)動(dòng)方式3、4減小,μS和μT較驅(qū)動(dòng)方式3、4增大,能量耗散大,不利于結(jié)構(gòu)變形。

4)復(fù)合變形的最優(yōu)驅(qū)動(dòng)方式為驅(qū)動(dòng)方式6、7,主動(dòng)索分別為與桿構(gòu)件旋向相反的下、上基本單元斜索,被動(dòng)索為剩余斜索,2種驅(qū)動(dòng)方式實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)變形效果相同:高度變化為Δh=-0.081 7 m,扭轉(zhuǎn)角變化γ=21.727 9°。驅(qū)動(dòng)方式8是驅(qū)動(dòng)方式6、7的疊加,其高度差Δh和扭轉(zhuǎn)角變化γ數(shù)值上較驅(qū)動(dòng)方式6、7減小近乎1/2,在能量耗散方面也較驅(qū)動(dòng)方式6、7差。

最優(yōu)復(fù)合變形驅(qū)動(dòng)方式7如圖9所示,結(jié)構(gòu)變形如圖10所示,虛線與實(shí)線分別表示變形前、后結(jié)構(gòu)。

圖9 復(fù)合變形的最優(yōu)驅(qū)動(dòng)方式Fig.9 Optimal driving mode of composite deformation

圖10 復(fù)合變形前、后結(jié)構(gòu)圖Fig.10 Structure before and after deformation

相應(yīng)地,收縮被動(dòng)索對(duì)張拉整體結(jié)構(gòu)預(yù)緊后,主動(dòng)索作用過程中各類構(gòu)件內(nèi)力變化趨勢和節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)變化趨勢,分別如圖11、12所示。

圖11 復(fù)合變形最優(yōu)驅(qū)動(dòng)方式構(gòu)件內(nèi)力Fig.11 The internal force of the optimal driving mode

由圖11可以看出,各類構(gòu)件內(nèi)力大小始終增加,索構(gòu)件內(nèi)力始終大于0,桿構(gòu)件內(nèi)力小于0,滿足桿受壓力索受拉力的條件。由圖12可得,節(jié)點(diǎn)n9的坐標(biāo)發(fā)生微小變化,z軸和y軸坐標(biāo)有下降趨勢,x軸坐標(biāo)變化不明顯。

圖12 復(fù)合變形最優(yōu)驅(qū)動(dòng)方式節(jié)點(diǎn)(n9)坐標(biāo)Fig.12 Nodal coordinate of the optimal driving mode

4 結(jié) 論

1)對(duì)于雙層拼接結(jié)構(gòu)的單一軸向變形,當(dāng)斜索為主動(dòng)索、中間水平索為被動(dòng)索時(shí),結(jié)構(gòu)的高度變化最大,能量耗散最少,軸向變形的驅(qū)動(dòng)效率最高。

2)對(duì)于雙層拼接結(jié)構(gòu)既產(chǎn)生高度變化又產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變化的復(fù)合變形,當(dāng)上單元或下單元的主動(dòng)索為與桿構(gòu)件旋向相反的斜索、被動(dòng)索為剩余斜索時(shí),能量耗散最少,復(fù)合變形的驅(qū)動(dòng)效率最高。