周建鋒

? 華南師范大學(xué)附屬中學(xué)

1 命題

原創(chuàng)題已知函數(shù)f(x)=ex-1-lnx(其中e=2.718 28……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),過(guò)點(diǎn)(a,b)(a≠0)可作曲線(xiàn)f(x)的兩條切線(xiàn).

(1)請(qǐng)給出a,b應(yīng)滿(mǎn)足的充要條件;

考查目標(biāo):重點(diǎn)考查學(xué)生綜合運(yùn)用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,以及對(duì)新情境問(wèn)題分析理解的能力.

設(shè)計(jì)思路:近幾年全國(guó)及各地高考數(shù)學(xué)卷對(duì)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題考查得比較多,廣大師生對(duì)這類(lèi)題的研究比較深入,難以考查出學(xué)生的實(shí)際能力.2022年全國(guó)Ⅰ卷別出心裁,考查交點(diǎn)問(wèn)題并證明三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列,體現(xiàn)出推陳出新的導(dǎo)向.

本題融入切線(xiàn)問(wèn)題,考查學(xué)生對(duì)切線(xiàn)問(wèn)題的分析能力.f(x)是一個(gè)下凸函數(shù),過(guò)某些平面區(qū)域的點(diǎn)可作兩條切線(xiàn),過(guò)某些平面區(qū)域的點(diǎn)可作一條切線(xiàn),過(guò)某些平面區(qū)域的點(diǎn)沒(méi)有切線(xiàn),這需要學(xué)生進(jìn)行深入分析,并作出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撌?得到a,b應(yīng)滿(mǎn)足的充要條件后,第(2)問(wèn)設(shè)計(jì)了一個(gè)不等式,需要利用第(1)問(wèn)的結(jié)論,將不等式進(jìn)行優(yōu)化,而且優(yōu)化后直接證明也有難度,需要用放縮或分析隱零點(diǎn)等手段進(jìn)一步證明.

2 命題過(guò)程

原始題已知函數(shù)f(x)=ex-1-lnx(其中e=2.718 28……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求f(x)的最小值;

(參考數(shù)據(jù):ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6,ln 5≈1.609 4.)

修改1已知函數(shù)f(x)=ex-1-lnx(其中e=2.718 28……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求f(x)的最小值;

(2)若過(guò)點(diǎn)(a,b)(a≠0)可作曲線(xiàn)f(x)的兩條切線(xiàn),求證:b<2f(a)-a2+2a-1.

(參考數(shù)據(jù):ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6,ln 5≈1.609 4.)

說(shuō)明：通過(guò)這次修改,第(2)問(wèn)需要證明一個(gè)復(fù)雜的不等式ex-1-lnx-x2+2x-1>0,但可以通過(guò)第(1)問(wèn)的結(jié)論,放縮為-x2+2x>0在00的條件,縮小了切線(xiàn)分析的空間,故再次修改.

修改2已知函數(shù)f(x)=ex-1-lnx(其中e=2.718 28……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求f(x)的最小值;

(參考數(shù)據(jù):ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6,ln 5≈1.609 4.)

說(shuō)明：解決了修改2的兩個(gè)問(wèn)題后,題目已經(jīng)比較完善了,但又覺(jué)得第(1)問(wèn)與第(2)問(wèn)沒(méi)有關(guān)聯(lián)性,顯得別扭(僅僅為了給學(xué)生送幾分而已),故修改為刪去第(1)問(wèn),把第(2)問(wèn)分割成兩個(gè)問(wèn)題.

修改3已知函數(shù)f(x)=ex-1-lnx(其中e=2.718 28……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),過(guò)點(diǎn)(a,b)(a≠0)可作曲線(xiàn)f(x)的兩條切線(xiàn).

(1)請(qǐng)給出a,b應(yīng)滿(mǎn)足的充要條件;

(參考數(shù)據(jù):ln 2≈0.693 1,ln 3≈1.098 6,ln 5≈1.609 4.)

說(shuō)明：到第四稿,還是覺(jué)得第(2)問(wèn)的結(jié)構(gòu)不是很完美,證明過(guò)程中過(guò)多地用到一些特殊數(shù)據(jù),所以再次修改,得到最終稿,即本文開(kāi)頭的原創(chuàng)題.

3 試題分析

圖1

解答第(1)(2)問(wèn)的思維導(dǎo)圖如圖 2、圖3所示.

圖2 第(1)問(wèn)思維導(dǎo)圖

圖3 第(2)問(wèn)思維導(dǎo)圖

4 實(shí)測(cè)結(jié)果

本題為2023屆某市四校聯(lián)考?jí)狠S題,滿(mǎn)分12分.我校本題平均分3.07,難度0.26,區(qū)分度0.21.由于整套試卷題目偏難,導(dǎo)致能做到本題的學(xué)生比較少.學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題主要有如下幾個(gè)方面:

(1)運(yùn)算能力不過(guò)關(guān)

②忽略了定義域(0,+∞)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響.

(2)論證不嚴(yán)謹(jǐn)

使用“易得a>0,b

(3)轉(zhuǎn)化能力不足

在第(2)問(wèn)中,少數(shù)學(xué)生沒(méi)有考慮用第(1)問(wèn)的條件進(jìn)行放縮,而是用切線(xiàn)方程將b替換成以?xún)蓚€(gè)切點(diǎn)x1,x2為元的不等式,難以證明.

5 體會(huì)

通過(guò)幾次修改,筆者對(duì)題目的構(gòu)思角度、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、考查素養(yǎng)等方面頗為滿(mǎn)意.首先,對(duì)函數(shù)曲線(xiàn)切線(xiàn)的分析是一個(gè)比較新穎的角度,通過(guò)對(duì)切線(xiàn)條數(shù)的分析,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題,也即函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題,與導(dǎo)數(shù)完美結(jié)合.其次,利用a,b滿(mǎn)足的條件證明一個(gè)雙變量不等式,通過(guò)第(1)問(wèn)的條件進(jìn)行放縮,消去b,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式的證明.要證明指對(duì)數(shù)混合的不等式,需要扎實(shí)的化歸轉(zhuǎn)化基礎(chǔ),對(duì)學(xué)生的應(yīng)變能力是一個(gè)很大的考驗(yàn).Z