魏靖函 鄧方安

(陜西理工大學,陜西 漢中 723001)

隨著社會科技的高速發(fā)展,培養(yǎng)高素質人才以適應社會需求成為教育的重要目標.數(shù)學作為基礎學科,廣泛應用到社會發(fā)展的方方面面,數(shù)學教育不僅能幫助學生掌握基礎知識與基本技能,而且還能培養(yǎng)學生的思維能力.《高中數(shù)學課程標準》中明確提出,高中數(shù)學課程應注意提高學生的數(shù)學思維能力,數(shù)學思維的培養(yǎng)是數(shù)學教育的基本目標之一[1].數(shù)學思維分為數(shù)學抽象思維、數(shù)學形象思維以及數(shù)學直覺思維.其中數(shù)學形象思維作為數(shù)學思維能力的重要基石,對中學生數(shù)學思維能力的提升起著關鍵作用.

1 數(shù)學形象思維的概念

數(shù)學形象思維指以各種形象或表象為支柱的思考和解決數(shù)學問題的思維過程,以達到揭示數(shù)學問題本質的目的,從而進行創(chuàng)造性的教學活動.數(shù)學形象思維的基本形式包含:數(shù)學表象、數(shù)學聯(lián)想和數(shù)學想象.數(shù)學表象是由數(shù)的形象、圖形、圖像、表格、表達式、數(shù)學符號、模型等觀念形象在人腦中復現(xiàn)所形成的,主要呈現(xiàn)為圖形表象和圖式表象兩種基本類型,它是數(shù)學形象思維的基本要素[2].數(shù)學聯(lián)想是指以具體的數(shù)學表象為基礎,聯(lián)系頭腦中已有的數(shù)學表象.數(shù)學想象是指通過數(shù)學聯(lián)想將已有的數(shù)學表象加工成新的數(shù)學形象,使數(shù)學形象思維具有創(chuàng)造性的特點.

2 培養(yǎng)中學生數(shù)學形象思維的重要性

2.1 有助于提高中學生知識水平

法國著名數(shù)學教育家紹蓋認為:一堆沒有親身體驗或視覺形象所支持的概念定義之類的抽象的東西,不能開發(fā)智力,只能關閉思路.數(shù)學概念是進行數(shù)學推理和證明的依據(jù),是數(shù)學學習的基礎,因此數(shù)學概念的教學是數(shù)學教學中最重要的組成部分.數(shù)學概念是不會孤立存在的,任何數(shù)學概念一定是許多相互聯(lián)系的知識網(wǎng)絡上的一個點.數(shù)學形象思維可以加強知識之間的聯(lián)系與相互轉換,優(yōu)化認知結構.例如,在學習多邊形后可以建立如圖1的知識網(wǎng)絡體系,使學生感受數(shù)系的擴充和知識間的聯(lián)系,有助于學生形成良好的概念圖式[3].

圖1 凸多邊(角)形知識導圖

2.2 有助于提高中學生學習積極性

數(shù)學作為基礎學科不僅要提高學生的知識水平,還需調動學生學習積極性.但在大部分中學生眼中數(shù)學是極其抽象、復雜、單調的.因此很多中學生沒有學習數(shù)學的興趣,甚至討厭數(shù)學.如果教師想提高學生學習數(shù)學的興趣,打消學生對數(shù)學學科的偏見,重視學生數(shù)學形象思維的培養(yǎng)可以很好解決此問題.數(shù)學形象思維有助于中學生在頭腦中對數(shù)學知識形成具體表象,便于理解與運用數(shù)學知識.例如在學習平行線的同位角、內錯角時,從學生的實際生活情境出發(fā),利用教室中存在的平行線:窗戶的上下邊框等,向學生展示生活中具體的同位角、內錯角,不僅豐富了學生頭腦中的數(shù)學表象,也提高了學生學習數(shù)學的興趣,將數(shù)學與學生的實際生活聯(lián)系起來.

2.3 有助于提高中學生解決數(shù)學問題的能力

數(shù)學問題的解決是中學階段學生學習的重要內容.影響學生解決數(shù)學問題能力的因素有很多,如對知識、公式、定理的理解,問題解決的思路等.其中問題解決的思路是關鍵.數(shù)學家斯蒂恩認為:如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形,那么思想就整體地把握了問題,并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法.可見把抽象的數(shù)學問題轉化為直觀的數(shù)學形象有助于解題思路的產生,如例1.

例1把表示同一平面內所有模不小于1且不大于2的向量的有向線段的起點移動到0點,則這些有向線段的終點所構成的圖形面積等于多少?

分析此問題并不復雜,解決的關鍵就是把抽象的數(shù)學語言轉化為數(shù)學形象.如圖2,將同一平面內所有模等于1的向量的有向線段的起點移動到0點構成半徑為1的圓,同理可知,模等于2的向量的有向線段的起點移動到0點構成半徑為2的圓,畫出圖像,發(fā)現(xiàn)問題中的有向線段構成的圖形是一個圓環(huán).

圖2 向量圖

解S=π·22-π·12=3π

3 中學生數(shù)學形象思維培養(yǎng)方法

3.1 加強直觀演示,豐富數(shù)學表象

數(shù)學是一門較為抽象的學科,要解決數(shù)學高度抽象性與學生具體形象思維之間的矛盾,重要的是采取直觀教學[3].研究發(fā)現(xiàn),學生對知識的感知大多數(shù)來自于視覺刺激.在教學過程中教師需運用PPT、幾何畫板、GGB等軟件,激發(fā)學生學習興趣,豐富學生的數(shù)學表象.例如在學習直線與圓的位置關系時,運用幾何畫板如圖3,直觀展示直線與圓的三種位置關系:相交、相離、相切,豐富學生數(shù)學表象,促進數(shù)學形象思維能力的提升.

圖3 直線與圓的位置關系展示圖

3.2 創(chuàng)設情境,進行想象

愛因斯坦說:“想象比知識更重要,因為知識是有限的,而想象力概括著世界上的一切,推動著進步并且是知識進化的源泉.”想象是數(shù)學形象思維過程的一個重要環(huán)節(jié),在教學過程中教師可以通過情境創(chuàng)設,豐富學生的形象能力.例如,函數(shù)的概念是高中函數(shù)學習的重要部分,由于函數(shù)概念具有高度的概括性和抽象性,脫離了學生的實際生活,使學生難以理解.因此在教學中,教師從豐富多彩的現(xiàn)實生活出發(fā),展示“復興號”列車路程和時間的關系,工資與一周工作天數(shù)的關系,以及一天內時間和空氣質量指數(shù)的關系.由此引發(fā)學生想象:以上式子有什么特點,它們之間有共同特征嗎?導入函數(shù)的具體概念以及本質屬性.

思維定式是中學生數(shù)學學習的一種常見現(xiàn)象,是指學生按照已有的學習經(jīng)驗和思維方式,用某種固定的思維模式去思考和解決問題.思維定式可以幫助學生在解決同一類數(shù)學問題時,通過不斷的練習和總結,使學生再面對此類型題時可以將其轉化為熟悉的數(shù)學問題情境.思維定式也具有消極影響,學生形成思維定式之后在面對類似的問題時,不善于轉變思維方式以多個角度去分析問題.因此,在數(shù)學解題的教學過程中教師可以打破常規(guī),轉化角度對問題進行思考,一題多解,培養(yǎng)學生的想象能力,促進數(shù)學形象思維能力的提高,如例2.

例2 等差數(shù)列{an}中,a1<0,S9=S12,該數(shù)列前多少項的和最小?

分析本題首先通過已知條件確定數(shù)列是遞增數(shù)列,解法一是常規(guī)解法,通過等差數(shù)列的公式解決問題.解法二是運用等差中項的性質,結合題目條件得出答案,不僅解題過程簡單,還可加強學生綜合運用數(shù)學知識的能力,促進數(shù)學形象思維的發(fā)展.

∵a1<0∴d>0,即等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.

解得10≤n≤11.

∴當n為10或11時,Sn取得最小值,

綜上數(shù)列前10項或前11項的和最小.

∵a1<0∴d>0,即等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.

∵S9=S12,∴a10+a11+a12=3a11=0,∴a11=0.

∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,∴數(shù)列{an}前10項或前11項的和最小.

3.3 注重數(shù)形結合

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:“數(shù)形結合百般好,隔裂分家萬事休.”數(shù)形結合作為一種重要的數(shù)學思想方法,建立了形象思維和抽象思維之間的橋梁,把復雜抽象的數(shù)學語言與數(shù)學關系、直觀的數(shù)學表象連接起來,促進中學生左右腦共同發(fā)展,如例3.

例3已知關于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0,若方程有兩實根,其中一根大于-1且小于0,另外一根大于1且小于2,求m的取值范圍.

分析根據(jù)已知條件畫出一元二次函數(shù)的圖形是解決問題的關鍵.二次項系數(shù)大于零,則函數(shù)圖象開口向上;一元二次方程有兩個實根,則函數(shù)圖象與x有兩個交點,根據(jù)題目畫出大概的函數(shù)圖象,如圖4.

圖4 一元二次函數(shù)圖

綜上,數(shù)學形象思維作為中學生數(shù)學思維的重要基礎,對中學生的數(shù)學學習尤為重要.在教學過程中,教師可通過加強直觀演示,豐富中學生的數(shù)學表象;創(chuàng)設情境,提高學生的想象能力;注重數(shù)形結合來培養(yǎng)中學生數(shù)學形象思維能力.隨著教育改革的不斷深化,越來越多的人關注中學生數(shù)學形象思維能力的培養(yǎng).數(shù)學形象思維作為中學數(shù)學的一種重要的思想方法,其有待研究之處還有很多,豐富數(shù)學形象思維思想方法的研究成果,不僅有助于學生自身的發(fā)展,也有利于數(shù)學其他方面的發(fā)展.