張志剛

摘要：“類比”在高中數(shù)學教學中有著重要的應用價值，是提高學生自主學習能力、發(fā)展學生創(chuàng)造性思維的重要途徑.本文以“等比數(shù)列及通項公式”為例，呈現(xiàn)了類比教學在激發(fā)學生數(shù)學學習興趣、提高學生自主學習能力等方面的優(yōu)勢，以期通過有效的類比發(fā)展學生終身學習能力，將學生培養(yǎng)成為有思想、樂探索、敢創(chuàng)新的新時代的人才.

關(guān)鍵詞：類比教學；學習能力；創(chuàng)造性思維類比旨在將兩個數(shù)學對象進行比較，從而找到它們相同或相似的屬性，進而將探索已知數(shù)學對象的思想、方法、性質(zhì)等遷移至未知對象中，以此化陌生為熟悉，提升學生學習信心，發(fā)展學生自主學習能力［1］.在數(shù)學教學中，類比推理一般分三步：一是尋找相似特征；二是用已知對象的特征推理未知對象的特征，形成猜想；三是驗證猜想.在類比教學中，教師首先要創(chuàng)設(shè)一定的教學情境引導學生進行觀察、比較，尋找兩個對象相似或相關(guān)的屬性，進而通過聯(lián)想、類推、猜想、驗證等過程發(fā)現(xiàn)新知識，掌握新結(jié)論.因此，在數(shù)學教學中，教師要從教學實際出發(fā)，將類比思想運用到數(shù)學教學中去，為學生創(chuàng)造條件和機會讓學生主動、能動地學，讓學生學會學習［2］.同時，通過類比引導學生將新、舊知識建立聯(lián)系，逐漸完善與建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，提高學生的數(shù)學遷移能力.

筆者在教學“等比數(shù)列及其通項公式”時，以學生已有知識、經(jīng)驗為出發(fā)點，引導學生與等差數(shù)列相關(guān)內(nèi)容相類比，取得了較好的效果，現(xiàn)將教學過程呈現(xiàn)給大家，僅供參考.

1教學簡錄1.1教學目標（1） 理解等比數(shù)列的定義及相關(guān)概念，掌握等比數(shù)列通項公式推導的方法；

（2） 能夠靈活應用等比數(shù)列的通項公式解決問題；

（3） 通過類比，進一步感悟從特殊到一般的數(shù)學思想方法，提高學生自主學習能力，培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng).

1.2教學重難點（1） 等比數(shù)列及相關(guān)概念；

（2） 等比數(shù)列通項公式及其公式的推導.

1.3教學過程環(huán)節(jié)1引入主題

問題1：已知數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=2；數(shù)列{b_n}，其中b₁=2.對于任意i、j、m、p∈N*，i+j=m+p，均有a_ib_j=a_mb_p，求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式.

師：請大家思考一下，在探索等差數(shù)列相鄰兩項的關(guān)系時，我們是怎么處理的呢？

生1：先確定公差，然后再確定通項公式.

師：很好，對于數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}，任意相鄰兩項間存在怎樣的關(guān)系呢？

在教師的啟發(fā)和引導下，學生發(fā)現(xiàn)數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}任意相鄰兩項的關(guān)系為a_n+1=2a_n，b_n+1=2b_n.

師：顯然a_n+1=2a_n，b_n+1=2b_n不同于等差數(shù)列的遞推方式，這個就是我們今天要學習的主題—等比數(shù)列.

師：它與我們之前學習的等差數(shù)列有哪些聯(lián)系呢？我們應該如何描述它？如何求它的通項公式呢？

設(shè)計意圖：教師精心創(chuàng)設(shè)問題，引導學生回顧探索求等差數(shù)列通項公式的思路，發(fā)現(xiàn)問題1所描述的任意兩項間的關(guān)系不同于等差數(shù)列的遞推形式，由此點明主題.同時，教師引導學生思考其與等差數(shù)列的聯(lián)系，引導學生與已有知識相類比，為新知探索指明了方向.

環(huán)節(jié)2新知學習

（1） 探究定義

問題2：對于數(shù)列{a_n}，其滿足a_n+1=2a_n，即a_n+1/a_n=2，我們?nèi)绾蚊枋鏊谋举|(zhì)屬性呢？

師：請大家思考我們是如何給等差數(shù)列下定義的，并嘗試給等比數(shù)列下定義？

生2：對于數(shù)列{a_n}，若從第2項起，每一項與它的前一項的比都為一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就是等比數(shù)列.

師：很好，對于這一常數(shù)，是否有什么限定條件呢？

生3：這個常數(shù)應該為非零的常數(shù).

師：補充得很好，對于等比數(shù)列其任意一項都不能為零，即公比不能為零.

在此基礎(chǔ)上，教師給出了等比數(shù)列的完整定義.

師：我們知道常數(shù)列是等差數(shù)列，那么它是否也是等比數(shù)列呢？

生4：不一定，若常數(shù)列中常數(shù)為0，那么它就不是等比數(shù)列.若常數(shù)不為0，那么它是一個公比為1的等比數(shù)列.

設(shè)計意圖：引導學生運用類比思想給等比數(shù)列下定義.為了強調(diào)“公比q為非零常數(shù)”這一條件，教師除了在下定義時加以說明外，還引導學生辨析“常數(shù)列是否為等比數(shù)列”，由此啟發(fā)學生利用反例加以說明，這樣不僅促進了概念的深化，而且為后期利用分類討論思想研究等比數(shù)列的求和公式做鋪墊.

（2） 探究通項公式

師：根據(jù)等比數(shù)列公式可知，問題1中的數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}均為等比數(shù)列，我們應該如何研究其通項公式呢？

生5：在為等比數(shù)列下定義時，我們是結(jié)合的等差數(shù)列，那么在研究等比數(shù)列通項公式時，不妨與等差數(shù)列相類比，從兩者的聯(lián)系出發(fā)，尋找解決問題的方法.

師：非常不錯的想法.請大家先回顧一下，之前我們是如何推導等差數(shù)列的通項公式的呢？對于等比數(shù)列我們又該如何研究呢？

在教師的啟發(fā)和指導下，學生利用累乘的方法推導等比數(shù)列的通項公式為a_n=a₁q^n-1.

師：請大家用表格寫出等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義以及通項公式.（教師展示學生歸納結(jié)果，如表1）表1

設(shè)計意圖：引導學生運用類比思想推導等比數(shù)列的通項公式，讓學生體驗自主探究的樂趣.探究后，教師引導學生利用表格的方式加以表述，以此借助表格的直觀促進舊知的鞏固和新知的深化，幫助學生建構(gòu)完善的認知.

（3） 探究等比中項

問題4：對于等比數(shù)列的等比中項，你認為該如何定義呢？

有了前面的探索經(jīng)驗，學生主動聯(lián)想等差中項的概念，進而通過類比總結(jié)歸納等比中項的定義，即若a，G，b成等比，那么有G²=ab，G就叫做a與b的等比中項.

師：對于如下兩個問題，你能求解嗎？（教師PPT給出問題）

例1求9和25的等差中項A和等比中項G.

例2數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其中a₁=9，a₅=25，求a3的值.

對于問題1，學生根據(jù)公式輕松地給出了答案，在解決問題2時，教師啟發(fā)學生思考a₃取正負值的問題.從學生練習反饋來看，大多學生得到了正確答案，最終解得a₃=15.不過也有少數(shù)學生在解題時犯了難，因此教師決定放慢腳步，讓學生思考“這里的a₃為什么不能為負？”

生6：對于等差數(shù)列有a_m-a_n=（m-n）d，故猜想a_m/a_n=q^m-n.（證明過程略）

師：很好，根據(jù)這一結(jié)論是否可以說明a3取正數(shù)呢？

生7：可以，根據(jù)已知a₅/a₃=a₃/a₁=q²＞0，所以a3取正數(shù).

師：由此你發(fā)現(xiàn)了什么呢？

在教師的啟發(fā)下，學生積極思考、總結(jié)歸納如下結(jié)論：等比數(shù)列{a_n}中的奇數(shù)項{a_2n-1}和偶數(shù)項{a_2n}各項符號相同.

設(shè)計意圖：引導學生與等差數(shù)列相比較，得到等比中項的定義.在例1基礎(chǔ)上，教師設(shè)計了例2，其目的是引導學生通過對比體會等比中項的正負取值問題.學生與等差數(shù)列的性質(zhì)相類比，發(fā)現(xiàn)a_m/a_n=q^m-n，通過驗證、小結(jié)，最終形成結(jié)論，鍛煉了學生的數(shù)學思維，提高了邏輯推理能力，發(fā)展了學生數(shù)學素養(yǎng).

環(huán)節(jié)4練習鞏固

在本環(huán)節(jié)，教師可以先讓學生完善問題1，然后再給出一些與本課內(nèi)容相關(guān)的內(nèi)容，以便借助練習幫助學生鞏固知識、深化知識，促進知識的內(nèi)化.

對于問題1，結(jié)合已知易得b_n+1/b_n=a₂/a₁=2，數(shù)列{b_n}為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故其通項公式為b_n=2ⁿ.數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其通項公式為a_n=2^n-1.

設(shè)計意圖：教師帶領(lǐng)學生回歸問題1，通過問題1的解決提升學生學習信心，并培養(yǎng)學生將問題進行到底的優(yōu)良品質(zhì).另外，教師結(jié)合本班學情精心設(shè)計一些與之相關(guān)的問題，促進知識的深化，提高學生數(shù)學應用能力.

環(huán)節(jié)5課堂小結(jié)

設(shè)計意圖：本課以類比為主旋律，通過類比、猜想、歸納等過程形成了結(jié)論.在該環(huán)節(jié)教師可以引導學生以表格的方式呈現(xiàn)等差數(shù)列和等比數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容，以此通過對比凸顯對象的本質(zhì)屬性，讓學生在理解和記憶的基礎(chǔ)上，可以靈活應用相關(guān)知識解決問題，提高教學有效性.

2教學思考數(shù)學是一門邏輯性較強的學科，數(shù)學知識之間具有一定的關(guān)聯(lián)性.對于一些相似或相關(guān)的問題，教師可以利用類比法進行教學，將已有知識、經(jīng)驗、方法視為新知學習的動力源，通過知識的遷移不僅達到“溫故而知新”的效果，而且可以培養(yǎng)學生思維的自覺性、嚴謹性、深刻性，讓學生的學習能力在觀察、探索、猜想、驗證、歸納的過程中得到穩(wěn)固的發(fā)展，有效提高學生的自主學習能力［3］.

等差數(shù)列和等比數(shù)列是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，兩者有著明顯的聯(lián)系，為此在教學中，教師要利用好這種“聯(lián)系”，通過創(chuàng)設(shè)問題情境引導學生進行深度的探究，以此讓學生通過正確的類比，理解并掌握新知識、新結(jié)論、新方法，提高學生的創(chuàng)新意識，發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維.

總之，在教學中，教師要認真地研讀教材，研究學生，根據(jù)教學實際找到新知的生長點，通過有效的啟發(fā)和引導誘發(fā)學生進行深度的思考，以此發(fā)展學生的思維能力，提高教學的有效性.參考文獻：

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［3］ 沈賽花.問題驅(qū)動下的高中數(shù)學課堂教學實踐途徑［J］.數(shù)學大世界（下旬），2019（12）：40.

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