史記祥 余繼光

(1.江蘇省姜堰第二中學;2.浙江省柯橋中學)

從“函數(shù)綜合性質(zhì)研究關(guān)鍵能力是什么”開始,通過具體微觀案例分析,指明轉(zhuǎn)化點與類型,進行痛點分析,微觀研究最貼近學生的數(shù)學思維認知發(fā)展區(qū),不僅告訴學生函數(shù)綜合性質(zhì)研究的思維過程“是什么”,而且告訴他們“為什么”這樣思考,給學生函數(shù)學習送去思維干貨,提升學生破解函數(shù)綜合性質(zhì)研究的能力.

在研究超越函數(shù)所具有的性質(zhì)時,除了數(shù)形結(jié)合分析討論外,一般離不開導數(shù)工具,即利用導數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì).對于函數(shù)與導數(shù)綜合題,有人把此類問題的難點歸結(jié)為導數(shù)難,實際上是函數(shù)性質(zhì)綜合性強、結(jié)構(gòu)復雜而導致突破難,其中難點(痛點)就是函數(shù)性質(zhì)的邏輯轉(zhuǎn)化,導數(shù)是助力函數(shù)研究的運算工具,通過微觀研究積累經(jīng)驗是一條智慧之路.

1.函數(shù)性質(zhì)問題等價轉(zhuǎn)化關(guān)鍵能力

等價轉(zhuǎn)化涉及到對給定函數(shù)信息的識別,需要準確采集到重要的關(guān)鍵點,最關(guān)鍵的是對給定的信息進行結(jié)構(gòu)判斷,以及對問題的綜合狀態(tài)進行分解轉(zhuǎn)化,一旦在信息識別環(huán)節(jié)、結(jié)構(gòu)判斷環(huán)節(jié)和分解轉(zhuǎn)化環(huán)節(jié)出現(xiàn)數(shù)學思維故障,求解就可能中止并且產(chǎn)生數(shù)學思維痛點.

1.1 信息采集

信息識別意識與采集能力要求學生會根據(jù)問題給定的情境,合理地組織、調(diào)動各種相關(guān)知識與能力,完成關(guān)鍵信息獲取活動,系統(tǒng)化、多層面、多角度地對新信息的進行加工處理,準確把握新信息的實質(zhì),把握新舊信息的聯(lián)系,形成對新信息的準確判斷、分析與評價.

1.2 結(jié)構(gòu)判斷

任何數(shù)學問題都有結(jié)構(gòu),如代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖形結(jié)構(gòu)、三角結(jié)構(gòu)等.結(jié)構(gòu)判斷能力要求學生對問題情境中的關(guān)鍵信息的結(jié)構(gòu)特點進行仔細分析,抓住信息結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)性,把握信息結(jié)構(gòu)的特點,進行有序的邏輯推理,從結(jié)構(gòu)上判斷函數(shù)綜合問題的數(shù)學模型或類型.

1.3 轉(zhuǎn)化分解

函數(shù)綜合問題內(nèi)在一定存在邏輯,根據(jù)結(jié)構(gòu)判斷結(jié)果進行分解轉(zhuǎn)化,將知識與知識之間的關(guān)系理解透徹,常規(guī)的分解轉(zhuǎn)化要熟練,創(chuàng)新的分解轉(zhuǎn)化要積累經(jīng)驗.

對于函數(shù)綜合問題,以上三點相互關(guān)聯(lián),缺一不可,要通過積累與訓練加以掌握.

2.例談函數(shù)性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化關(guān)鍵能力之策

微觀研究函數(shù)綜合問題,必須通過實例剖析來豐富關(guān)鍵能力的積累,問題求解產(chǎn)生痛點的根本原因在于沒有掌握函數(shù)綜合問題信息采集、結(jié)構(gòu)判斷、分解轉(zhuǎn)化能力,通過數(shù)學輔導發(fā)現(xiàn)學生思維痛點,以學生思維痛點為案例分析把握各轉(zhuǎn)化點的內(nèi)在聯(lián)系,豐富學生的函數(shù)性質(zhì)研究的思維鏈接.

2.1 函數(shù)單調(diào)性、極值與導數(shù)(方程)轉(zhuǎn)化

【例題1】已知函數(shù)f(x)=-x2+ax-ln(x+1).

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值,求實數(shù)a的取值范圍.

(第一個轉(zhuǎn)化點:單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為一階導數(shù)小于或等于0恒成立)

(第二個轉(zhuǎn)化點:恒成立轉(zhuǎn)化為變參分離后,求函數(shù)的最值)

故a+2≤3,a≤1.

(第三個轉(zhuǎn)化點:函數(shù)存在極大值與極小值轉(zhuǎn)化為導函數(shù)對應的方程有兩個不相等的實根)

函數(shù)f(x)既存在極大值又存在極小值,故f′(x)=0在(-1,+∞)上有兩個不相等的實根,

即-2x2+(a-2)x+a-1=0在(-1,+∞)上有兩個不相等的實根.

(第四個轉(zhuǎn)化點:二次方程有兩個不相等的實根轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布充要條件)

由二次方程根的分布的充要條件,

【痛點剖析】(1)通過課堂學習,第一個轉(zhuǎn)化點一般都能通過;第二個轉(zhuǎn)化點有些技術(shù)與技巧,許多學生知道變參分離,但不會在結(jié)構(gòu)上去分析,尋找變參分離的最優(yōu)化;

(2)第三個轉(zhuǎn)化點是對導函數(shù)對應的方程的轉(zhuǎn)化,抬高了一個層次,有些學生可能想不到;

(3)第四個轉(zhuǎn)化點對二次方程根的分布類型掌握不全或缺少完整性,導致列充要條件時,缺少某一個而失誤,這是一個看似簡單但錯誤率比較高的轉(zhuǎn)化點.

2.2 函數(shù)不等式、存在性與導數(shù)轉(zhuǎn)化

【例題2】已知函數(shù)f(x)=x+sinx,若存在x∈[0,π],使不等式f(xsinx)≤f(m-cosx)成立,則實數(shù)m的最小值為

( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

【答案】A

【解析】存在x∈[0,π],使不等式f(xsinx)≤f(m-cosx)成立,

(第一個轉(zhuǎn)化點:利用導數(shù)判斷單調(diào)性,即去掉抽象函數(shù)f的“外衣”)

f(x)=x+sinx,f′(x)=1+cosx≥0,f(x)在R上為增函數(shù),

所以存在x∈[0,π],使不等式xsinx≤m-cosx成立,

即存在x∈[0,π],使不等式xsinx-m+cosx≤0成立,

(第二個轉(zhuǎn)化點:函數(shù)存在性轉(zhuǎn)化為值域,這是關(guān)鍵的一個等價轉(zhuǎn)化)

即(xsinx+cosx-m)min≤0,

令g(x)=xsinx+cosx-m,即求g(x)的最小值.

(第三個轉(zhuǎn)化點:函數(shù)最值轉(zhuǎn)化利用導數(shù)工具分析函數(shù)單調(diào)性)

(第四個轉(zhuǎn)化點:函數(shù)最小值轉(zhuǎn)化判斷區(qū)間端點函數(shù)值大小)

g(x)min=min{g(0),g(π)}=min{1-m,-1-m}=-1-m≤0,

m≥-1,故選A.

【痛點剖析】(1)第一個轉(zhuǎn)化點就有許多學生過不了關(guān),剝?nèi)秃虾瘮?shù)最外層,要通過外層函數(shù)單調(diào)性來實施,這是對單調(diào)性定義的三種形式的理解,許多學生只會背單調(diào)性定義的基本形式,另兩種表現(xiàn)形式想不到或不會用;

(2)第二個轉(zhuǎn)化點也有少數(shù)學生不知,對于“恒成立問題” “存在性問題”的區(qū)別不知道;

(3)第三個轉(zhuǎn)化點是函數(shù)最值的基本思路;

(4)第四個轉(zhuǎn)化點是對函數(shù)整體的把握,最小值點發(fā)生在區(qū)間端點處,許多學生在這幾個轉(zhuǎn)化點鏈接處思維受阻.

2.3 函數(shù)與方程性質(zhì)利用數(shù)與形轉(zhuǎn)化

(Ⅰ)若b=1,且f(x)是減函數(shù),求a的取值范圍;

圖1

(第三個轉(zhuǎn)化點:二次方程有兩解轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布的充要條件)

(第五個轉(zhuǎn)化點:如圖2,兩個不同交點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關(guān)系)

圖2

【痛點剖析】(1)此問題沒有用到導數(shù),但是一道函數(shù)綜合問題的難題,難在分段函數(shù)、絕對值函數(shù)與雙參形式上.第一個轉(zhuǎn)化點非常重要,對于一個分段函數(shù)的單調(diào)性,其充要條件要滿足子區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性與分段點處函數(shù)值的大小關(guān)系;

(2)第二個轉(zhuǎn)化點是復雜方程三個解的綜合分解,許多學生過不了這一關(guān);

(3)對于參數(shù)范圍的分類討論也是一個痛點,第三個和第四個轉(zhuǎn)化點是二次方程根的分布,第五個轉(zhuǎn)化點從形上尋找充要條件更是學生的思維痛點.

2.4 函數(shù)性質(zhì)利用補集思想轉(zhuǎn)化

(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上不單調(diào),求實數(shù)a的取值范圍;

【解析】(Ⅰ)(第一個轉(zhuǎn)化點:f(x)在(1,+∞)上不單調(diào)轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)思考,然后求參數(shù)補集)

所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)時,實數(shù)a的取值范圍為(-∞,0]∪[1,+∞),

因此f(x)在(1,+∞)上不單調(diào),實數(shù)a的取值范圍是(0,1).

(Ⅱ)(第二個轉(zhuǎn)化點:證明函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)單調(diào)性)

因為x>1,所以F′(x)<0,即F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

(第三個轉(zhuǎn)化點:由函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小關(guān)系)

【痛點剖析】(1)“不單調(diào)”信息提示,第一個轉(zhuǎn)化點就非常重要,補集思想的運用,許多學生想不到;

(2)第二個轉(zhuǎn)化點是常規(guī),證明函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的研究;

(3)第三個轉(zhuǎn)化點與函數(shù)單調(diào)性相匹配.

2.5 恒成立轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)最值

【例題5】已知f(x)=x2-4x+alnx.

(Ⅰ)a=-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2(x10恒成立,試求m的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)a=-1,f(x)=x2-4x-lnx,x>0.

(第一個轉(zhuǎn)化點:求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f(x)的導數(shù))

(第二個轉(zhuǎn)化點:函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2(x1

所以g(x)單調(diào)遞減,g(x)>g(1)=-3,

【痛點剖析】(1)第一個轉(zhuǎn)化點是常規(guī)的,起點比較低,大多數(shù)學生都能通過;

(2)第二個轉(zhuǎn)化點也是常規(guī)的,函數(shù)有兩個極值點到二次方程有兩解,導數(shù)只是一個工具;

(3)第三個轉(zhuǎn)化點雖是常規(guī),但有數(shù)據(jù)處理技巧,為后續(xù)運算簡化打下基礎(chǔ).

2.6 函數(shù)結(jié)構(gòu)變形求最值

(第一個轉(zhuǎn)化點:求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f(x)的導數(shù))

(Ⅱ)(第二個轉(zhuǎn)化點:x1,x2(x2

(第三個轉(zhuǎn)化點:兩元函數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù))

(第四個轉(zhuǎn)化點:函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為導函數(shù)性質(zhì)分析)

【痛點剖析】(1)第一個轉(zhuǎn)化點已經(jīng)是學生比較熟練的,可以通過了,如果再錯,就是基礎(chǔ)太弱了;

(2)第二個轉(zhuǎn)化點是近期考試熱點類型,上面有幾題也類似;

(3)第三個轉(zhuǎn)化點是關(guān)鍵,具有兩元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的意識與能力是非常重要的.

3.突破“等價轉(zhuǎn)化”關(guān)鍵能力的思維鏈

總體上,學生經(jīng)過教師的指導已經(jīng)知道許多等價轉(zhuǎn)化的方向,但是在問題求解中還是處處思維受阻,其根本原因在于缺少數(shù)學思維鏈接,從信息A到信息B的刺激力不夠.

函數(shù)性質(zhì)學習要從獨立的知識點轉(zhuǎn)向思維鏈接點,訓練自己的發(fā)散性思維能力.