本刊編輯部

【原創(chuàng)創(chuàng)新試題組】

【原創(chuàng)1】在孟德爾遺傳理論中,D為顯性遺傳因子,d為隱性遺傳因子,則稱DD,Dd為顯性個(gè)體,dd為隱性個(gè)體,用基因型為Dd的小麥進(jìn)行連續(xù)自由交配并逐代淘汰隱性個(gè)體,an為Fn(子n代)顯性個(gè)體中雜合子的比例,其可用列舉法或配子法進(jìn)行計(jì)算.比如:

列舉法計(jì)算F1的基因型:

DdDd14DD,12Dd,12dd子一代淘汰隱性個(gè)體后基因型為14DD,24Dd子一代顯性個(gè)體中,雜合子比例a1=23

配子法計(jì)算F1的基因型:

12D12d12D14DD14Dd12d14Dd14dd子一代淘汰隱性個(gè)體后基因型為14DD,12Dd子一代顯性個(gè)體中,雜合子比例a1=23

(Ⅰ)計(jì)算a2的值;

(Ⅱ)求an的通項(xiàng)公式;

(Ⅲ)一批小麥中有子六代、子七代、子八代顯性個(gè)體,其比例為2∶3∶5,現(xiàn)從中取一個(gè)麥子,如果它是雜合子,計(jì)算它是子八代的概率.

【原創(chuàng)2】已知{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,滿足b1=2a1=2,b2=2a2,a3+b3=11.

(Ⅰ)求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

【答案詳解及創(chuàng)新點(diǎn)分析】

【原創(chuàng)1】

【解題思路】本題前兩問主要依靠生物學(xué)中的列舉法和配子法找出數(shù)列{an}的遞推公式,根據(jù)數(shù)列的遞推公式的結(jié)構(gòu)特征找出隱藏的等差數(shù)列,從而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;或者依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法求解數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.本題的第三問主要考查全概率公式和貝葉斯公式,以實(shí)際問題為背景,以數(shù)學(xué)為工具進(jìn)行求解.

【解析】(Ⅰ)解法一:列舉法

13DD23Dd13DD19DD19DD,19Dd23Dd19DD,19Dd19DD,29Dd,19dd子二代淘汰隱性個(gè)體后基因型為49DD,49Dd子二代顯性個(gè)體中,雜合子比例a2=12

解法二:配子法

23D13d23D49DD29Dd13d29Dd19dd子二代淘汰隱性個(gè)體后基因型為49DD,49Dd子二代顯性個(gè)體中,雜合子比例a2=12

(Ⅱ)解法一:列舉法

(1-an-1)DDan-1Dd(1-an-1)DD(1-an-1)2DD(1-an-1)an-12DD,(1-an-1)an-12Ddan-1Dd(1-an-1)an-12DD,(1-an-1)an-12Dda2n-14DD,a2n-12Dd,a2n-14dd子n代淘汰隱性個(gè)體后基因型為a2n-14-an-1+1()DD,an-1-a2n-12()Dd子n代顯性個(gè)體中,雜合子比例an=2an-12+an-1

解法二:配子法

2-an-12Dan-12d2-an-12D2-an-12()2DDan-1(2-an-1)4Ddan-12dan-1(2-an-1)4Dda2n-14dd子n代淘汰隱性個(gè)體后基因型為2-an-12()2DD,an-1(2-an-1)2Dd子n代顯性個(gè)體中,雜合子比例an=2an-12+an-1

解法三:數(shù)學(xué)歸納法(拓展)

假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),①式成立,

當(dāng)n=k+1時(shí),

k+1k+2D1k+2dk+1k+2Dk+1k+2()2DDk+1(k+2)2Dd1k+2dk+1(k+2)2Dd1(k+2)2dd子n代淘汰隱性個(gè)體后基因型為k+1k+2()2DD,2(k+1)(k+2)2Dd子n代顯性個(gè)體中,雜合子比例an=2k+3

則當(dāng)n=k+1時(shí),①式成立.

(Ⅲ)設(shè)事件A1:麥子為第六代顯性個(gè)體,事件A2:麥子為第七代顯性個(gè)體,事件A3:麥子為第八代顯性個(gè)體,事件B:任取一個(gè)為雜合子,則

【創(chuàng)新點(diǎn)分析】題干材料設(shè)置:題干改變傳統(tǒng)跨學(xué)科試題中出現(xiàn)的冗長、生硬、脫離實(shí)際、難懂等問題,以經(jīng)典的孟德爾遺傳理論為背景,將生物學(xué)中通過找規(guī)律得出的結(jié)論進(jìn)行設(shè)問;

設(shè)問考查角度:本題問題主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用生物知識(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟鉀Q數(shù)學(xué)問題的能力以及通過生物的已知結(jié)論,借助數(shù)學(xué)歸納法求出通項(xiàng)公式的能力.其次,考查學(xué)生將實(shí)際生活中生物學(xué)與概率學(xué)統(tǒng)一運(yùn)用的能力.

【題型選擇】本題主要考查生物學(xué)與數(shù)學(xué)的綜合運(yùn)用能力,設(shè)定為解答題.

【考查維度】運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模.

(原創(chuàng)命題人:劉蕓 長沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué))

【試題評語】本題以孟德爾遺傳理論為背景,考查學(xué)生閱讀理解與學(xué)科交叉運(yùn)用的能力,主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)學(xué)歸納法、全概率公式和貝葉斯公式,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng),難度較大.

(評語教師姓名、單位:魏清泉 青島市教育科學(xué)研究院)

【原創(chuàng)2】

又函數(shù)f(x)=x+4x在R上單調(diào)遞增,且f(1)=5,則d=1,有q=2.

因此,{an}的通項(xiàng)公式為an=1+(n-1)×1=n,{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2·2n-1=2n.

【創(chuàng)新點(diǎn)分析】(1)由于給定的已知條件是等差數(shù)列與等比數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系,自然而然地就想到設(shè)首項(xiàng)、公差(或公比),利用方程組思想,通過計(jì)算求得{an},{bn}的通項(xiàng)公式,但此題第(Ⅰ)問的方程組求解與以往有所不同,最后得到的方程為d+4d=5,只能利用函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算求得.

(3)只有熟練掌握放縮的原則,運(yùn)用合適的方法,才能夠得出正確結(jié)論,完成解題目標(biāo).因此,我們在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,大家要學(xué)會(huì)總結(jié)與反思,使自己的思維能夠深化,能夠準(zhǔn)確放縮,當(dāng)放的過大(小)時(shí),能迅速調(diào)整放縮不等式,完成解題目標(biāo).

(4)放縮要恰當(dāng),這不是一天兩天的功夫就能練成的,必須學(xué)會(huì)觀察、嘗試、反思、積累才能達(dá)到熟能生巧的目的,所以不等式的放縮要注意“度”,并不是要把每一項(xiàng)都放縮,要具體情況具體分析,有的是全部放縮,有的第一項(xiàng)不放縮,有的前兩項(xiàng)不放縮,所以反復(fù)嘗試、比較進(jìn)行調(diào)整.

【評分標(biāo)準(zhǔn)】第(Ⅰ)問6分,計(jì)算出d=1和q=2各得2分,寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式得2分;第(Ⅱ)問6分,能放縮得3分,后面的計(jì)算求和得3分.

【方法技巧】

1.數(shù)列不等式的證明是高考數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),在高考中屢見不鮮,同時(shí)也給考生帶來了不小的麻煩.在數(shù)列不等式證明題中,放縮法是典型的處理方法之一.由于放縮法的靈活多變性和技巧性,多數(shù)學(xué)生在遇到這類問題時(shí)手足無措,少數(shù)同學(xué)能動(dòng)筆,解題效率比較低.實(shí)踐表明,“放大一點(diǎn)過大,縮小一點(diǎn)嫌小”,可見,在數(shù)列不等式證明中對放縮法“度”的把握至關(guān)重要.本題依據(jù)對數(shù)列不等式左右兩邊結(jié)構(gòu)和實(shí)際數(shù)據(jù)的分析,破解放縮法在數(shù)列不等式證明題中對“度”的控制,使大家真正體會(huì)放縮法也是“有法可依”的,揭開其神秘面紗.

2.證明不等式時(shí),有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小,使其化繁為簡,化難為易,達(dá)到證明的目的,這種方法稱為放縮法.

3.放縮的常見技巧:

4.放縮法在數(shù)列不等式證明中主要有兩種技巧.技巧一:先求和再放縮;技巧二:先放縮(等差數(shù)列、等比數(shù)列、差比數(shù)列、裂項(xiàng)相消數(shù)列)再求和.

【方法示范】

方法一:先求和再放縮使用情景數(shù)列通項(xiàng)化簡變形后求和比較方便(可以是等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和、錯(cuò)位相減、分組求和、倒序相加、裂項(xiàng)相消求和等)解題步驟先對通項(xiàng)進(jìn)行化簡變形,再對數(shù)列求和,再對最后的和式進(jìn)行放縮,完成解題目標(biāo)

(原創(chuàng)命題人:歐陽才學(xué) 長沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué))

【試題評語】這是一道數(shù)列題,主要考查了邏輯推理能力.第(Ⅰ)問較為常規(guī),考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求解;第(Ⅱ)問考查了利用“放縮”證明數(shù)列不等式,思維含量較高.

【編者按】本專欄試題由教研團(tuán)隊(duì)基于多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和高考研究成果命制而成.所選試題緊密結(jié)合《中國高考評價(jià)體系》的“一核、四層、四翼”,契合高考改革動(dòng)態(tài),導(dǎo)向明確.試題的全能解析一方面剖析解題思路,使學(xué)生步步深入理解試題的內(nèi)涵,知其然且知其所以然,系統(tǒng)掌握學(xué)科知識(shí),鍛煉靈活開放的辯證思維;另一方面深入細(xì)致地分析考查重點(diǎn)、點(diǎn)明試題亮點(diǎn)、闡釋解題要點(diǎn),引導(dǎo)廣大師生理解和把握試題命題的依據(jù)和標(biāo)準(zhǔn),準(zhǔn)確識(shí)變、科學(xué)應(yīng)變、主動(dòng)求變,不斷夯實(shí)學(xué)科關(guān)鍵能力、提升學(xué)科核心素養(yǎng).