陳將宏，徐彬，何長民

（三峽大學(xué)電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

0 引言

在電力系統(tǒng)中，小擾動穩(wěn)定是一項(xiàng)重要指標(biāo)，它能夠體現(xiàn)電力系統(tǒng)在經(jīng)受小擾動后能否繼續(xù)同步運(yùn)轉(zhuǎn)。常規(guī)小擾動穩(wěn)定分析以系統(tǒng)在某一確定運(yùn)行點(diǎn)處的線性化模型和特征值分析法為基礎(chǔ)，屬于確定性分析范疇［1-3］。但在實(shí)際電力系統(tǒng)中，大多數(shù)系統(tǒng)輸入變量具有隨機(jī)性，而部分變量具有相關(guān)性。常規(guī)的確定性分析難以把系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定進(jìn)行全面的分析。因此，需要針對不確定因素進(jìn)行概率性分析，得到小干擾穩(wěn)定評估指標(biāo)。

將概率方法引入電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析是Burchett 在1977 年提出的［4］，小擾動穩(wěn)定概率分析的重點(diǎn)是根據(jù)輸入隨機(jī)參數(shù)的分布，確定系統(tǒng)振蕩模式的分布特征，進(jìn)而計(jì)算出如下數(shù)據(jù)：隨機(jī)輸出變量（如特征值均值、標(biāo)準(zhǔn)差），用于確保電力系統(tǒng)對小擾動的穩(wěn)定性。目前，小擾動穩(wěn)定分析方法有：蒙特卡羅法［5］、點(diǎn)估計(jì)法［6-7］、隨機(jī)響應(yīng)面法［8-9］等。其中，蒙特卡羅法計(jì)算量大、所需時間長，主要運(yùn)用于算法檢驗(yàn)，在本文中用于與提出的無跡變換法作對比。點(diǎn)估計(jì)法是通過已知輸入變量樣本估計(jì)整體的方法。隨機(jī)響應(yīng)面法適用范圍較窄，需要先將非正態(tài)分布輸入變量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使其服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布再進(jìn)行分析。

無跡變換法［10］是英國學(xué)者Julier 提出的，用于解決非線性變換問題，該方法只需已知樣本的均值及協(xié)方差，即可有效處理隨機(jī)變量。根據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)，該方法已應(yīng)用于解決概率潮流及概率最優(yōu)潮流［11-16］、電壓穩(wěn)定［17］等方面的問題，且得到優(yōu)良的效果，但在小擾動穩(wěn)定方面的研究較為缺乏?；跓o跡變換法的適用條件較廣泛、精度較高的特點(diǎn)，可以得出該方法在小擾動穩(wěn)定的概率分析中適應(yīng)性較強(qiáng)的結(jié)果。

針對現(xiàn)有研究的不足，本文提出一種基于無跡變換法的電力系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定概率分析方法。首先根據(jù)各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)注入有功功率的均值及協(xié)方差，采樣得到Sigma樣本點(diǎn)，再通過仿真篩選出系統(tǒng)振蕩模式的特征值。最后，根據(jù)各個Sigma 采樣點(diǎn)的不同權(quán)重大小，得到系統(tǒng)振蕩模式特征值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)合小擾動穩(wěn)定評估指標(biāo)對小擾動穩(wěn)定進(jìn)行分析。

1 隨機(jī)因素的概率模型

通過非線性方程組刻畫的電力系統(tǒng)為：

式中：t為時間；x為狀態(tài)變量，表征系統(tǒng)中元件的動態(tài)特性；z為代數(shù)變量；p為參數(shù)變量，如有功功率的注入等。

在平衡點(diǎn)（x0，z0）將方程組（1）進(jìn)行線性化得到：

消去代數(shù)變量得到：

式中：A為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；依據(jù)李雅普諾夫第一法［18］，系統(tǒng)在經(jīng)受小擾動后穩(wěn)定的條件是：A中特征值實(shí)部不為零或者是正數(shù)。

本文考慮的是負(fù)荷水平的隨機(jī)性，而由于實(shí)際系統(tǒng)的檢測誤差，負(fù)荷有功功率參數(shù)預(yù)測有偏差。文獻(xiàn)［6，19］考慮有功負(fù)荷服從正態(tài)分布，分別通過點(diǎn)估計(jì)和概率分配法，對電力系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定進(jìn)行概率分析，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性。文獻(xiàn)［20］將安全域方法應(yīng)用于含風(fēng)電的電力系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定的概率分析，計(jì)及了有功負(fù)荷服從正態(tài)分布，結(jié)果表明所提方法能有效減少小擾動穩(wěn)定概率分析的計(jì)算負(fù)擔(dān)。

因此有功負(fù)荷在仿真計(jì)算中作為隨機(jī)變量，近似認(rèn)為服從正態(tài)分布，則可以得到負(fù)荷概率密度函數(shù)為：

式中：Pd為負(fù)荷有功功率；μ為負(fù)荷期望；σ為標(biāo)準(zhǔn)差。

2 基于無跡變換法的小擾動穩(wěn)定概率分析

2.1 無跡變換法的基本思路

已知輸入變量x在計(jì)算后得到均值μx及協(xié)方差Cxx，按照特定的采樣規(guī)則選擇一組Sigma 樣本點(diǎn)。然后對每個樣本點(diǎn)進(jìn)行非線性變換得到y(tǒng)，最后對求得的小擾動穩(wěn)定指標(biāo)集{yi}加權(quán)，計(jì)算出輸出變量y的均值μy和協(xié)方差Cyy?；驹砣鐖D1所示。

圖1 無跡變換基本原理Fig.1 Basic principle of unscented transformation

無跡變換法的求解步驟如下。

1）若x為k維變量，則均值μx為k維列向量，協(xié)方差Cxx為k階方陣。使用特定的采樣策略所得到的輸入變量的Sigma樣本點(diǎn)集為：

式中：χi為Sigma樣本點(diǎn)集；N為樣本點(diǎn)數(shù)量。

2）對所有Sigma 樣本點(diǎn)集{χi}的每種采樣狀態(tài)，進(jìn)行非線性變換fUT(·)，得到{yi}。

3）根據(jù)權(quán)重分配，非線性變換后得到的點(diǎn)集{yi}，在加權(quán)計(jì)算后得到輸出變量y的均值和協(xié)方差分別為：

2.2 無跡變換法的采樣策略

無跡變換法的采樣策略在整個算法中十分關(guān)鍵，各種采樣策略的使用會取得不同輸出樣本點(diǎn)集的數(shù)量和權(quán)重，適當(dāng)?shù)牟蓸硬呗钥梢杂行У靥岣哂?jì)算效率和精度?，F(xiàn)有文獻(xiàn)提到的樣本點(diǎn)采樣策略有：對稱采樣、最小偏度單形采樣、超球體單形采樣等。相比之下，對稱采樣的樣本點(diǎn)分布均勻，在小擾動穩(wěn)定概率分析中性能和精度較好，因此采用對稱采樣。此外，本文需要求解的是特征根的均值和協(xié)方差等參數(shù)，要求采樣后能全面涵蓋樣本集的效果明顯，采用的是低階采樣策略。

本文根據(jù)文獻(xiàn)［10］引入比例信息參數(shù)α以及高階信息參數(shù)β，經(jīng)過上述的采樣，可以得到的樣本點(diǎn){χi}為：

式中：α為比例參數(shù)；W0為均值處Sigma 點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)；Cxx(i)為矩陣中k維向量的第i個元素。

由式（10）可以看出，2k+1 個Sigma 樣本點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)滿足只要改變W0的值，就能改變各Sigma采樣點(diǎn)到均值點(diǎn)的間距。

式中：β為高階信息參數(shù)；若沒有根據(jù)文獻(xiàn)引入高階信息參數(shù)β，則

2.3 基于無跡變換法的小擾動穩(wěn)定概率分析步驟

本文使用無跡變換法分析電力系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定，振蕩模式的特征值表示為電力系統(tǒng)中隨機(jī)輸入變量x的函數(shù)，其中x為系統(tǒng)中各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的注入有功功率。則基于無跡變換法的小擾動穩(wěn)定概率分析的步驟如圖2所示。

圖2 基于無跡變換法的小擾動穩(wěn)定概率分析步驟Fig.2 Steps of probability analysis of small disturbance stability based on unscented transformation method

可以看出通過較少的計(jì)算可得到待求特征值的均值、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)信息。相較于蒙特卡羅等算法，計(jì)算量和仿真時間上有顯著減少。

3 基于無跡變換法的小擾動穩(wěn)定仿真

3.1 節(jié)點(diǎn)有功負(fù)荷的抽取

根據(jù)上述模型中有功負(fù)荷服從正態(tài)分布，可以設(shè)某一結(jié)點(diǎn)j的注入有功功率Pj服從均值μj及標(biāo)準(zhǔn)差σj的正態(tài)分布。采用文獻(xiàn)［21］近似逆變換法，在［0，1］之間生成均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列R，通過計(jì)算得出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量Xj。具體步驟如下。

1）正態(tài)密度分布曲線下的面積Q(m)，其對應(yīng)的m可由式（13）計(jì)算得到。

其中Q可由式（16）得到。

2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)X表示為：

因此，某一節(jié)點(diǎn)j的注入有功功率Pj表示為：

式中Xj為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量。

考慮其他元件參數(shù)也可以使其服從正態(tài)分布，采用式（18）進(jìn)行計(jì)算。

3.2 小擾動穩(wěn)定評估指標(biāo)

系統(tǒng)狀態(tài)矩陣中，特征值λi對應(yīng)第i個模式，則在小擾動穩(wěn)定性分析中，各個模式由不同的特征值決定。對于實(shí)數(shù)特征值，一個負(fù)實(shí)數(shù)特征值表示系統(tǒng)穩(wěn)定，而正實(shí)數(shù)表示非周期性不穩(wěn)定。其中負(fù)實(shí)數(shù)特征值體現(xiàn)的是振蕩模式的衰減速度，絕對值越大，說明速度越快［22-23］。

對于復(fù)數(shù)特征值，一對復(fù)數(shù)特征值是一對共扼值，代表了一個振蕩模式。特征值的實(shí)部對系統(tǒng)振蕩的阻尼比影響較大，虛部能計(jì)算出系統(tǒng)的振蕩頻率。

式中：λ為一對復(fù)數(shù)共軛特征值；ω為振蕩的角頻率；η為特征值實(shí)部，η＞0 表示增幅振蕩，η＜0表示衰減振蕩；f為振蕩頻率；ξ為阻尼比，當(dāng)0 ＜ξ＜0.03 時，對應(yīng)弱阻尼振蕩模式，當(dāng)ξ＞0.03時，系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定且具有較好的阻尼特性。因此，由計(jì)算可以得出以下小擾動穩(wěn)定評估指標(biāo)。

1）系統(tǒng)特征值的均值、標(biāo)準(zhǔn)差等。可根據(jù)詳細(xì)問題，例如本文考慮的是遭受微小擾動后的穩(wěn)定性，則選取部分特征值（如低頻振蕩模式特征值等）的數(shù)字特征。

2）其他派生指標(biāo)。由系統(tǒng)特征值可計(jì)算阻尼比均值的系統(tǒng)特征參數(shù)。

4 算例分析

本文采用美國西部聯(lián)合電力系統(tǒng)IEEE 3 機(jī)9 節(jié)點(diǎn)的系統(tǒng)作為分析算例，利用MATLAB中PSAT軟件進(jìn)行小擾動穩(wěn)定性的概率分析。系統(tǒng)接線圖如圖3所示。

圖3 3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)接線圖Fig.3 Diagram of a 3-generator 9-bus system

從圖3中可以看出，該系統(tǒng)包含3臺發(fā)電機(jī)、9個節(jié)點(diǎn)和3 個負(fù)荷節(jié)點(diǎn)。其中，3 臺同步發(fā)電機(jī)使用的模型都是經(jīng)典四階模型，發(fā)電機(jī)G1 設(shè)為平衡節(jié)點(diǎn)，G2 和G3 的發(fā)電機(jī)為PV 節(jié)點(diǎn)。設(shè)基準(zhǔn)容量100 MVA，頻率為60 Hz。在PSAT［24-25］中進(jìn)行所有仿真。

4.1 無跡變換法的計(jì)算精度

本文考慮的隨機(jī)變量分別是母線5、6、8 上的有功負(fù)荷P5、P6和P8。計(jì)及負(fù)荷功率波動時，設(shè)P5、P6和P8相互獨(dú)立。假設(shè)IEEE 3 機(jī)9 節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)算例中各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的注入有功功率參數(shù)作為均值，10% 的均值作為標(biāo)準(zhǔn)差，即P5～N(1，0.12)，P6～N(0.9，0.092)，P8～N(1.25，0.1252)。

本文參照文獻(xiàn)［8］設(shè)定采樣的權(quán)重W0=0.5，比例信息參數(shù)α=0.2、高階信息參數(shù)β=0.8。為測試本文方法的有效性，采用蒙特卡羅模擬法，通過2 000次仿真，對所得結(jié)果進(jìn)行比較驗(yàn)證［26］。計(jì)算得到的特征值均值和標(biāo)準(zhǔn)差，分別定義其相對誤差為：

式中：εμ、εσ分別為特征值均值和標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差；μUT、σUT分別為無跡變換方法得到的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；μMC、σMC分別為蒙特卡羅模擬方法得到的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

4.2 算例1：考慮兩個隨機(jī)變量

針對母線5、8上的有功負(fù)荷P5、P8，采用無跡變換法和蒙特卡羅模擬法計(jì)算得到結(jié)果，并進(jìn)行對比分析。根據(jù)MATLAB 仿真可知，共有3 個振蕩模式，表1 給出了兩種算法分析得到的特征值均值及相對誤差，表2 為兩種算法分析得到的特征值標(biāo)準(zhǔn)差及相對誤差。

表1 考慮兩個變量的特征值均值及相對誤差Tab.1 Mean eigenvalues and relative errors of considering two variables

表2 考慮兩個變量的特征值標(biāo)準(zhǔn)差及相對誤差Tab.2 Standard deviation and relative error of the eigenvalues of considering two variables

由表1—2 可以看出，與蒙特卡羅模擬法相比較，采用無跡變換法得到的特征值均值及標(biāo)準(zhǔn)差的最大相對誤差小于3%，可滿足工程應(yīng)用需要。

4.3 算例2：考慮3個隨機(jī)變量

針對母線5、6、8 上的有功負(fù)荷P5、P6和P8，采用無跡變換法和蒙特卡羅模擬法計(jì)算得到結(jié)果，并進(jìn)行對比分析。表3 給出了兩種算法分析得到的特征值均值及相對誤差，表4 為兩種算法分析得到的特征值標(biāo)準(zhǔn)差及相對誤差。圖4 給出了表中結(jié)果相對應(yīng)的圖形對比。

表3 考慮3個變量的特征值均值及相對誤差Tab.3 Mean eigenvalues and relative errors of considering three variables

表4 考慮3個變量的特征值標(biāo)準(zhǔn)差及相對誤差Tab.4 Standard deviation and relative error of the eigenvalues of considering three variables

圖4 算例1、2均值及標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差Fig.4 Relative errors of mean and standard deviation of examples 1 and 2

從圖4 可以看出，隨著隨機(jī)輸入變量數(shù)量的增加，均值及標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差也不斷提高，證明了變量的增加對算法的結(jié)果有一定的影響。但采用無跡變換算法得到的特征值后，兩種算法均值的相對誤差小于1.2%，標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差小于3%，計(jì)算精度較好。

由小擾動評估指標(biāo)可以計(jì)算出各個模式的阻尼比均值，圖5 給出了兩種算法計(jì)算得到的阻尼比均值對比。分析圖5 可以得出，兩種算法得到的阻尼比均值相差很小，證明了無跡變換法在小擾動穩(wěn)定概率分析時計(jì)算精度較好。對于振蕩模式1，阻尼比均值為0.343 69，最相關(guān)機(jī)組為G1；對于振蕩模式2，阻尼比均值為0.510 52，最相關(guān)機(jī)組為G1和G2；對于振蕩模式3，阻尼比均值為0.650 22，最相關(guān)機(jī)組為G3。阻尼比均值越大，說明該振蕩模式衰減越強(qiáng)、穩(wěn)定性越強(qiáng)。根據(jù)小擾動穩(wěn)定指標(biāo)中ξ的取值，ξ均大于0.03，說明該系統(tǒng)具備良好的阻尼特性。

圖5 兩種算法阻尼比均值對比Fig.5 Mean damping ratios comparison of the two algorithms

表5 分別給出了兩個算例采用無跡變換法和蒙特卡洛法的仿真時間。從表5 可以看出2 000 次蒙特卡羅模擬法所用時間遠(yuǎn)超無跡變換法，這是因?yàn)樵诳坍嬰娏ο到y(tǒng)中考慮k個變量，只需2k+1 次小擾動穩(wěn)定分析，即可得到系統(tǒng)振蕩模式特征值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。所以運(yùn)行速度和效率遠(yuǎn)高于蒙特卡羅法，因此無跡變換法更有效地實(shí)現(xiàn)了電力系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定的概率分析。

表5 兩種算法的仿真時間對比Tab.5 Simulation time comparison of the two algorithms

4.4 New England 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例

新英格蘭系統(tǒng)包括10 臺發(fā)電機(jī)、39 個節(jié)點(diǎn)、12 個變壓器和34 條線路，代表美國新英格蘭州的一個345 kV 電力網(wǎng)絡(luò)。10 機(jī)39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的電氣接線圖如圖6所示。

圖6 New England 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.6 New England 10-generator 39-bus system

基于MATLAB中的PSAT軟件仿真計(jì)算，建立New England 10機(jī)39節(jié)點(diǎn)模型，進(jìn)行小擾動穩(wěn)定分析。系統(tǒng)基準(zhǔn)容量為100 MVA，基準(zhǔn)電壓為345 kV。圖7 給出了該系統(tǒng)z域小擾動穩(wěn)定性的特征值分析結(jié)果。

圖7 系統(tǒng)z域的小擾動穩(wěn)定性特征值分析Fig.7 Eigenvalue analysis of small distribution stability in z domain of system

從圖7 中可以看出，在z域分析中，所有的特征值都不在單位圓外，說明所有模式對系統(tǒng)的小擾動穩(wěn)定性不產(chǎn)生影響，因此New England10機(jī) 39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)能夠保持小擾動穩(wěn)定。

分別使用無跡變換法和兩點(diǎn)估計(jì)法［27］對該系統(tǒng)進(jìn)行小擾動穩(wěn)定概率分析。為考慮整個電網(wǎng)的小擾動穩(wěn)定性，本文考慮的隨機(jī)變量分別是母線20、25、29 和39 上的有功負(fù)荷P20、P25、P29和P39。表6給出了低頻振蕩模式的特征值統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

表6 特征值統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)Tab.6 Statistics of eigenvalues

對表6 分析可得，無跡變換法與兩點(diǎn)估計(jì)法結(jié)果相差很小，證明無跡變換法計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確可靠。從表6可以看出，振蕩模式1和2的阻尼比均值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0.03，說明小擾動穩(wěn)定性較強(qiáng)。而振蕩模式3、4和5的阻尼比均值都較小，小擾動穩(wěn)定性較弱。

其中，振蕩模式5 的阻尼比均值小于0.03，屬于弱阻尼，應(yīng)該在其最相關(guān)機(jī)組G3 處安裝PSS，用于提高該振蕩模式的阻尼比均值。

5 結(jié)語

本文采用無跡變換法進(jìn)行電力系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定概率分析，在MATLAB 中電力系統(tǒng)分析軟件包PSAT 的IEEE3 機(jī)9 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，得到系統(tǒng)振蕩模式特征值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，分析了負(fù)荷水平對系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定的影響。通過無跡變換與蒙特卡洛算法之間的對比，驗(yàn)證了無跡變換法的有效性。

最后針對新英格蘭10 機(jī)39 節(jié)點(diǎn)進(jìn)行仿真和實(shí)踐，通過無跡變換和兩點(diǎn)估計(jì)算法的對比，證明了本方法具備分析負(fù)荷水平不確定性對小擾動穩(wěn)定影響的功能。本文所提方法只需要根據(jù)隨機(jī)參數(shù)的均值和協(xié)方差信息，即可得到小擾動穩(wěn)定概率分析的重要指標(biāo)如特征值、阻尼比均值等的統(tǒng)計(jì)特性。本文使用的方法類似于黑箱分析，相比于傳統(tǒng)的蒙特卡洛法，計(jì)算精度和實(shí)用性較強(qiáng)。此外，該方法可以直接用于基于確定性分析下的小擾動穩(wěn)定概率分析。