丁緯，陽(yáng)結(jié)根，胡楓，鄒林兒

（南昌大學(xué) 物理與材料學(xué)院，江西 南昌 330000）

引言

相較于傳統(tǒng)投影儀而言，超短焦投影儀只需要極小的工作距離就能獲得大畫面尺寸，大大減小了對(duì)使用空間的要求，并且解決了投影畫面容易被障礙物遮擋的問題，具有較大的發(fā)展?jié)摿1]。但是要想達(dá)到理想的效果，需要更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和更多數(shù)量的鏡片，因此系統(tǒng)的體積和成本也會(huì)相應(yīng)地提高，目前大多數(shù)超短焦投影鏡頭的鏡片數(shù)量都在9 片以上[2]。除此之外，大視場(chǎng)下像差校正也是難點(diǎn)，大多數(shù)超短焦投影鏡頭往往存在畸變大、垂軸色差嚴(yán)重、場(chǎng)曲大等問題[3]。為確保成像質(zhì)量，超短焦投影鏡頭在設(shè)計(jì)時(shí)通常會(huì)選擇縮小光圈。目前市面上大多數(shù)超短焦投影鏡頭，如堅(jiān)果智慧墻O1、峰米R(shí)1 Nano等F數(shù)通常在2.4～2.7之間，甚至更大，無(wú)疑會(huì)導(dǎo)致像面亮度降低低[4]。

目前，國(guó)內(nèi)對(duì)于超短焦投影鏡頭有很多相關(guān)的研究。2019年，賀天賜設(shè)計(jì)了一款共軸大口徑超短焦投影鏡頭[5]；2019年，于百華等人提出了一種多視場(chǎng)的優(yōu)化迭代設(shè)計(jì)方法[6]；2021年，鄭秋水設(shè)計(jì)了一種折反射型超短焦投影系統(tǒng)[7]。本文設(shè)計(jì)了一種使用DMD 芯片的共軸超短焦微型投影鏡頭，系統(tǒng)總長(zhǎng)為79.39 mm，F(xiàn)數(shù)為1.7，投射比達(dá)到0.16。在不縮小光圈的前提下，使用更少數(shù)量的鏡片達(dá)到了更低的投射比，且減小了系統(tǒng)的體積。除此之外，該系統(tǒng)在像差校正方面取得了較好的結(jié)果，最大畸變?yōu)?2.17 %，垂軸色差控制在1.2 μm之內(nèi)，像質(zhì)優(yōu)異。

1 設(shè)計(jì)過程

1.1 設(shè)計(jì)目標(biāo)

DLP 投影技術(shù)具有亮度高、分辨率高、色彩范圍豐富等優(yōu)點(diǎn)[8]。本文的設(shè)計(jì)基于型號(hào)為DLP 4710 的DMD 芯片，該芯片對(duì)角線尺寸為11.938 mm（0.47 inch），單個(gè)像素直徑為5.4 μm[9]。圖1 是德州儀器公司對(duì)不同像元尺寸的DMD 芯片在可見光波段的衍射效率歸納圖[10]。從圖1 可以看出，F(xiàn)數(shù)為1.7時(shí)，DMD 芯片的衍射效率大于0.85，滿足實(shí)際使用需求。

圖1 不同像元尺寸的DMD 芯片在可見光波段的衍射效率Fig.1 Summary of diffraction efficiency of DMD chips with different pixel sizes in visible light band

本文設(shè)計(jì)目標(biāo)是，在350 mm 距離內(nèi)投射出100 inch（2 214 mm×1 245 mm）的畫面。整個(gè)系統(tǒng)采用反向設(shè)計(jì)的思路，即將DMD 芯片置于像方焦平面上，平行光通過透鏡成像于DMD 芯片上[11]。經(jīng)過計(jì)算可得鏡頭的各項(xiàng)參數(shù)如下[12]：

鏡頭放大倍率M為

鏡頭焦距f為

鏡頭視場(chǎng)角2w為

鏡頭投射比TR為

式中：S為DMD 芯片的對(duì)角線尺寸；D為投影屏幕的尺寸；L為投影距離；W、H分別為投影畫面的寬度和高度。

此外，為保證投影系統(tǒng)能夠正常工作，投影鏡頭和DMD 芯片的分辨率必須相匹配。芯片的分辨率可以根據(jù)式（5）計(jì)算[13]：

因此，必須保證鏡頭在頻率93 lp/mm 處有足夠的對(duì)比度和亮度，才能確保最終的成像質(zhì)量良好。在使用Zemax 進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，至少應(yīng)確保系統(tǒng)全視場(chǎng)的MTF 值在46.5 lp/mm 處不小于0.5，在93 lp/mm處不小于0.3[14]。系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)如表1 所示。

表1 系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)設(shè)計(jì)指標(biāo)Table 1 Design indices of system

1.2 系統(tǒng)選型和優(yōu)化

本文需要設(shè)計(jì)一款低成本、小型化、高像質(zhì)的超短焦微型投影鏡頭，因此盡量減少鏡片數(shù)量以縮小系統(tǒng)體積。但難點(diǎn)在于使用較少數(shù)量的鏡片在優(yōu)化過程中自由度更小，會(huì)給像差校正帶來困難。除此之外，大視場(chǎng)系統(tǒng)會(huì)存在較大的球差、畸變等像差。結(jié)合優(yōu)化過程中系統(tǒng)各表面的賽德爾系數(shù)，將對(duì)像差貢獻(xiàn)最大的2 個(gè)面設(shè)置為非球面，可以有效提高像差校正效率，同時(shí)也能減少系統(tǒng)中元件數(shù)量。另外，考慮到投影儀光源在工作中會(huì)產(chǎn)生大量的熱量，因此系統(tǒng)鏡片均采用具有更低熱膨脹系數(shù)的玻璃材料。

首先，按設(shè)計(jì)要求設(shè)置好系統(tǒng)的工作波段、視場(chǎng)、孔徑等參數(shù)，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)各鏡片的材料、曲率半徑等進(jìn)行設(shè)置，確定初始結(jié)構(gòu)之后再?gòu)牟Ａ?kù)中選取折射率相近的材料進(jìn)行替換[15]。同時(shí)，還應(yīng)考慮實(shí)際加工能力和組裝精度要求，合理控制鏡片厚度和空氣間隔。在評(píng)價(jià)函數(shù)編輯器中使用操作數(shù)對(duì)系統(tǒng)的焦距、后焦、總長(zhǎng)等參數(shù)進(jìn)行約束，將各透鏡的曲率半徑、厚度、非球面系數(shù)等參數(shù)設(shè)置為變量，進(jìn)行優(yōu)化處理。

在優(yōu)化過程中，先使用均方根半徑作為優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行優(yōu)化，可以使系統(tǒng)各視場(chǎng)的點(diǎn)列圖快速收斂，待獲得較好的像質(zhì)后，再使用對(duì)比度作為優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行優(yōu)化，可以使MTF 曲線快速上升，起到事半功倍的效果[16]。在優(yōu)化過程中應(yīng)始終關(guān)注各項(xiàng)像差的變化，確?？刂圃诤侠淼姆秶畠?nèi)。

1.3 設(shè)計(jì)結(jié)果

通過上述過程對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整后，最終得到了1 個(gè)性能優(yōu)良的結(jié)構(gòu)，如圖2 所示。該結(jié)構(gòu)由5 片球面鏡片、2 片非球面鏡片、1 片棱鏡和1 片保護(hù)玻璃組成。系統(tǒng)焦距為1.65 mm，F(xiàn)數(shù)為1.7，系統(tǒng)總長(zhǎng)為79.39 mm。各鏡片的定心系數(shù)都大于0.15，容易加工，鏡片尺寸從右向左依次遞增，易于裝配，可以達(dá)到更高的配合精度，且組裝偏心更小。

圖2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 System structure diagram

各鏡片的基本參數(shù)如表2 所示。非球面面型參數(shù)如表3 所示，其中K為圓錐系數(shù)，A4、A6、A8、A10為非球面的高次項(xiàng)系數(shù)。

表2 各鏡片的基本參數(shù)Table 2 Basic parameters of each lens

表3 非球面面型參數(shù)Table 3 Surface shape parameters of aspheric surface

系統(tǒng)MTF 曲線圖如圖3 所示。從圖3 可以看出，在46.5 lp/mm 處全視場(chǎng)MTF 值大于0.84，在93 lp/mm 處全視場(chǎng)MTF 值大于0.65，接近衍射極限，滿足成像要求，具有良好的對(duì)比度。

圖3 系統(tǒng)MTF 曲線圖Fig.3 MTF curve of system

系統(tǒng)的垂軸色差如圖4 所示。從圖4 可以看出，系統(tǒng)的垂軸色差控制在1.2 μm 以內(nèi)，小于0.3 個(gè)像素尺寸，滿足投影鏡頭對(duì)垂軸色差的要求（一般要求小于1 個(gè)像素尺寸），具有低色差特性。

圖4 系統(tǒng)的垂軸色差圖Fig.4 Vertical axis chromatic aberration diagram of system

系統(tǒng)的相對(duì)照度圖如圖5 所示。從圖5 可以看出，系統(tǒng)全視場(chǎng)相對(duì)照度高，圖像亮度均勻。投影系統(tǒng)的相對(duì)照度越高，抗環(huán)境光能力越強(qiáng)，在白天或有燈光的情況下成像更加清晰[17]。

圖5 系統(tǒng)的相對(duì)照度曲線Fig.5 Relative illuminance curve of system

系統(tǒng)的網(wǎng)格畸變圖如圖6 所示。一般而言，畸變小于3%人眼就無(wú)法識(shí)別[18]，本系統(tǒng)的最大畸變僅為-2.17%，滿足設(shè)計(jì)要求。

圖6 系統(tǒng)的網(wǎng)格畸變圖Fig.6 Grid distortion diagram of system

2 熱分析

投影儀在工作中會(huì)產(chǎn)生大量熱量，導(dǎo)致工作溫度快速上升，甚至遠(yuǎn)高于環(huán)境溫度。鏡片的厚度以及鏡頭各元件之間的間距可能會(huì)由于材料的熱脹冷縮而發(fā)生變化，從而對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的性能產(chǎn)生影響。因此，系統(tǒng)中各鏡片均使用熱膨脹系數(shù)較低的玻璃材料，如表2 所示。鏡筒材料使用殷鋼，在-80 ℃～100 ℃時(shí)熱膨脹系數(shù)為1.5×10-6/℃，受溫度影響發(fā)生的形變極小。膠合鏡片使用型號(hào)為GBN-501 的光學(xué)光敏膠進(jìn)行膠合，該膠近無(wú)色透明，機(jī)械強(qiáng)度高，粘結(jié)性和耐高低溫性能好，其熱膨脹系數(shù)為8.39×10-6/℃。根據(jù)口徑小于20 mm 的鏡片膠合時(shí)膠層厚度在0.005 mm～0.02 mm 之間，可計(jì)算出當(dāng)溫度變化60 ℃時(shí)，膠層厚度變化量在2.517×10-6mm～1.007×10-5mm 之間，對(duì)系統(tǒng)的影響極小。五三研究所光學(xué)膠組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明[19]，該光敏膠在-60 ℃～60 ℃溫度范圍內(nèi)進(jìn)行高低溫測(cè)試時(shí)膠層無(wú)變化，不會(huì)出現(xiàn)脫膠、塌邊等情況，穩(wěn)定性好。

通過設(shè)置多重結(jié)構(gòu)，在0～60 ℃溫度范圍內(nèi)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行熱分析。不同溫度下系統(tǒng)在93 lp/mm處的MTF 值如表4 所示。從表4 可以看出，在0～60 ℃范圍內(nèi)，系統(tǒng)在93 lp/mm 處全視場(chǎng)的MTF 值均大于0.65，性能穩(wěn)定，受溫度影響很小。

表4 0～60 ℃溫度下系統(tǒng)在93 lp/mm 處的MTF值Table 4 MTF of system at 93 lp/mm at 0～60 ℃

3 公差分析

光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)除了滿足成像要求之外，還需要滿足實(shí)際加工能力的要求，因此對(duì)其進(jìn)行公差分析是必不可少的。根據(jù)目前國(guó)內(nèi)加工工藝水平，將公差按表5 所示進(jìn)行設(shè)置。表5中，TFRN 為曲率半徑公差，單位以光圈表示；TTHI 為鏡片厚度公差；TSDY 為結(jié)構(gòu)表面Y方向偏心公差；TSTY 為結(jié)構(gòu)表面Y方向傾斜公差；TEDY 為光學(xué)元件Y方向偏心公差；TETY 為元件Y方向傾斜公差[20]。

表5 系統(tǒng)公差設(shè)定指標(biāo)Table 5 Tolerance values of system

將公差敏感度設(shè)置為MTF，對(duì)應(yīng)的頻率為93 lp/mm。使用蒙特卡羅方法對(duì)2 000 組隨機(jī)鏡頭數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果如表6 所示。從表6 可以看出，90%以上的樣本在93 lp/mm 處MTF 值大于0.545，設(shè)計(jì)結(jié)果合理，滿足實(shí)際加工條件。

表6 公差分析結(jié)果Table 6 Tolerance analysis results

4 結(jié)論

本文基于投影儀的行業(yè)現(xiàn)狀和需求，利用Zemax 軟件設(shè)計(jì)了一款在可見光波段內(nèi)工作，使用11.938 mm（0.47 inch）DMD 芯片，焦距為1.65 mm，F(xiàn)數(shù)為1.7，總長(zhǎng)為79.39 mm，投射比為0.16 的超短焦微型投影鏡頭。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：鏡頭的各項(xiàng)參數(shù)均達(dá)到或超過了設(shè)計(jì)要求，全視場(chǎng)MTF 值在空間頻率93 lp/mm 處大于0.65，接近衍射極限；系統(tǒng)的垂軸色差控制在1.2 μm 之內(nèi)，全視場(chǎng)相對(duì)照度大于0.95，最大畸變?yōu)?2.17%，像質(zhì)優(yōu)異，較好地解決了大視場(chǎng)情況下場(chǎng)曲畸變大、垂軸色差大等問題。與同類結(jié)構(gòu)相比，本系統(tǒng)使用更少數(shù)量的鏡片達(dá)到了更小的投射比，極大地簡(jiǎn)化了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，并縮小了鏡頭體積，減少了生產(chǎn)成本。熱分析結(jié)果表明，系統(tǒng)在0～60 ℃環(huán)境下性能穩(wěn)定，受溫度的影響較小。最后，公差分析結(jié)果表明，該系統(tǒng)公差寬松，結(jié)構(gòu)緊湊，符合現(xiàn)有加工條件，易于加工。