□江 燕 郜舒竹

本刊上一期刊登的《“平行四邊形的面積”教學(xué)中的問題分析》［1］一文指出，有關(guān)“平行四邊形的面積”的教學(xué)，常常存在以下問題：教師只重視學(xué)生對“平行四邊形的面積=底×高”的確認(rèn)，忽視學(xué)生在“長方形面積等于相鄰兩邊長度乘積”圖式影響下形成的“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的直覺錯(cuò)誤的否認(rèn)；教學(xué)只強(qiáng)調(diào)利用轉(zhuǎn)化將平行四邊形變?yōu)殚L方形來推導(dǎo)和記憶面積公式，忽視引導(dǎo)學(xué)生對圖形面積測量本質(zhì)的理解、對轉(zhuǎn)化行為背后原因的探究以及對計(jì)算方法實(shí)質(zhì)的認(rèn)識；教材只針對一個(gè)平行四邊形采用一種剪拼方式將其轉(zhuǎn)化為長方形，根據(jù)“長方形的面積=長×寬”得出“平行四邊形的面積=底×高”的結(jié)論，忽視學(xué)生構(gòu)建多種轉(zhuǎn)化方式的可能性和對結(jié)論合理性的質(zhì)疑。

基于此，學(xué)生會(huì)形成“只知道是什么，不知道不是什么”的單一思維，“知其表面，不知其本質(zhì)”的淺層思維，以及“離開公式算不來，沒有數(shù)據(jù)算不出”的固有思維，從而導(dǎo)致對內(nèi)容的理解模糊不清、對方法的遷移無能為力。因此，與平行四邊形的面積相關(guān)的認(rèn)知活動(dòng)不應(yīng)該只是對公式的推導(dǎo)、運(yùn)用和記憶，更應(yīng)該注重對圖形本質(zhì)及其關(guān)系的理解和規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，是“從否認(rèn)到確認(rèn)、從表面到本質(zhì)、從個(gè)別到一般”的認(rèn)知過程。

一、從否認(rèn)到確認(rèn)

人在認(rèn)識和了解陌生事物時(shí)，會(huì)無意識地運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)。由于個(gè)體與生俱來的主觀差異性，不同的個(gè)體對同一經(jīng)驗(yàn)會(huì)形成不同的認(rèn)識和理解，在經(jīng)驗(yàn)的影響下，對陌生事物的認(rèn)識和理解也會(huì)有所不同，既包括積極的正見，也包括消極的誤解。因此，人在承認(rèn)和確認(rèn)陌生對象“是什么”的同時(shí)，也應(yīng)對其“不是什么”進(jìn)行否認(rèn)和篩選。同理，對“為什么是”的解釋和對“為什么不是”的解讀之間也應(yīng)存在共生與并存的關(guān)系。只有排除了可能性中的“不是”，才能真正相信并確定“是什么”以及“為什么是”。所以，指向?qū)W生認(rèn)知的課程教學(xué)，不僅要有“是什么”和“為什么是”的學(xué)科邏輯，還要有“如何知道并相信”的認(rèn)知邏輯，即一種“從否認(rèn)到確認(rèn)”的認(rèn)知過程。這樣的認(rèn)知過程可以概括為“枚舉—否認(rèn)—承認(rèn)—確認(rèn)”的基本框架（如圖1）。

圖1“從否認(rèn)到確認(rèn)”認(rèn)知框架示意圖

●枚舉：根據(jù)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)枚舉“可能是什么”。

●否認(rèn)：通過對諸多可能性進(jìn)行比較篩選，得到“不可能或不應(yīng)當(dāng)是什么”。

●承認(rèn)：在篩選的基礎(chǔ)上承認(rèn)“應(yīng)當(dāng)是什么”。

●確認(rèn)：在承認(rèn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步證實(shí)并確認(rèn)“一定是什么”。

這樣的認(rèn)知過程遵循的思維邏輯是“為知是什么，先知不是什么”，強(qiáng)調(diào)否認(rèn)是承認(rèn)與確認(rèn)的前提，對“是”的承認(rèn)與確認(rèn)需要經(jīng)歷對“不是”的否認(rèn)。［2］

以“平行四邊形的面積”為例，學(xué)生已經(jīng)知道“長方形的面積=長×寬”，基于長與寬之間的垂直關(guān)系可能得出“平行四邊形的面積=底×高”的猜想（以下簡稱“可能性1”）。同樣，學(xué)生在長和寬是相鄰關(guān)系的影響下也會(huì)形成“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的猜想（以下簡稱“可能性2”）。對于這兩種可能性，實(shí)際教學(xué)時(shí)教師往往傾向于對可能性1 的承認(rèn)和確認(rèn)，忽視對可能性2 的否認(rèn)。這使得學(xué)生在知道平行四邊形的面積是“底和高的乘積”時(shí)，仍對“為什么不是相鄰兩邊長度乘積”存有疑問。所以，若想承認(rèn)并確認(rèn)“平行四邊形的面積=底×高”，在此之前要先讓學(xué)生經(jīng)歷對“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的否認(rèn)。那如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這一否認(rèn)過程呢？教師可以采用逆向推理的方式：若平行四邊形和長方形的面積都可以用“相鄰兩邊長度乘積”進(jìn)行計(jì)算，那么“對應(yīng)邊長度相等的長方形和平行四邊形的面積一定相等”。因此，要完成對“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的否認(rèn)，學(xué)生需明確“對應(yīng)邊長度相等的長方形和平行四邊形的面積不相等”。具體到教學(xué)實(shí)踐中，可以通過下面的數(shù)學(xué)活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。

●數(shù)學(xué)活動(dòng)：給定鄰邊長度，盡可能多地畫出符合要求的長方形和平行四邊形。

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生可以通過畫一畫發(fā)現(xiàn)，給定相鄰兩邊長度只能畫出一個(gè)長方形，卻可以畫出無數(shù)個(gè)平行四邊形，從而認(rèn)識到：當(dāng)長方形相鄰兩邊長度確定時(shí)，長方形的形狀和面積唯一確定；而當(dāng)平行四邊形相鄰兩邊長度確定時(shí)，平行四邊形的形狀和面積都不能確定（如圖2）。因此，對應(yīng)邊長度相等的長方形和平行四邊形的面積并不相等。

圖2 長方形旋轉(zhuǎn)為平行四邊形示意圖

實(shí)際上，這里采用了一種“從給定到確定”的推理方式，這種方式建立了一種從原因到結(jié)果的因果關(guān)系。比如對長方形而言，若只給定長或?qū)捚渲兄?，長方形的面積是無法確定的；若同時(shí)給定長和寬，此時(shí)長方形的形狀和面積大小存在且唯一。這表明長方形的面積是因長和寬的同時(shí)給定而確定的，即它的面積由長和寬的長度共同決定。［3］而對平行四邊形而言，同時(shí)給定相鄰兩邊長度，平行四邊形的形狀和面積存在但并不唯一，也就是說，它的面積不由相鄰兩邊長度共同決定。因此，學(xué)生就可以確認(rèn)“對應(yīng)邊長度相等的長方形和平行四邊形的面積并不相等”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對“平行四邊形的面積等于相鄰兩邊長度乘積”的否認(rèn)，為“平行四邊形的面積=底×高”的承認(rèn)和確認(rèn)提供前提。

二、從表面到本質(zhì)

“從表面到本質(zhì)”是一種“知道是這樣，還要知道為什么是這樣”的認(rèn)知過程，在數(shù)學(xué)教學(xué)中則體現(xiàn)為既要知道知識是什么，還要知道知識的生成過程，即要深入理解知識的本質(zhì)及其產(chǎn)生的原因，不能停留在表面的認(rèn)知上。小學(xué)階段與面積測量和計(jì)算有關(guān)的內(nèi)容，重視公式的推導(dǎo)、記憶和應(yīng)用，忽視對面積度量本質(zhì)及意義的理解。然而，度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人們創(chuàng)造出來認(rèn)識數(shù)學(xué)、認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界的工具。［4］面積度量的實(shí)質(zhì)是面積單位的累加，也就是測量圖形包含了多少個(gè)面積單位。所以，面積單位的累加才是面積測量的本質(zhì)，而各類面積計(jì)算公式只是對面積測量方法的描述。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)從注重計(jì)算方法轉(zhuǎn)向注重度量單位，超越知識表面，直擊知識本質(zhì)，讓學(xué)生“知其然知其所以然”。

“云上交通遨碧空，峻嶺險(xiǎn)峰飄彩虹。磅礴烏蒙通天路，沖破關(guān)山萬千重?！碑吂?jié)的交通建設(shè)，腳踏實(shí)地蹄疾步穩(wěn)，一個(gè)腳印一支歌。

從“平行四邊形的面積”的教學(xué)來看，部分教師摒棄“數(shù)方格”法，直接通過“分、移、補(bǔ)”活動(dòng)將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，然后根據(jù)原有平行四邊形和轉(zhuǎn)化后長方形之間的對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合“長方形的面積=長×寬”推導(dǎo)出“平行四邊形的面積=底×高”。這種“只談是什么，不談為什么”的教學(xué)，忽視了對轉(zhuǎn)化目的及知識本質(zhì)的探究，使得學(xué)生對平行四邊形面積的理解僅僅停留在公式推導(dǎo)上，不能真正理解圖形面積的實(shí)質(zhì)是面積單位的累加，而將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形這一行為的目的是實(shí)現(xiàn)面積單位的密鋪。事實(shí)上，基于面積單位的密鋪，學(xué)生可以通過“數(shù)方格”法數(shù)出“行數(shù)”和“列數(shù)”，再根據(jù)“行數(shù)×列數(shù)”的方法直接計(jì)算出平行四邊形所含面積單位的個(gè)數(shù)，從而認(rèn)識到“平行四邊形的面積=底×高”的本質(zhì)是數(shù)面積單位。

因此，“平行四邊形的面積”的教學(xué)需要實(shí)現(xiàn)以下目標(biāo)：理解面積度量的本質(zhì)是面積單位的累加；理解將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形是為了實(shí)現(xiàn)面積單位的密鋪；明確面積單位密鋪中“列數(shù)”“行數(shù)”與平行四邊形的“底”“高”之間的關(guān)系。針對上述教學(xué)目標(biāo)，學(xué)生需要經(jīng)歷以面積單位度量圖形面積的過程，探究平行四邊形的面積不能用“數(shù)方格”法直接數(shù)出的原因，思考解決問題的辦法，構(gòu)建對象間的聯(lián)系。具體到教學(xué)實(shí)踐中，可以開展下面兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)。

●數(shù)學(xué)活動(dòng)1：結(jié)合方格圖，解釋“長方形的面積=長×寬”。

●數(shù)學(xué)活動(dòng)2：在方格紙上數(shù)出給定長方形和平行四邊形的面積。

在數(shù)學(xué)活動(dòng)1 中，學(xué)生經(jīng)歷借助方格（面積單位）解釋長方形面積計(jì)算公式的過程，明白可以用“行數(shù)×列數(shù)”的乘法計(jì)算面積單位的個(gè)數(shù)，即“長×寬”的本質(zhì)是數(shù)面積單位?；谶@樣的認(rèn)識，學(xué)生對圖形面積的理解不再停留在淺層的“計(jì)算方法”層面，而是發(fā)展到深層的“度量本質(zhì)”層面，即圖形面積的度量就是測量圖形所包含的面積單位的個(gè)數(shù)，可以用“行數(shù)×列數(shù)”計(jì)算得到。在數(shù)學(xué)活動(dòng)2中，學(xué)生通過“數(shù)方格”法，發(fā)現(xiàn)能直接數(shù)出長方形的面積，卻不能直接數(shù)出平行四邊形的面積。由此，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生“為什么長方形的面積可以直接數(shù)出，而平行四邊形的面積不能直接數(shù)出”的認(rèn)知沖突。在這種認(rèn)知沖突中，學(xué)生能夠認(rèn)識到長方形所包含的方格都是“整格”，而平行四邊形包含的方格既有“整格”的，也有“不滿一格”的，只有被面積單位密鋪的圖形，才能利用“數(shù)方格”法直接數(shù)出它的面積。那如何實(shí)現(xiàn)“圖形被面積單位密鋪”呢？學(xué)生會(huì)想到用剪拼方式將“不滿一格”的方格拼成“整格”，并發(fā)現(xiàn)所有“湊整”方法中，將“平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形”這種方法最為簡便。自此，轉(zhuǎn)化這一方法被自然而然地引入，其實(shí)質(zhì)是“實(shí)現(xiàn)面積單位的密鋪”。與此同時(shí)，學(xué)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形后，可以借助方格紙，利用“行數(shù)×列數(shù)”計(jì)算出平行四邊形所包含的面積單位的個(gè)數(shù)，即平行四邊形的面積。接著，通過觀察圖形，建立“行數(shù)”與“高”、“列數(shù)”與“底”之間的聯(lián)系，從本質(zhì)上解釋平行四邊形的面積為什么是“底×高”。

三、從個(gè)別到一般

小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容依據(jù)其作用可以分為規(guī)律性知識、規(guī)則性知識和規(guī)定性知識三類。其中，規(guī)律性知識是對數(shù)學(xué)中某種客觀規(guī)律的描述。比如“三角形任意兩邊的和大于第三邊”，它所反映的是三角形的三條邊之間的內(nèi)在聯(lián)系，是三角形的自然屬性，平面上任意一個(gè)三角形都具有這種屬性。這類知識反映的是客觀事實(shí)，具有較強(qiáng)的客觀性。正是這樣的客觀性，決定了此類知識對學(xué)習(xí)者來說具有“確定性”，不以人的意志為轉(zhuǎn)移。［5］認(rèn)識規(guī)律性知識的基本活動(dòng)是“發(fā)現(xiàn)”，強(qiáng)調(diào)對具體對象及其關(guān)系進(jìn)行觀察和比較，找到制約這些現(xiàn)象及關(guān)系的確定性因素，進(jìn)而通過歸納和解釋確定具有普遍性的規(guī)律，并對規(guī)律進(jìn)行推廣和應(yīng)用。［6］這樣的過程屬于“從個(gè)別到一般”的認(rèn)知過程，是在對多個(gè)對象及其關(guān)系認(rèn)知和理解的基礎(chǔ)上獲得適用于同類事物的一般性結(jié)論的過程，是一種“注重結(jié)論或規(guī)律普適性”的認(rèn)知方式。這樣的認(rèn)知過程和方式可以概括為“形成猜想—驗(yàn)證猜想—得出結(jié)論”的基本框架（如圖3）。

圖3 “從個(gè)別到一般”認(rèn)知框架示意圖

●驗(yàn)證猜想：在經(jīng)歷多個(gè)對象或?qū)で蠖喾N證據(jù)的基礎(chǔ)上證明“假設(shè)的合理性”。

●得出結(jié)論：在對猜想進(jìn)行驗(yàn)證的基礎(chǔ)上得出“一定是什么”的結(jié)論。

這一認(rèn)知過程遵循的思維邏輯是“基于個(gè)別對象認(rèn)為應(yīng)該是什么，結(jié)合多個(gè)同類現(xiàn)象或證據(jù)進(jìn)行合理性證明，得出一定是什么”，強(qiáng)調(diào)基于多種對象對猜想的合理性進(jìn)行證明，以獲得一般性結(jié)論。

“平行四邊形的面積”這一內(nèi)容反映的是平行四邊形的面積大小與其內(nèi)部關(guān)鍵因素（底和高）間的相互依賴與制約的關(guān)系，不以人的意志為轉(zhuǎn)移，是對客觀規(guī)律的描述，屬于規(guī)律性知識。對于這一知識內(nèi)容的教學(xué)，教科書先從一個(gè)“形內(nèi)高”平行四邊形中沿著高分出一個(gè)直角三角形，然后把這個(gè)直角三角形移動(dòng)到另一側(cè)，補(bǔ)齊成為長方形，最后結(jié)合長方形的面積計(jì)算方法推導(dǎo)出“平行四邊形的面積=底×高”。這樣的設(shè)計(jì)沒有讓學(xué)生經(jīng)歷由個(gè)別到一般的過程，他們無法真正認(rèn)同結(jié)論的有效性并認(rèn)識轉(zhuǎn)化方法的多樣化。基于此，教學(xué)時(shí)需要實(shí)現(xiàn)以下目標(biāo)：1.構(gòu)建多種轉(zhuǎn)化方式，異中求同，發(fā)現(xiàn)共性；2.證明任意平行四邊形的面積都可以用“底×高”計(jì)算。對于目標(biāo)1，學(xué)生需要進(jìn)行自我構(gòu)建，即用盡可能多的剪拼轉(zhuǎn)化方式將平行四邊形變?yōu)殚L方形，并對多種方式進(jìn)行觀察與比較，發(fā)現(xiàn)其關(guān)鍵屬性。針對目標(biāo)2，學(xué)生要在目標(biāo)1 的基礎(chǔ)上建立對象間的聯(lián)系，即利用轉(zhuǎn)化后面積相等、對應(yīng)邊長度相等（長=底、寬=高），結(jié)合“長方形的面積=長×寬”推導(dǎo)出“平行四邊形的面積=底×高”，同時(shí)經(jīng)歷借助多種材料或多個(gè)對象完成對“平行四邊形的面積=底×高”這一假設(shè)的驗(yàn)證過程。具體到教學(xué)實(shí)踐中，可以通過下面兩個(gè)層次的活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。

數(shù)學(xué)活動(dòng)1：在方格紙上數(shù)出平行四邊形的面積。

數(shù)學(xué)活動(dòng)2：在方格紙上畫出任意三個(gè)不同形狀的平行四邊形，利用數(shù)學(xué)活動(dòng)1中得出的規(guī)律計(jì)算其面積，并通過數(shù)一數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。

在數(shù)學(xué)活動(dòng)1中，學(xué)生面對用“數(shù)方格”法不能直接數(shù)出平行四邊形的面積的情況，經(jīng)歷用剪拼的操作將平行四邊形變?yōu)殚L方形的轉(zhuǎn)化過程，通過自我構(gòu)建、全班交流等形式感受轉(zhuǎn)化方式的多樣化。同時(shí)，通過對多種轉(zhuǎn)化方法的觀察和比較，發(fā)現(xiàn)這些轉(zhuǎn)化方式的關(guān)鍵屬性是沿著平行四邊形的高進(jìn)行剪拼（如圖4），這樣才可以保證轉(zhuǎn)化后的圖形為長方形。最終，結(jié)合對圖形轉(zhuǎn)化的觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并猜測計(jì)算方法為“平行四邊形的面積=底×高”。

圖4 平行四邊形剪拼成長方形示意圖

在數(shù)學(xué)活動(dòng)2 中，學(xué)生利用數(shù)學(xué)活動(dòng)1 得出的計(jì)算方法“平行四邊形的面積=底×高”計(jì)算三個(gè)不同形狀的平行四邊形的面積，同時(shí)借助“數(shù)方格”法數(shù)出它們的面積，然后根據(jù)兩種方法所得到的面積數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系來說明計(jì)算方法的合理性，進(jìn)而得出“任意平行四邊形的面積都等于底和高的乘積”的一般性結(jié)論。

“從否認(rèn)到確認(rèn)、從表面到本質(zhì)、從個(gè)別到一般”作為一種“如何知道、知其本質(zhì)、重視發(fā)現(xiàn)”的認(rèn)知過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在接觸新知識時(shí)要保持懷疑的態(tài)度，在經(jīng)歷“為什么不”這樣證偽的思維過程后逐漸從否認(rèn)轉(zhuǎn)向確認(rèn)，發(fā)展學(xué)生的批判性思維；鼓勵(lì)學(xué)生超越表面現(xiàn)象，深入挖掘知識內(nèi)容的本質(zhì)規(guī)律和基本原理，使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和內(nèi)涵，掌握其應(yīng)用方法，并在更高層次上運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題；重視學(xué)生對多個(gè)對象及其關(guān)系的觀察和對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和規(guī)律性思維。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。因此，數(shù)學(xué)課程及教學(xué)應(yīng)融入“從否認(rèn)到確認(rèn)、從表面到本質(zhì)、從個(gè)別到一般”的認(rèn)知過程，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為在多種可能性中進(jìn)行比較和篩選的過程，成為“知其然知其所以然”的過程，成為基于知識內(nèi)容及其關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，真正落實(shí)對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。