汪佳婕|浙江省海寧市南苑中學(xué)

高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)有一個(gè)非常顯著的特點(diǎn)：先基于具體問(wèn)題，構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系；再在幾何問(wèn)題和圖形特點(diǎn)的作用下，通過(guò)代數(shù)表達(dá)和運(yùn)算將幾何問(wèn)題以代數(shù)的形式展示出來(lái)；然后通過(guò)對(duì)幾何問(wèn)題的分析，找出一條正確解答問(wèn)題的途徑；最后通過(guò)代數(shù)法，將代數(shù)問(wèn)題得出的結(jié)論用幾何語(yǔ)言的方式展示出來(lái).但在實(shí)際學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往對(duì)解析幾何內(nèi)容感到困難，其原因在于“知其然而不知其所以然”，即學(xué)生不能將所學(xué)知識(shí)靈活地運(yùn)用到解題中，不能將解析幾何的一些條件結(jié)論進(jìn)行遷移.筆者認(rèn)為，教師可借助高階思維結(jié)構(gòu)圖幫助學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)，進(jìn)而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，下面具體闡述.

一、構(gòu)建高階思維結(jié)構(gòu)圖應(yīng)遵循的原則

高階思維結(jié)構(gòu)圖是基于分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造等思維，形成有效解決策略和認(rèn)知思路的思維可視化表達(dá)方式，它具有圖文結(jié)構(gòu)化的特點(diǎn)，是思維過(guò)程顯性化的有效載體，能幫助學(xué)生完善認(rèn)知體系、加深記憶，實(shí)現(xiàn)有效應(yīng)用.在以學(xué)生發(fā)展為中心的深度學(xué)習(xí)課堂中，高階思維結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)建應(yīng)遵循以下原則.

（一）“圖”聯(lián)——整體性原則

整體性原則指根據(jù)知識(shí)在整個(gè)系統(tǒng)中所處的位置，以及課標(biāo)要求的知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，把散落的信息進(jìn)行歸類與整合.如此，學(xué)生能快速提取主要內(nèi)容并進(jìn)行縱橫對(duì)比，圍繞“有什么，是什么，求什么，需什么，怎么做”進(jìn)行高階思維結(jié)構(gòu)圖的聯(lián)系，從而多角度地分析條件和結(jié)論的關(guān)系，學(xué)會(huì)選擇并優(yōu)化解題方案.

（二）“圖”導(dǎo)——啟發(fā)性原則

啟發(fā)性原則指遵循知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展規(guī)律，由淺入深、循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)學(xué)生自然領(lǐng)悟及靈活運(yùn)用多種方法解決問(wèn)題的能力.以“問(wèn)題引導(dǎo)，探究交流”為主要方式進(jìn)行高階思維結(jié)構(gòu)圖導(dǎo)航，將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，能幫助學(xué)生逐層遞進(jìn)地剖析數(shù)學(xué)模型，逐步加深認(rèn)知，提升數(shù)學(xué)思維能力.

（三）“圖”創(chuàng)——生成性原則

生成性原則指既要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)性知識(shí)，也要把握解決問(wèn)題的規(guī)律，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中悟到問(wèn)題的本質(zhì)和內(nèi)涵.以“學(xué)解一道題—學(xué)會(huì)解一類題”為目標(biāo)進(jìn)行高階思維結(jié)構(gòu)圖的創(chuàng)新，深入挖掘題目并舉一反三，可使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移和發(fā)散.

二、在高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)中構(gòu)建高階思維結(jié)構(gòu)圖的實(shí)踐

解析幾何主要聚焦學(xué)生對(duì)重要的數(shù)學(xué)概念、方法、定理、思想的理解與應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性，教師可借助高階思維結(jié)構(gòu)圖，體現(xiàn)分析、推理、組織、分類等高階思維，幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（一）建立對(duì)比聯(lián)系結(jié)構(gòu)圖，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度組織

解析幾何的綜合題一般都是以點(diǎn)在曲線上或者直線與曲線相交為背景，“設(shè)而不求”是解決解析幾何問(wèn)題的一般策略.很多學(xué)生在面對(duì)“先設(shè)點(diǎn)還是先設(shè)線”時(shí)會(huì)產(chǎn)生困惑，選擇正確與否直接決定了接下去能否解決該問(wèn)題.教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生抓住題目中核心元素的特點(diǎn)，建立對(duì)比聯(lián)系結(jié)構(gòu)圖.具體步驟為：（1）分析圖形的關(guān)系條件，找出設(shè)點(diǎn)和設(shè)線分別能求出哪些結(jié)果；（2）對(duì)比設(shè)點(diǎn)和設(shè)線各自的難點(diǎn)和突破口在哪里；（3）總結(jié)兩種設(shè)法的聯(lián)系及優(yōu)缺點(diǎn)，選擇最合適的解題路徑.對(duì)比聯(lián)系結(jié)構(gòu)圖主要用于關(guān)鍵信息特征明顯的題目，它能突出解析幾何“設(shè)”的重要性，可讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性有全面的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而補(bǔ)充與完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

例1：已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為且過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)P在第四象限，A為左頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，PA交y軸于點(diǎn)C，PB交x軸于點(diǎn)D.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求△PCD面積的最大值.

【探】解此題既可以設(shè)點(diǎn)也可以設(shè)線：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，變量有兩個(gè)，難點(diǎn)是如何消元轉(zhuǎn)化；設(shè)直線PB方程，難點(diǎn)是如何進(jìn)行幾何轉(zhuǎn)化.教師可引導(dǎo)學(xué)生建立此題的對(duì)比聯(lián)系結(jié)構(gòu)圖（如圖1所示），讓學(xué)生弄清楚知識(shí)結(jié)構(gòu)，不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

圖1 對(duì)比聯(lián)系結(jié)構(gòu)圖示例

【思】解答問(wèn)題時(shí)要合理地運(yùn)用對(duì)比聯(lián)系的方式，通過(guò)設(shè)點(diǎn)、設(shè)線等方式計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵在于理清“主”和“輔”之間的聯(lián)系.教師要以目標(biāo)和既定的解題方案為路徑，運(yùn)用對(duì)比聯(lián)系結(jié)構(gòu)圖突出知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在進(jìn)行對(duì)比時(shí)，將分散的瑣碎信息整合到一起，從而快速提取主要內(nèi)容并進(jìn)行縱橫對(duì)比，最終促進(jìn)知識(shí)的深度組織.

（二）建立方法模型結(jié)構(gòu)圖，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的深度轉(zhuǎn)化

解析幾何中圓錐曲線離心率問(wèn)題是高考中的一類重要題型，這是因?yàn)殡x心率是圓錐曲線的重要幾何特征，且與其他基本量聯(lián)系密切，容易產(chǎn)生知識(shí)交匯.橢圓、雙曲線可以與平面幾何中的三角形、四邊形、圓等結(jié)合，由此會(huì)造成許多幾何性質(zhì)疊加在一起的情況，使學(xué)生難以找到突破口.教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生找到題目的通性通法，建立方法模型結(jié)構(gòu)圖.具體步驟為：（1）分析此類問(wèn)題的基本思路，尋找關(guān)鍵點(diǎn)和切入點(diǎn)；（2）運(yùn)用所學(xué)知識(shí)定位解題方向和解題工具；（3）挖掘題目背后蘊(yùn)含的解題思想.方法模型結(jié)構(gòu)圖主要用于某些有方向有條理的題目，可讓學(xué)生在分析時(shí)有目標(biāo)導(dǎo)航的意識(shí)與思想.它能使復(fù)雜問(wèn)題本質(zhì)化、一般化，揭示出問(wèn)題包含的思想和知識(shí)間的滲透，從而深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

例2：已知橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），連結(jié)BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)M，連結(jié)F1M，若F1M⊥AB，求橢圓C的離心率.

【探】針對(duì)此類求離心率的問(wèn)題，其關(guān)鍵是要得到a、b、c的關(guān)系，既可以從代數(shù)角度計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)列出方程，也可以從形的角度尋找?guī)缀螆D形的性質(zhì).此題由兩直線垂直條件，用解三角形、三角函數(shù)、方程的知識(shí)求離心率，數(shù)形結(jié)合是轉(zhuǎn)化解析幾何問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn).教師可引導(dǎo)學(xué)生建立此題的方法模型結(jié)構(gòu)圖（如圖2所示），讓學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)角度分析問(wèn)題，使學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力得到提升.

【思】把常見(jiàn)的基本方法以例題的形式展現(xiàn)給學(xué)生，通過(guò)觀察、分析、比較等思維活動(dòng)總結(jié)歸納，然后根據(jù)圖形，用符號(hào)語(yǔ)言揭示出其中的規(guī)律，最終形成方法模型結(jié)構(gòu)圖.運(yùn)用方法模型結(jié)構(gòu)圖，能讓學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)有目標(biāo)導(dǎo)航意識(shí)，迅速抓住問(wèn)題的本質(zhì)，并整體規(guī)劃思維路徑，從而在解題中做到有的放矢，實(shí)現(xiàn)思維的深度轉(zhuǎn)化.

（三）建立發(fā)散思維結(jié)構(gòu)圖，促進(jìn)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的深度遷移

解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，特別是定點(diǎn)、定值、取值范圍、最值問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，這類題目往往貼近教材、解法靈活、背景豐富，為研究提供了廣闊的空間.教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生從不同角度和維度深化問(wèn)題，建立發(fā)散思維結(jié)構(gòu)圖.具體步驟為：（1）從一個(gè)目標(biāo)出發(fā)，以最基本的知識(shí)點(diǎn)為支架搭建變式平臺(tái)；（2）對(duì)已知條件按照順向思維進(jìn)行變式；（3）對(duì)所求結(jié)果按照逆向思維進(jìn)行變式.發(fā)散思維結(jié)構(gòu)圖主要用于從多視角和層次研究一塊知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生以不同的知識(shí)點(diǎn)為中心分別編織知識(shí)網(wǎng)，構(gòu)建多個(gè)知識(shí)組塊，這些知識(shí)組塊相對(duì)于孤立的知識(shí)點(diǎn)具有更大的功能.教師要以低起點(diǎn)和不斷提升的教學(xué)目標(biāo)激發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)，從而促進(jìn)其數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的深度遷移.

例3：已知曲線，M為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).

【探】過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)引二次曲線的兩條切線，兩切點(diǎn)連線的直線方程即為曲線的切點(diǎn)弦方程.此題從圓的切點(diǎn)弦方程入手，對(duì)圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）等常見(jiàn)曲線的切點(diǎn)弦方程進(jìn)行推導(dǎo)，再在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式.教師可引導(dǎo)學(xué)生挖掘拋物線與其切線的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用特殊到一般的歸納思想得到切點(diǎn)弦公式，探究切線與相交弦之間的關(guān)系，然后在此基礎(chǔ)上對(duì)條件和結(jié)論分別變式，進(jìn)而建立發(fā)散思維結(jié)構(gòu)圖（如圖3所示）.這既能讓學(xué)生對(duì)切點(diǎn)弦方程的內(nèi)容有更加深刻和深入的理解，又能構(gòu)建探索性的學(xué)習(xí)空間.

圖3 發(fā)散思維結(jié)構(gòu)圖示例

【思】此題從切點(diǎn)弦問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生逐步完成知識(shí)網(wǎng)的構(gòu)建，并建立起多個(gè)不同的知識(shí)模塊.相較于那些獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)，這些模塊具有更加重大的意義，能給學(xué)生更多的有序知識(shí).運(yùn)用發(fā)散思維結(jié)構(gòu)圖抓住本質(zhì)多角度分析，學(xué)生能發(fā)揮主觀能動(dòng)性，提高宏觀整體把握此類問(wèn)題的能力，使思維深度遷移.

三、實(shí)踐反思

（一）學(xué)習(xí)載體清晰，思維可視效率高

課堂上，教師以可視化的高階思維結(jié)構(gòu)圖為學(xué)習(xí)載體，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)構(gòu)建不同類型的思維結(jié)構(gòu)圖，不僅可以使學(xué)生直觀地看到如何提取題目中的關(guān)鍵信息并將其轉(zhuǎn)化為解決此問(wèn)題的方法，還可以使學(xué)生由此進(jìn)行思維的發(fā)散延伸.這樣就能在降低解析幾何問(wèn)題難度的同時(shí)，明顯提高課堂教學(xué)效率.

（二）教學(xué)過(guò)程整合，認(rèn)知結(jié)構(gòu)促完善

借助高階思維結(jié)構(gòu)圖，并在其中體現(xiàn)分析、推理、組織、分類等高階思維，讓學(xué)生在解決幾何問(wèn)題時(shí)進(jìn)入具體情境去演繹和歸納整個(gè)問(wèn)題的過(guò)程，可強(qiáng)化其對(duì)通性通法的綜合運(yùn)用和數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解.同時(shí)，同伴之間相互探討，有助于學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提升數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).

（三）深度學(xué)習(xí)顯化，知識(shí)遷移見(jiàn)本質(zhì)

繪制高階思維結(jié)構(gòu)圖，可以促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展，幫助學(xué)生從知識(shí)、思想、方法三個(gè)角度去探究問(wèn)題的本質(zhì)特征，搭起解題的整體框架并織成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).在層層遞進(jìn)剖析問(wèn)題加深知識(shí)遷移的過(guò)程中，學(xué)生能有效地發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).