周茂定，藺鵬臻，張?jiān)?/p>

(1.甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué) 土木工程系，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

薄壁梁結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代橋梁及結(jié)構(gòu)工程中,剪切變形作為其撓曲力學(xué)特性的重要影響因素一直受國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[1-12]論述了關(guān)于T形、箱形薄壁梁的剪力滯、剪切變形等相關(guān)研究成果。這些研究文獻(xiàn)中常采用翼板位移差函數(shù)作為廣義位移來分析薄壁結(jié)構(gòu)的剪力滯效應(yīng)[2-6],部分學(xué)者[7-9]通過引入Timoshenko梁理論來反映薄壁梁的腹板剪切變形。翼板剪力滯[4]和腹板剪切變形[7]本質(zhì)均是由壁板的面內(nèi)剪切變形引起,可統(tǒng)稱為剪切效應(yīng)。在分析剪切廣義位移時(shí),文獻(xiàn)[2-12]常將其與初等梁撓曲混為一起,導(dǎo)致分析過程相對復(fù)雜。文獻(xiàn)[13-16]選取剪切引起的撓度作為獨(dú)立變形狀態(tài),使得薄壁結(jié)構(gòu)的剪切撓曲分析具有明確的物理意義,但分析過程仍以能量變分法[4-16]為基礎(chǔ)。利用該法獲得廣義位移的控制微分方程多為復(fù)雜的高次方程。同時(shí),該法也很難適用連續(xù)梁的剪切撓曲分析,導(dǎo)致該法不能廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程。我國JTG 3362—2018《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》[17]采用有效寬度來考慮T形及箱形梁的剪力滯效應(yīng)。該方法雖然分析簡便,但不能精確獲得撓曲應(yīng)力沿翼板的實(shí)際分布,也不能獲得薄壁梁的精確撓度。因此還需尋求適合工程應(yīng)用且精度較高的簡化分析方法。文獻(xiàn)[11-13]在研究箱梁懸臂板和頂板剪力滯翹曲位移時(shí)發(fā)現(xiàn)兩者剪應(yīng)變存在一定差異,進(jìn)而導(dǎo)致剪切翹曲應(yīng)力的求解不夠準(zhǔn)確。遺憾的是上述文獻(xiàn)并未明確給出翹曲應(yīng)力修正的表達(dá)式。

本文從薄壁梁各壁板的應(yīng)變與位移關(guān)系出發(fā),建立一種具有明晰力學(xué)機(jī)理的撓曲位移函數(shù)。選取剪切撓度為廣義位移,通過解耦撓曲性能建立剪切撓度及剪切翹曲應(yīng)力的簡化分析公式,并給出翼板翹曲應(yīng)力的合理修正公式。然后,利用中支點(diǎn)變形連續(xù)條件導(dǎo)出薄壁連續(xù)梁的簡化分析方法。最后通過數(shù)值算例驗(yàn)證本文方法的有效性及求解精度。

1 薄壁梁截面剪切撓曲函數(shù)分析

1.1 坐標(biāo)系及基本假設(shè)

選取受任意荷載p(z)的簡支對稱工字梁結(jié)構(gòu)見圖1,采用正交直角坐標(biāo)系,x和y軸為橫截面的形心主軸,z軸為梁縱軸。對于組成薄壁梁截面的各壁板,可認(rèn)為其應(yīng)力沿壁厚均勻分布。因此,建立沿各壁板中心線的流動坐標(biāo)系n-s-z,流動坐標(biāo)s以順時(shí)針方向?yàn)檎?n為各平面的法向坐標(biāo),見圖1(b)。圖1(b)中,a、b表示工字梁上、下翼板的半寬;ha、hb為形心至上、下翼板厚中心的距離;h為梁高;t為截面各壁厚度。

圖1 受均布荷載的簡支梁

在小變形條件下,薄壁梁截面保持剛性不變形[17],忽略各壁板的面外剪切變形和正應(yīng)力。若用u表示z軸位移,v表示周向s軸位移,基于上述假設(shè)可知,截面各壁板將滿足彈性理論中的平面應(yīng)力方程[18]。因此,各壁板平面內(nèi)的位移分量與變形分量之間關(guān)系為[18]

( 1 )

( 2 )

式中:εz為梁軸向應(yīng)變;γsz為各壁板的面內(nèi)剪切應(yīng)變。

1.2 考慮剪切變形影響的撓曲分析

對于薄壁梁翼板,由截面的剛性不變形可知v沿z軸保持不變,即?v/?z=0。根據(jù)剪應(yīng)力表達(dá)式及式( 2 )可得分別由u2(z)與u4(z)表示的工字梁上、下翼板的縱向位移ua、ub[10,15]表達(dá)式分別為

( 3 )

( 4 )

顯然,u2(z)和u4(z)點(diǎn)也是腹板頂、底部的縱向位移。根據(jù)薄壁梁彎曲理論[17]可求得工字梁腹板3點(diǎn)(形心處)的剪應(yīng)力為

( 5 )

式中:A為薄壁梁截面面積;Aa為梁上翼板面積;α1為腹板剪切系數(shù)。

由式( 5 )可得腹板的任意點(diǎn)的剪應(yīng)力τw為

( 6 )

由式( 2 )與式( 6 )可求得梁腹板的剪應(yīng)變γw為

( 7 )

若令w1(z)表示薄壁梁考慮剪切變形影響的豎向位移,則w′1(z)=?v/?z。從3點(diǎn)起對式( 7 )關(guān)于s進(jìn)行積分,并轉(zhuǎn)化為y坐標(biāo)可得腹板的縱向撓曲位移uw為

( 8 )

式中:α2稱為腹板翹曲系數(shù),α2=1/(3A);u3(z)為積分起點(diǎn)常數(shù)。

顯然,由式( 8 )可表示縱向位移u2(z)和u4(z)。綜合式( 3 )、式( 4 )及式( 8 ),可求得薄壁梁截面的撓曲縱向位移u的表達(dá)式為

u(x,y,z)=-yw′1(z)+[α1y-α2y3+α3(x)]·

( 9 )

式中:α3(z)稱為翼板剪切翹曲函數(shù),其表達(dá)式為

(10)

式( 9 )為考慮剪切變形影響時(shí),薄壁梁截面的縱向位移函數(shù)。對于單軸對稱的薄壁箱梁[15-16]、T梁考慮剪切變形的位移函數(shù)分析過程與工字梁相同,在此不在贅述。

2 截面平衡條件分析

梁的豎向位移分解見圖2。若將梁的撓曲位移w1(z)分解為初等梁撓曲w0(z)與剪切撓曲ws(z)兩種變形狀態(tài),則有

圖2 梁的豎向位移分解

w1(z)=w0(z)+ws(z)

(11)

將式(11)代入式( 9 )中,再由式( 1 )及胡可定理可得梁截面的正應(yīng)力σ為

σ(x,y,z)=-yEw″0(z)-yEw″s(z)+[α1y-α2y3+

(12)

顯然,式(12)右端第1項(xiàng)為初等梁理論下截面的正應(yīng)力σ0。若仍保持w0滿足初等梁理論下?lián)锨鷥?nèi)力平衡,則σ0沿全截面不合成軸力,且σ0以y為力臂合成截面的彎矩M。因此,式(12)右端其余項(xiàng)則為剪切翹曲應(yīng)力σs,其沿截面不合成軸力,且以y為力臂不合成力矩,即

yEw″s(z)+Eu′3(z)

(13)

(14)

(15)

將式(13)代入式(14)中化簡整理后可得

(16)

式中:α41與α42分別稱為腹板與翼板剪切修正系數(shù),其表達(dá)式為

(17)

(18)

其中,Ab為下翼板的面積。

式(16)兩邊關(guān)于z積分便可求得含有積分常數(shù)的u3(z)表達(dá)式,而由于彈性小變形假設(shè)忽略梁軸線伸長,即截面不產(chǎn)生剛體位移,因而積分常數(shù)為0。將式(16)代入式(13)后,再代入式(15)可得

(19)

式中:系數(shù)λ=Ix/Iyα,Ix為梁截面慣性矩,Iyα可稱為剪切慣性積,其表達(dá)式為

(20)

根據(jù)式(19)的關(guān)系,結(jié)合式( 9 )可得剪切翹曲縱向位移us為

us(x,y,z)=-ω(x,y)w′s(z)

(21)

式中:ω(x,y)為剪切翹曲位移函數(shù),ω(x,y)=y-λα(x,y),α(x,y)=yα1-y3α2+α3(x)+α4。

對于其他單軸對稱的箱形、T形面分析過程與工字梁相似,差異為截面參數(shù)值的不同。

3 簡化分析方法及翹曲應(yīng)力的修正

求解剪切撓曲位移的經(jīng)典方法是根據(jù)式(21)及能量變分法[4-16]可導(dǎo)出ws的控制微分方程為

(22)

式中:k為剪切常數(shù),其表達(dá)式為

(23)

3.1 靜定梁的簡化分析方法

剪切翹曲控制微分方程式(22)的求解相對復(fù)雜,且由于解析表達(dá)式較為復(fù)雜,對連續(xù)梁很難得到解析式,而限制其工程應(yīng)用。因此,本文將提出新的簡化分析方法。

(24)

式中:μ為泊松比,由E/(2G)=1+μ得出。

根據(jù)式(19)及其與截面縱向位移的關(guān)系積分可得截面的剪切撓度ws為

(25)

式中:D為積分常數(shù),需根據(jù)薄壁梁剪切撓度ws的邊界條件確定。

圖3 剪力不連續(xù)點(diǎn)等效分析

在分析剪切撓曲變形狀態(tài)時(shí),將圖3(a)中的集中荷載P轉(zhuǎn)化為分布荷載p(z)分析。通過分析撓曲微分方程式(22)的解可知[14-15],w″s(z)在剪力不連續(xù)點(diǎn)分別以ekz和e-kz的形式對稱分布于P的兩側(cè)(如圖3(b)所示)。而由式(24)可知,p(z)的分布形式將與w″s(z)相同,設(shè)P的等效分布荷載集度為

p(z)=βPe-kz。

(26)

式中:β為分布荷載集度系數(shù)。

由于工程常用梁的等效分布荷載的主要影響范圍ln較小,梁長相對ln可近似認(rèn)為是∞。對y軸以右的分布荷載進(jìn)行積分必然為合力P/2,從而可求得β為0.5k,從而可求得剪力不連續(xù)點(diǎn)的等效分布荷載。

3.2 連續(xù)梁的簡化方法

對圖4(a)所示的多跨連續(xù)梁,中支點(diǎn)的剪切支反力即為剪力不連續(xù)點(diǎn)的集中荷載P1-i(i=1,2,…)見圖4(b)。值得注意的是,剪切支反力與初等梁的支反力不同。在結(jié)構(gòu)力學(xué)中求解P1-i的常用方法是根據(jù)連續(xù)梁中支點(diǎn)剪切撓度ws為0的條件,列方程組求解各支點(diǎn)的剪切反力,從而求解進(jìn)一步分析剪切變形。

圖4 連續(xù)梁中支點(diǎn)的等效轉(zhuǎn)換

然而,上述分析方法涉及復(fù)雜方程組的求解,分析過程十分復(fù)雜。由式(25)可知,連續(xù)梁邊支點(diǎn)剪切撓度為0,使得積分常數(shù)D必然為0。因此,在中支點(diǎn)處ws=0的條件將轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)的彎矩為0,進(jìn)而連續(xù)梁的剪切撓曲將轉(zhuǎn)為多跨簡支梁形式,見圖5(a)。當(dāng)忽略剪切支反力P1-i的分布荷載對梁彎矩影響時(shí),可近似為圖5(b)所示簡支梁進(jìn)行分析。

圖5 連續(xù)梁的簡化轉(zhuǎn)換

3.3 剪切翹曲應(yīng)力的修正

為驗(yàn)證上述簡化理論的求解精度,以文獻(xiàn)[19]承受均布荷載q的簡支矩形截面梁為例進(jìn)行分析。設(shè)梁厚t0=1,高度h。由式(24)～式(25)可求得的剪切撓度ws與翹曲應(yīng)力為σs分別為

(27)

(28)

按照彈性平面梁[18]理論計(jì)算表達(dá)為

(29)

(30)

對比式(27)、式(28)與式(29)、式(30)可知,按本文簡化方法計(jì)算所得的剪切撓度與彈性理論解相比為24(1+μ)/(24+15μ)。實(shí)際工程中由于泊松比μ在0.1～0.3之間,對于剪切撓度的差異在1.03～1.09之間,其差異可以忽略。剪切翹曲應(yīng)力式(28)與式(30)相比,則多1+μ的系數(shù)。該對比結(jié)果與文獻(xiàn)[20]的研究結(jié)論相同,即如果板條承受沿邊緣線的拉力時(shí),泊松比對彎曲應(yīng)力無影響,如該矩形平面梁,若板條受到邊緣之間拉伸荷載作用時(shí),需考慮泊松比影響,如工字梁、箱梁的翼板承受腹板傳遞的剪力。因此,翼板的剪切翹曲應(yīng)力需進(jìn)一步修正。

由文獻(xiàn)[20]的研究成果,當(dāng)水平板條承受板縱向的線性拉伸(壓縮)荷載qz時(shí),見圖6,板條的縱向修正翹曲應(yīng)力σc與未修正翹曲應(yīng)力σu分別為

刺史呂某……致祭于蘇升、陳寅、李寬、秦陳甫、魯余之靈。爾等五人感余誠信，力輸公稅，爭赴先期。溪山阻深，淫潦暴至，不忍欺我，忘其險(xiǎn)艱。[6]6372

圖6 矩形板條受線性拉伸荷載

σc(χ,z)=-(2+μ)[1-3(1-φ)2-3χ2-

(31)

σu(χ,z)=-(2+μ)[1-3(1-φ)2-3χ2|+

(32)

式中:φ=c/a,a為翼板寬,c為剪力作用點(diǎn);χ=x/a;ξ為平面板的截面的常數(shù);“∣”表示選擇,當(dāng)0≤x≤c(-c≤x≤0)時(shí),豎線后面不考慮,當(dāng)c≤x≤a(-a≤x≤-c)時(shí),則豎線取消;對于薄壁梁的翼板,qz即相當(dāng)于截面腹板傳遞給翼板的剪力。

利用該平面板條的翹曲應(yīng)力式(31)和式(32)的應(yīng)力差比來對本文所得的翹曲應(yīng)力進(jìn)行修正。定義翹曲應(yīng)力的修正系數(shù)為ψ,其表示用修正的翹曲應(yīng)力式(31)計(jì)算翼板的板寬范圍翹曲應(yīng)力差與用式(32)計(jì)算的翹曲應(yīng)力差之比。

對圖1(b)所示截面,荷載作用點(diǎn)為c=0,即φ=0。分別用式(31)與式(32)計(jì)算翼板χ=0與χ=1處的翹曲應(yīng)力之差分別為Δσc與Δσu,則ψ為

(33)

若用Δσs表示按式(24)計(jì)算的翼板在χ=0與χ=1處應(yīng)力差,如圖7點(diǎn)劃線,則實(shí)際應(yīng)力差Δσc=ψΔσs。

圖7 剪切翹曲應(yīng)力的修正

同樣,對于荷載作用于閉口箱梁腹板(φ=1)時(shí),翼板的修正系數(shù)ψ值為

(34)

對于帶懸臂板的箱梁截面,閉口頂、底板的修正系數(shù)與式(34)相同,而開口懸臂板的修正系數(shù)ψ值為

(35)

4 數(shù)值算例

4.1 剪切翹曲應(yīng)力修正系數(shù)分析

為驗(yàn)證本文提出翹曲應(yīng)力修正方法的正確性,以文獻(xiàn)[4,11-12]中帶懸臂板的箱梁算例為對象,進(jìn)行分析。根據(jù)文獻(xiàn)算例給出的φ和μ值,分別計(jì)算頂板、懸臂板的應(yīng)力差值比系數(shù)ψ1和ψ2。利用ψ1和ψ2計(jì)算兩板的應(yīng)力差值比η。作為對比,基于文獻(xiàn)[4,11-12]的空間有限元應(yīng)力結(jié)果,計(jì)算懸臂板與頂板的應(yīng)力差值比ηFEM,計(jì)算結(jié)果見表1。表1中,η0為未修正翹曲應(yīng)力的差值比,η0=(1-φ)2/φ2;η=η0(ψ2/ψ1)。

表1 應(yīng)力差值系數(shù)及差值比分析

對比表1中不同板寬比和不同材料泊松比下,η與ηFEM的分析結(jié)果可知,本文方法獲得應(yīng)力差值比與空間有限元結(jié)果吻合較好,可說明式(33)～式(35)計(jì)算的應(yīng)力修正系數(shù)ψ可靠性較強(qiáng)。對比未修的翹曲應(yīng)力差值比η0與ηFEM可知,兩者差異較大。通過表1的分析,并結(jié)合式(33)～式(35)可知,翹曲應(yīng)力修正系數(shù)與板寬比φ和材料泊松比μ均有關(guān)。

4.2 簡支梁撓曲分析

以圖1所示的簡支工字型截面梁為例進(jìn)行分析。設(shè)截面的上、翼板寬a=b=100 mm,厚度均為6 mm;腹板高h(yuǎn)=200 mm,厚度為16 mm;梁的跨度l=800 mm,材料的彈性模量為3 000 MPa,泊松比μ分別設(shè)為0、0.2和0.385。均布荷載作用于全梁腹板頂部,荷載值為p=10 N/mm。

作為對比驗(yàn)證,選用Ansys中的Shell63殼單元建立該簡支梁的空間有限元模型(3D FEM)。全橋以四邊長為10 mm的單元進(jìn)行劃分,共劃分為4 800個(gè)單元和4 941個(gè)節(jié)點(diǎn)。采用簡化方法及3D FEM分別計(jì)算材料泊松比為0、0.2、0.385時(shí),跨中截面上半翼板的撓曲應(yīng)力結(jié)果見表2。為減小荷載作用處應(yīng)力集中的影響,表1中FEM結(jié)果為截面上、下翼板應(yīng)力的平均值。

表2 上半翼板的撓曲應(yīng)力 MPa

對比表2中不同材料泊松比所對應(yīng)的撓曲應(yīng)力可知:材料泊松比μ對翼板的撓曲應(yīng)力結(jié)果有一定影響;材料泊松比μ對翼板的撓曲應(yīng)力差有影響。因此,在求解薄壁梁翼板應(yīng)力時(shí)需考慮泊松比影響。對比不同材料泊松比下本文方法所得應(yīng)力與FEM結(jié)果可知,當(dāng)μ=0時(shí),兩者應(yīng)力最大誤差為2.3‰;當(dāng)μ=0.2時(shí),兩者應(yīng)力最大誤差為1.2%;當(dāng)μ=0.385時(shí),兩者應(yīng)力最大誤差為2.3%。通過上述分析可得采用本文簡化方法可得到較為精確的撓曲應(yīng)力。

為驗(yàn)證簡化分析方法對撓度計(jì)算的適用性,分別按初等梁理論、簡化方法及3D FEM計(jì)算簡支薄壁梁的撓度曲線見圖8。

圖8 荷載作用下的撓度曲線

對比觀察圖8可知,按照簡化方式計(jì)算的撓度值與3D FEM結(jié)果吻合良好,說明本文方法求解撓度精度較高。在均布荷載作用下,剪切撓度為初等梁撓度的0.55倍,可見剪切變形對薄壁梁的撓度影響較大。

4.3 連續(xù)梁的撓曲分析

為驗(yàn)證本文提出的連續(xù)梁簡化分析方法的有效性,選取4.2節(jié)中截面尺寸,連續(xù)梁的跨徑組合為(1 000+1 200+1 000)mm。材料參數(shù)和4.2節(jié)相同,泊松比設(shè)為0.385。承受的荷載工況為:均布荷載p=10 N/mm;邊跨、中跨的跨中部均承受集中荷載P=5 kN。按照3.2節(jié)所述的簡化方法求解連續(xù)梁在工況1、2荷載下中支點(diǎn)的剪切支反力值P1和P2。同時(shí),采用變分法[14]求解剪切支反力,并將上述方法求得的剪切支反力見表3。表3中,差值比=(簡化計(jì)算值-精確值)/精確值。

表3 中支點(diǎn)的剪切支反力

由表3差值比結(jié)果可知,按照簡化分析方式求得剪切支反力與精確值相差在3%以內(nèi)。顯然,按照簡化方式可以滿足工程要求。

為驗(yàn)證簡化分析方式求解連續(xù)梁應(yīng)力的準(zhǔn)確性,不同荷載下簡化分析方法與空間有限元(3D FEM)方式求得的腹板頂點(diǎn)應(yīng)力縱向分布結(jié)果見圖9。

圖9 不同荷載條件下腹板頂點(diǎn)應(yīng)力沿梁軸的分布圖

由圖9可知,除去圖9(b)中集中荷載作用處截面,其余各截面采用本文簡化方法求得的應(yīng)力與3D FEM結(jié)果吻合良好。集中荷載處截面的差異是因應(yīng)力集中導(dǎo)致。通過對比分析結(jié)果可說明簡化方式求得連續(xù)梁的應(yīng)力具有足夠精度。

表4分別給出了采用本文簡化方法、精確方法[14]與3D FEM方式計(jì)算的連續(xù)梁邊跨和中跨跨中截面的撓度結(jié)果。表4中,wJs與ws分別為精確解與簡化方法所得的剪切撓度,差值比=(wJs-ws)/(3D FEM)。

表4 跨中撓度對比

由表4的對比分析可知,按照兩種方法計(jì)算的薄壁梁跨中撓度與3D FEM的計(jì)算結(jié)果均吻合良好,采用本文簡化方式與精確方法計(jì)算的撓度相差均在6%以內(nèi),說明簡化方法精度滿足工程要求;工況1荷載下,邊跨剪切撓度約為初等梁撓度的0.84倍,中跨約為1.31倍;工況2荷載下,邊跨剪切撓度約為初等梁撓度的0.83倍,中跨約為1.68倍;對比簡支梁結(jié)果可知,剪切變形對連續(xù)梁的影響更為重要。

5 結(jié)論

1)從薄壁梁各壁板的剪切應(yīng)變與位移的關(guān)系出發(fā),導(dǎo)出考慮剪切變形影響的撓曲位移函數(shù)。選取剪切變形引起的撓度為獨(dú)立位移,通過解耦撓曲性能獲得了剪切撓度與翹曲應(yīng)力的簡化公式。

2)基于平面板條的應(yīng)力分析結(jié)果,導(dǎo)出薄壁梁翼板翹曲應(yīng)力的修正計(jì)算式。利用中支點(diǎn)變形連續(xù)條件,給出連續(xù)梁的剪切撓曲簡化分析方法。

3)與傳統(tǒng)分析方法相比,本文方法求解過程簡便,且對連續(xù)梁的適用性較強(qiáng),便于在實(shí)際工程應(yīng)用。

4)數(shù)值算例表明,本文方法求得的應(yīng)力結(jié)果與3D FEM結(jié)果最大誤差在3%以內(nèi),撓最大誤差為6%以內(nèi),說明本文方法可靠且精度較高;材料的泊松比及板寬比對薄壁梁翼板的翹曲應(yīng)力影響較大。