廣東省東莞市常平中學(xué)(523570)蔡心耿

1 題目及解答

題目已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有兩個相同的最值.

(1)求a;

(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

解法1(1)a=1(過程從略);

(2)對于f(x),x∈R,f′(x)=ex-1,當(dāng)x∈(-∞,0)時,f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增,f(x)min=f(0)=1;對于g(x),x∈(0,+∞),g′(x)=當(dāng)x∈ (0,1) 時,g′(x) ＜ 0,g(x) 單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(1,+∞) 時,g′(x)＞0,g(x) 單調(diào)遞增,g(x)min=g(1)=1;

先證f(x)=ex-x與g(x)=x-lnx有唯一交點,即證:ex+lnx-2x=0 在(0,+∞) 有唯一解,令h(x)=ex+lnx-2x,h′(x)=ex+-2 ≥0,故h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,當(dāng)x=當(dāng)x=1,h(x)=e-2＞0,故存在唯一x1∈(0,+∞),使得x1-lnx1,因為故(lnx1,b)在f(x)上,故在g(x) 上,且故有從左到右不同三點這三點橫坐標(biāo)滿足證畢.

解法2(幾何意義1)f(x)=ex-x=|ex-x|(ex＞x) 的幾何意義可看作為曲線y=lnx上一點B(ex,x) 到y(tǒng)=x的水平距離的函數(shù)(即距離|BC|),g(x)=x-lnx=|x-lnx|(x＞lnx)的幾何意義可看作為曲線y=ex上一點A(lnx,x)到y(tǒng)=x的水平距離的函數(shù)(即距離|AC|),如圖1.

圖1

故原題意等價于證明存在水平距離長度為b＞0 及x1,使得b等于上述兩水平距離,即b=f(x1)=g(x1),且三個點橫坐標(biāo)成等差數(shù)列,即成等差數(shù)列.

取x＞0,y=ex上一點A(lnx,x) 到y(tǒng)=x的水平距離為g(x)=|x-lnx|=x-lnx(x＞lnx),y=lnx上一點B(ex,x) 到y(tǒng)=x的水平距離為f(x)=|ex-x|=ex-x(ex＞x),先證x-lnx=ex-x有唯一解.同解法1 證得:存在x=x1是方程ex+lnx=2x在(0,+∞)唯一解,即成等差數(shù)列,此時取即b=f(x1)=g(x1),證畢.

解法3(幾何意義2)f(x)=exx的幾何意義可看作為曲線y=ex上一點D(x,ex)到y(tǒng)=x的鉛垂距離函數(shù)(即距離|DC|),g(x)=x-lnx的幾何意義可看作為曲線y=lnx上一點E(x,lnx)到y(tǒng)=x的鉛垂距離函數(shù)(即距離|CE|),如圖2.

圖2

故原題意等價于證明存在鉛垂距離長度為b＞0 及x1,使得b等于上述兩鉛垂距離,即b=f(x1)=g(x1),且三個點縱坐標(biāo)成等差數(shù)列,即成等差數(shù)列.

取x＞0,y=ex上一點D(x,ex)到y(tǒng)=x的鉛垂距離為f(x)=ex-x,y=lnx上一點E(x,lnx)到y(tǒng)=x的鉛垂距離為g(x)=x-lnx,先證x-lnx=ex-x有唯一解.同解法1 證得:存在x=x1是方程ex+lnx=2x在(0,+∞) 唯一解,即成等差數(shù)列,此時取即b=f(x1)=g(x1),證畢.

解法4(幾何意義3) 對數(shù)函數(shù)y=lnx圖像上任意不同的兩點A(ex,x),B(x,lnx)(0 ＜lnx＜x＜ex),如圖3,記兩點的縱坐標(biāo)增量為Δy=x-lnx=g(x),橫坐標(biāo)增量Δx=ex-x=f(x),原題意等價于證明存在實數(shù)b及x1,使得即割線AB斜率且lnx1,x1,ex1成等差數(shù)列.

圖3

評析解法2、解法3 和解法4 分別運用了f(x)與g(x)的不同的幾何意義解題.

有意思的是將圖1 和圖2 兩圖合起來就成了正方形,這與文[1]的證法3 有異曲同工之妙,如圖4.

圖4

解法4 是將f(x) 與g(x) 理解成y=lnx上A(ex,x),B(x,lnx)(x＜ex)兩點連線的因變量增量和自變量增量,進(jìn)而轉(zhuǎn)化證明割線斜率值為1,這時“1”也為y=x的斜率,即割線平行y=x.當(dāng)然,我們也可以將f(x)與g(x)理解成y=ex上兩點D(x,ex)和E(lnx,x)連線的因變量增量和自變量增量,進(jìn)而轉(zhuǎn)化證明割線斜率值為1,如圖3.圖3 與圖4 也有貌離神合之妙.

上述利用幾何意義解法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,凸顯直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 試題探源

2.1 母題溯源

溯源題目1(2013 年高考江蘇卷) 設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a為實數(shù).

(1) 若f(x) 在(1,+∞) 上是單調(diào)減函數(shù),且g(x) 在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范圍.

(2)若g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),試求f(x)的零點個數(shù),并證明你的結(jié)論.

評析這兩道高考題中主體函數(shù)f(x)=lnx-ax、g(x)=ex-ax是一致的,只是題設(shè)不同:江蘇卷的題目更多考察這兩個含參函數(shù)各自性質(zhì),而2022 年新高考Ⅰ卷第22題更多考察f(x)與g(x)兩函數(shù)圖像之間的性質(zhì),如距離與對稱性等,這提示我們在備考中,應(yīng)當(dāng)注重真題的研究,同時,注重學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

2.2 教材探源

第一,新教材必修第一冊中,介紹了基本初等函數(shù)y=ax,y=x,y=logax(a＞0 且a?= 1) 三者的關(guān)系:y=ax圖像與y=logax圖像關(guān)于y=x對稱,并稱y=ax與y=logax(a＞0 且a?= 1)為互為反函數(shù),而且介紹了新教材中y=ax,y=x,y=logax(a＞1)這三個圖像增長速度快慢問題,特別是y=ex,y=x,y=lnx三者增長速度快慢問題,所以作為教師應(yīng)結(jié)合函數(shù)圖像,加強對基本概念對比教學(xué),發(fā)展學(xué)生直觀想象,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

第二,上述新教材必修一第一冊從幾何直觀感性角度來介紹y=ex,y=x,y=lnx三者增長速度快慢,而在新教材選擇性必修第二冊的導(dǎo)數(shù)章節(jié)課后習(xí)題從理性代數(shù)證明方式給出了lnx,x,ex的大小關(guān)系:lnx＜x＜ex(x＞0).

結(jié)合上述兩點可知,這三個基本初等函數(shù)在教材中出現(xiàn)的頻率頗高,可見這是我們復(fù)習(xí)備考的重點.總之,2022 新高考Ⅰ卷導(dǎo)數(shù)壓軸題很好地踐行“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”命題原則,加大了改革力度,突出了對學(xué)生能力與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.

3 推廣

3.1 橫向推廣

命題1已知函數(shù)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,且從右到左的三個交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.

證明f(x)=的幾何意義可看作為曲線y=lnx上一點A(ex,x) 到原點連線的斜率函數(shù),記為幾何意義為曲線y=ex上一點B(lnx,x)到原點連線的斜率的倒數(shù)函數(shù),記為即故題意等價于證明存在斜率值為b及x0(x0?=1),使得且三點橫坐標(biāo)成等比數(shù)列,即成等比數(shù)列,如圖5.

圖5

先證k1(x)=有唯一解.即證有唯一解.變形得方程exlnx-x2=0 在(0,+∞)有唯一解,顯然x=1 不是上述方程的解.

評析既然是推廣,那么我們也應(yīng)該從幾何意義來解析,于是我們從f(x)與g(x) 的斜率和斜率倒數(shù)的幾何意義出發(fā),除了類比得到成等比數(shù)列之外,還有得到比較有趣的結(jié)論(參見圖6).

圖6

其一,k1(x0)·k2(x0)=1,且這里的“1”就是y=x的斜率k=1,即直線OB與直線OA關(guān)于y=x對稱;

其二,設(shè)直線OA交于y=lnx另一點D(x,lnx)(x＜ex),則點B與點D關(guān)于y=x對稱; 反之,若點B與點D關(guān)于y=x對稱,則O,D,A三點共線.

3.2 縱向推廣

命題2已知函數(shù)f(x)=ax-x和g(x)=x-logax,證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

證明1°先證y1=ax與y2=logax,無交點.由于y=ax圖像與圖像關(guān)于y=x對稱,兩者為互為反函數(shù),故只需證y=ax與y=x無交點即可,即ax-x=0 無解.

2°f(x)=ax-x的幾何意義為曲線y=logax上一點B(ax,x) 到y(tǒng)=x的水平距離;g(x)=x-logax的幾何意義為曲線y=ax上一點A(logax,x)到y(tǒng)=x的水平距離.故原題意等價于證明存在水平距離長度為b＞0 及x0使得b等于上述兩水平距離,即b=f(x0)=g(x0),且成等差數(shù)列,圖像請參考圖1

取x＞0,y1=ax上一點A(logax,x) 到y(tǒng)=x的水平距離為x-logax,y2=logax上一點B(ax,x)到y(tǒng)=x的水平距離為ax-x,需證x-logax=ax-x有解.令先證h′(x)＞0 在(0,+∞)恒成立,即證令令m(x)=-2(lna)2x2+lna·x+1=0,解得x1=

當(dāng)x∈(0,x2),F′(x)＞0,F(x) 單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(x2,+∞),F′(x) ＜0,F(x)單調(diào)遞減,故當(dāng)時,(因為故h′(x)＞0 在(0,+∞)恒成立,h(x)=ax+logax-2x在(0,+∞)單調(diào)遞增,當(dāng)x→0+,h(x)→-∞,當(dāng)x→+∞,h(x)→+∞,故存在唯一x0∈(0,+∞),使得h(x)=ax+logax-2x=0,即故成等差數(shù)列,此時取即b=f(x0)=g(x0),證畢.

注關(guān)于的證明:只需證exlna＞x,即證xlna＞lnx,構(gòu)造函數(shù)n(x)=xlna-lnx即可,請讀者自證.

4 結(jié)束語

直觀想象是一種特殊的數(shù)學(xué)能力[2],它通過“形”的想象,研究變化趨勢,預(yù)測變化結(jié)果,達(dá)到指引解決問題的方向、優(yōu)化運算的目的,同時也是數(shù)形結(jié)合思想方法上的呈現(xiàn)形式.善于利用圖形等幾何語言對代數(shù)知識進(jìn)行解析,引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度審視代數(shù)的問題,時常會有不一樣的解決問題的途徑.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過:“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難如微”,可見數(shù)形結(jié)合思想方法的重要性.