■河南省鄭州龍湖一中 張欣濤

一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

1.若直線mx+y+2m-1=0 與直線x+my+1=0 平 行,則 實 數m的 取 值 為( )。

A.1或-1 B.-1 C.1 D.0 2.頂點在坐標原點,焦點是雙曲線的左焦點的拋物線標準方程是( )。

A.x2=12yB.y2=-12x

C.y2=-4xD.y2=12x

4.下列說法正確的是( )。

A.在兩個坐標軸上截距相等的直線都可以用方程x+y=a(a∈R)表示

B.方程x+my-2=0(m∈R)表示的直線斜率一定存在

C.直線l過點(-2,3),且原點到l的距離是2,則l的方程是5x+12y-26=0

D.坐標平面內過點P(x0,y0)的直線Ax+By+C=0 還可以寫成A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0)

5.如圖1,在棱長都相等 的 正 三 棱 柱ABCA1B1C1中,D是 棱CC1的中點,E是棱AA1上的動點。設|AE|=x,隨著x的增大,平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角( )。

圖1

A.逐漸增大 B.先增大再減小

C.逐漸減小 D.先減小再增大

6.太極圖被稱為“中華第一圖”。從孔廟大成殿梁柱,到樓觀臺、三茅宮標記物;從道袍、卦攤、中醫(yī)、氣功、武術到韓國國旗,太極圖無不躍居其上。這種廣為人知的太極圖,其形狀如陰陽兩條魚互抱在一起,因而被稱為“陰陽魚太極圖”。如圖2所示的陰陽魚圖案,陰影部分可表示為:

圖2

設點(x,y)∈A,則z=2x+y的最大值與最小值之和是( )。

8.如圖3所示,拋物面天線是指由拋物面(拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面)反射器和位于焦點上的照射器(饋源,通常采用喇叭天線)組成的單反射面型天線,廣泛應用于微波和衛(wèi)星通信等領域,具有結構簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點。圖4 是圖3 的軸截面,A,B兩點關于拋物線的對稱軸對稱,F是拋物線的焦點,∠AFB是饋源的方向角,記為θ。焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比,它直接影響天線的效率與信噪比等。如果某拋物面天線饋源的方向角θ滿足tanθ=-4,則其焦徑比為( )。

圖3

圖4

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5 分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。)

9.已知點F為橢圓C:b>0)的左焦點,過原點O的直線l交橢圓于P,Q兩點,點M是橢圓上異于P,Q的一點,直線MP,MQ分別為k1,k2,橢圓的離心率為e。若|PF|=3|QF|,則( )。

10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,I分別為AD,AB,BB1,B1C1,D1C1的中點,則( )。

A.直線D1E與直線GD垂直

B.點D與點B到平面D1EF的距離相等

C.直線EF與平面HIG平行

D.D1F與GH的夾角為

11.圖5為陜西博物館收藏的國寶——唐金筐寶鈿團花紋金杯,杯身曲線內收,巧奪天工,是唐代金銀細作的典范。如圖6所示,該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C的右支與直線x=0,y=-2,y=4圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉一周得到的幾何體。若該金杯主體部分的上口外直徑為,下底外直徑為,雙曲線C與坐標軸交于D,E,則( )。

圖5

圖6

A.雙曲線C的方程為

C.存在一點,使過該點的任意直線與雙曲線C有兩個交點

D.存在無數個點,使它與D,E兩點的連線的斜率之積為3

12.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,點M是棱A1D1的中點,點P在面ABCD內(包含邊界),且,則( )。

A.點P的軌跡的長度為2π

B.存在點P,使得MP⊥A1C

C.直線MP與平面BDD1B1所成角的正弦值最大為

D.沿線段MP的軌跡將正方體ABCDA1B1C1D1切割成兩部分,挖去體積較小部分,剩余部分幾何體的表面積為88+2-1)π

三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分。)

13.過圓x2+y2-2x+4y-4=0 內 的點M(3,0)作一條直線l,使它被該圓截得的線段最短,則直線l的方程是____。

14.過點M(-1,m)作拋物線C:y2=2px(p>0)的兩條切線,切點分別為A(x1,y1)和B(x2,y2),又直線AB經過拋物線C的焦點F,那么____。

15.如圖7,已知平面四邊形ABCD,|AB|=|BC|=3,|CD|=1,|AD|=,∠ADC=90°。沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′,直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是____。

圖7

16.對于平面上點P和曲線C,任取C上一點Q,若線段PQ的長度存在最小值,則稱該值為點P到曲線C的距離,記作d(P,C)。下列結論中正確的是_____。

①若曲線C是一個點,則點集D={P|d(P,C)≤2}所表示的圖形的面積為4π;

②若曲線C是一個半徑為2的圓,則點集D={P|d(P,C)≤1}所表示的圖形的面積為9π;

③若曲線C是一個長度為2的線段,則點集D={P|d(P,C)≤1}所表示的圖形的面積為π+4;

④若曲線C是邊長為9的等邊三角形,則點集D={P|d(P,C)≤1}所表示的圖形的面積為

四、解答題(本題共6小題,共70分,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(本小題10 分)已知直線l:ax+(2-a)y+1=0。

(1)若直線l在x軸上截距和在y軸上截距相等,求a的值;

(2)若直線l與圓相切,求a的值。

18.(本小題12分)已知定點F(2,0),曲線C上任意一點P(x,y)(x≥0)到定點F(2,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2。

(1)求曲線C的方程。

(2)過點F任作一直線l與曲線C交于A,B兩點,O為坐標原點,直線OA,OB與直線x=-2分別交于點M,N。試判斷以線段MN為直徑的圓是否經過點F,并說明理由。

19.(本小題12分)已知底面為正方形的四棱柱ABCD-A′B′C′D′,AD⊥AA′,|AD|=|AA′|=4,E,F,H分別為AA′,A′D′,C′D′的中點,△ABE的面積為4,P為直線FH上一動 點且

(1)求證:當λ=1時,BP⊥AC;

(2)求多面體B-ACC′E的體積;

(3)當λ=2時,求直線BP與平面BC′E夾角的正弦值。

20.(本小題12分)已知P為圓C:x2+y2-2x-15=0上一動點,點N(-1,0),線段PN的垂直平分線交線段PC于點Q。

(1)求點Q的軌跡方程。

(2)點M在圓x2+y2=3上,且M在第一象限,過點M作圓x2+y2=3的切線交Q點軌跡于A,B兩點,問△ABC的周長是否為定值,若是,求出定值;若不是,說明理由。

21.(本小題12 分)已知圓O:x2+y2=5,橢圓的左、右焦點為F1、F2,如圖8,P為圓上任意一點,過P分別作橢圓兩條切線切橢圓于A,B兩點。

圖8

(1)若直線PA的斜率為2,求直線PB的斜率。

(2)作PQ⊥AB于點Q,判斷點P在運動的過程中,△QF1F2的面積是否存在最大值。如果存在,求出最大值;如果不存在,說明理由。

22.(本小題12分)設橢圓C(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,下頂點為B,直線BF2的方程為x-y-b=0。

(1)求橢圓C的離心率。

(2)設P為橢圓上異于其頂點的一點,P到直線BF2的距離為,且△PF1F2的面積為。

①求橢圓C的方程;

②若斜率為k的直線l與橢圓C相切,過焦點F1,F2分別作F1M⊥l,F2N⊥l,垂足分別為M,N,求(|F1M|+|F2N|)·|MN|的最大值。