一、單選題

1.B 2.B 3.B 4.D 5.D

6.B 提示:如圖1,作直線2x+y=0,當(dāng)直線上移與圓x2+(y-1)2=1 相 切 時,z=2x+y取最大值。此時,圓心(0,1)到直線2x+y-z=0的距離等于1,即

圖1

解得z的最大值為

當(dāng)下移與圓x2+y2=4 相切時,2x+y取最小值。

所以z=2x+y的最大值與最小值之和是1-。

7.C 提示:直線l:kx-y-2k+1=0,即為k(x-2)+1-y=0,可得直線恒過定點(2,1)。

圓C2:(x-2)2+(y-1)2=1的圓心為(2,1),半徑為1,且C,D為直徑的端點。

8.C 提示:如圖2所示,建立直角坐標(biāo)系。

圖2

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),

二、多選題

9.AC 提示:設(shè)橢圓的右焦點F′,連接PF′,QF′,根據(jù)橢圓對稱性可知四邊形PFQF′為平行四邊形。

則|QF|=|PF′|,且由∠PFQ=120°,可得∠FPF′=60°。

所以|PF|+|PF′|=4|PF′|=2a,則

設(shè)M(x0,y0),P(x1,y1),則Q(-x1,-y1)

10.AB 提示:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以點D為原點,建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系,令|AB|=2。

圖3

則D(0,0,0),D1(0,0,2),B(2,2,0),E(1,0,0),F(2,1,0),G(2,2,1),H(1,2,2),I(0,1,2)。

由雙曲線的性質(zhì)可知,若過平面內(nèi)的任意一點的直線與雙曲線的漸近線平行,只與雙曲線有一個交點,所以不存在一點,使過該點的任意直線與雙曲線C有兩個交點,故C錯誤。

因此,雙曲線C上存在無數(shù)個點,使它與D,E兩點的連線的斜率之積為3,D正確。

故選ABD。

12.ACD 提示:如圖4,取AD的中點N,連接MN。

圖4

因為A1D1//AD且|A1D1|=|AD|,且M、N分別為A1D1、AD的中點,所以A1M//AN且|A1M|=|AN|,四邊形AA1MN為平行四邊形。

可得MN//AA1,且|MN|=|AA1|=4。

因AA1⊥底面ABCD,故MN⊥底面ABCD。因為NP?底面ABCD,所以MN⊥NP。

故點P的軌跡長度為π×2=2π,A正確。

以A為 原 點,AB、AD、AA1所 在 直線分別為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖5。

圖5

則A1(0,0,4),C(4,4,0),M(0,2,4),B(4,0,0),D(0,4,0),B1(4,0,4)。

如圖4,挖去部分為半圓錐,原正方體的表面積S=6×4×4=96。

挖去部分的面積S1=8+2π,新增部分的面積

所剩部分幾何體的表面積S-S1+S2=,故D 正確。

三、填空題

13.x+y-3=0

14.4 提示:由題意,顯然過點M(-1,m)作拋物線C:y2=2px的切線的斜率存在,可設(shè)斜率為k,則該切線方程為y-m=k(x+1),即y=kx+k+m。

由于切線與拋物線只有唯一交點,則Δ=(2k2+2km-2p)2-4k2(k2+2km+m2)=0,整理可得2k2+2km-p=0。

由題意可知kMA,kMB為方程2k2+2kmp=0的兩個根,則

由題意,設(shè)直線AB的方程為

圖6

16.①③④ 提示:設(shè)點P(x,y)。

對于①,若曲線C表示點(a,b),則,化簡可得(x-a)2+(y-b)2≤4。

所以,點集D={P|d(P,C)≤2}所表示的圖形是以點(a,b)為圓心,半徑為2的圓及其內(nèi)部。

點集D={P|d(P,C)≤2}所表示的圖形的面積為π×22=4π,①正確。

對于②,若曲線C表示以點M(a,b)為圓心,半徑為2的圓。

設(shè)Q為曲線C上一點,當(dāng)點P在曲線C內(nèi)時,當(dāng)且僅當(dāng)Q、P、M三點共線時,等號成立。

所以,d(P,C)=2-|MP|≤1,可得|MP|≥1,此時1≤|MP|<2。

當(dāng) 點P在 曲 線C外 時,,當(dāng)且僅當(dāng)Q、P、M三點共線時,等號成立。

所以,d(P,C)=|MP|-2≤1,可得|MP|≤3,此時2<|MP|≤3。

當(dāng)點P在曲線C上時,線段PQ的長不存在最小值。

綜上所述,1≤|MP|<2或2<|MP|≤3,即1≤(x-a)2+(y-b)2<4或4<(xa)2+(y-b)2≤9。

所以,點集D={P|d(P,C)≤1}所表示的圖形是夾在圓(x-a)2+(yb)2=1 和圓(x-a)2+(y-b)2=9 的 區(qū) 域(但 不包括圓(x-a)2+(y-b)2=4的圓周),如圖7。

圖7

此時,點集D={P|d(P,C)≤1}所表示圖形的面積為π×(32-12)=8π,②錯誤。

對于③,不妨設(shè)曲線C為線段AB,且|AB|=2。

當(dāng)點Q與點A重合時,由①可知,點集D表示的是以點A為圓心,半徑為1的圓。

當(dāng)點Q與點B重合時,點集D表示的是以點B為圓心,半徑為1的圓。

故當(dāng)點Q在線段AB上滑動時,點集D表示的區(qū)域是一個邊長為2 的正方形EFGD和兩個半徑為1的半圓所圍成的區(qū)域,如圖8。

圖8

此時,點集D的面積為π×12+22=π+4,③正確。

對于④,若曲線C是邊長為9的等邊三角形,設(shè)等邊三角形為△ABC。

由③可知,點集D構(gòu)成的區(qū)域由矩形ABRD、ACFE、BCWL,以及分別由點A、B、C為圓心,半徑為1,圓心角為的三段圓弧,和夾在等邊△ABC和等邊△STU中間的部分(包括邊界),如圖9。

圖9

四、解答題

18.(1) 由題意可知,C上任意一點M(x,y)到定點F(2,0)的距離與它到直線x=-2的距離相等,軌跡為拋物線。

設(shè)方程為y2=2px,則,p=4,故拋物線C的方程為y2=8x。

(2)設(shè)直線AB的方程為x=ty+2,

則lOA

因此,以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點F。

19.(1)設(shè)點E到AB的距離為h。因為△ABE的面積為4,|AE|=2,|AB|=4,所以,即h=2。

因為|AE|=2,所以AE⊥AB,即AA′⊥AB。

又AD⊥AA′,AD∩AB=A,AD?平面ABCD,AB?平面ABCD,所以AA′⊥平面ABCD。

當(dāng)λ=1時,,即P為FH的中點,則P在B′D′上。

又因為DD′//AA′,所以DD′⊥平面ABCD。

因為AC?平面ABCD,所以DD′⊥AC。

又AC⊥BD,DD′∩BD=D,DD′?平面BDD′B′,BD?平面BDD′B′,所以AC⊥平面BDD′B′。

又BP?平面BDD′B′,所以BP⊥AC。

(2)因為AA′⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以AA′⊥BD,即AE⊥BD。

又AC⊥BD,AE∩AC=A,AE?平面ACC′E,AC?平面ACC′E,所以BD⊥平面ACC′E。

因此,多面體B-ACC′E的體積

(3)由(1)知,DA,DC,DD′兩兩垂直。

如圖10,以D為原點,DA,DC,DD′所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系。

圖10

則D(0,0,0),B(4,4,0),E(4,0,2),C′(0,4,4),F(2,0,4),H(0,2,4)。

所以當(dāng)λ=2 時,直線BP與平面BC′E夾角的正弦值為

20.(1)由題意得,圓C:(x-1)2+y2=16,則圓心C(1,0),半徑r=4。

設(shè)PN中點為K,則QK為線段PN的垂直平分線,|PQ|=|QN|。

而|QN|+|QC|=|QP|+|QC|=r=4>|NC|=2,所以Q點軌跡是以C,N為焦點,長軸長為4 的橢圓,即a=2,c=1,則b2=a2-c2=3。

所以點Q的軌跡方程為

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意可得x1,x2∈(0,2)。

又直線PA的斜率為2,故直線PB的斜率為

(2)①當(dāng)切線PA,PB的斜率都存在時,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),切線PA,PB方程為y-yi=ki(x-xi),i=1,2。

由(1)得(4-x2i)k2+2xiyiki+1-y2i=0,i=1,2。(*)

②當(dāng)切線PA,PB的斜率有一個不存在時,不妨設(shè)PB斜率不存在,且B(2,0),P(2,1),A(0,1)。

而k≠0,|m|≠1,因此(|F1M|+|F2N|)·|MN|<4。

ii)當(dāng)k=0時,四邊形F1MF2N為矩形。

此時(|F1M|+|F2N|)·|MN|=(1+1)×2=4。

由i),ii)可知,(|F1M|+|F2N|)·|MN|的最大值為4。