■河南省許昌市高中數(shù)學(xué)胡銀偉名師工作室 胡銀偉

從近年高考命題情況來看,對橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)的考查常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),而直線與橢圓的位置關(guān)系主要出現(xiàn)在解答題中。同學(xué)們應(yīng)能夠熟練從“數(shù)”與“形”兩個角度來探究橢圓的取值范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì),且熟練利用代數(shù)法解答直線與橢圓有關(guān)的最值、定點(diǎn)、定值等問題。下面我們結(jié)合2023年高考真題,對橢圓的考點(diǎn)進(jìn)行解讀。

動力特性分析模型中，橋面板采用板單元模擬，其余桿件采用梁單元模擬，鋪裝和護(hù)欄等作為荷載模擬，全橋共劃分節(jié)點(diǎn)數(shù)量361個，梁單元數(shù)量626個，板單元數(shù)量264個。

考點(diǎn)1 對橢圓的方程及簡單幾何性質(zhì)的考查

例1(1)【2023 年全國甲卷文數(shù)第7題】設(shè)F1,F2為橢圓的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,若,則|PF1|·|PF2|=( )。

2.2.1 評價單元劃分 采用土壤圖、土地利用現(xiàn)狀圖和行政區(qū)劃圖的空間疊加，共劃分16 536個評價單元。

A.1 B.2 C.4 D.5

設(shè)F1到AB的 距 離 為d1,F2到AB的距離為d2,易知,則

2.2.3 專家意見的協(xié)調(diào)程度 在變異系數(shù)方面，第1輪3級指標(biāo)共59個，變異系數(shù)＜0.5的3級指標(biāo)有52個，占88%。第2輪的3級指標(biāo)變異系數(shù)均＜0.5。

古希臘締造出了眾多優(yōu)秀的哲學(xué)家，蘇格拉底就是當(dāng)時非常突出的一位。他開創(chuàng)了“倫理哲學(xué)”，標(biāo)志著哲學(xué)上的一種轉(zhuǎn)變，從此，人們不但研究自然，而且更多地將重心放在研究人類自身上。另一個重要的哲學(xué)家就是柏拉圖，他在哲學(xué)方面的地位和影響力在雅典乃至世界上都相當(dāng)巨大。柏拉圖是蘇格拉底的學(xué)生，是亞里土多德的老師，亞里土多德與柏拉圖是西方哲學(xué)界最有影響力的兩個人，柏拉圖主張形而上學(xué)的觀念，而亞里土多德更注重從感官獲得認(rèn)知和知識。

(3)【2023年全國甲卷理數(shù)第12題】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F1,F2為橢圓C的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,cos∠F1PF2=,則|OP|=( )。

命題意圖:本例的3 個題目都是考查橢圓的方程及簡單的幾何性質(zhì),考查同學(xué)們邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

解題思路:(1)方法一,根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出△PF1F2的面積,即可求解;方法二,可根據(jù)橢圓的定義及勾股定理進(jìn)行解答。(2)由給定的橢圓方程,結(jié)合離心率的定義進(jìn)行解答。(3)方法一,根據(jù)焦點(diǎn)三角形的面積公式求出△PF1F2的面積,可得點(diǎn)P的坐標(biāo),從而得|OP|的值;方法二,先利用橢圓的定義及余弦定理求出|PF1|·|PF2|,|PF1|2+|PF2|2的值,再結(jié)合中線的向量公式及數(shù)量積可得解;方法三,先利用橢圓的定義及余弦定理求出|PF1|2+|PF2|2的值,再根據(jù)中線定理求解。

考點(diǎn)解讀:在本例(1)、(3)的解答過程中,有效地利用了橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積公式的二級結(jié)論,使得問題易解。

例3【2023 年全國乙卷文數(shù)第21題】已知橢圓C的離心率是,點(diǎn)A(-2,0)在橢圓C上。

命題意圖:本例考查直線與橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離及與橢圓有關(guān)的三角形的面積,同時考查同學(xué)們直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

隨著社會發(fā)展進(jìn)步，以及環(huán)境污染等各種因素影響下，肺部真菌感染發(fā)生率呈持續(xù)性上升發(fā)展趨勢，對患者的正常生活、生活質(zhì)量以及身心健康均造成較嚴(yán)重影響。肺部真菌感染患者主要癥狀包括疼痛、原發(fā)癥狀發(fā)熱以及不同程度的呼吸困難等，且無特異性，因此早期診斷、早期治療該疾病的難度較大。采取何種檢查方法可以更有利于早期診斷、早期有效鑒別肺部真菌感染，以提高臨床治療效果十分重要。本次研究工作旨在探討CT在診斷與鑒別肺部真菌感染中的可行性研究。現(xiàn)報道如下。

(2)涉及焦點(diǎn)三角形面積,可把|PF1|,|PF2|看作一個整體,運(yùn)用|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|,無須單獨(dú)求解。

與橢圓有關(guān)的二級結(jié)論比較多,由本例(1)、(3)的解答過程可以看出,恰當(dāng)?shù)卣莆?、?yīng)用常用的二級結(jié)論可為我們的解題打開便利之門。

考點(diǎn)2 對直線與橢圓位置關(guān)系的考查

因為直線與橢圓相交于A,B點(diǎn),所以Δ=36m2-4×4(3m2-3)=48-12m2>0,解得-2

(1)橢圓的定義具有雙向作用,若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),則點(diǎn)M的軌跡是橢圓;反之,橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a。

解題思路:首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用Δ>0,求出m的取值范圍,再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于m的方程,從而得解。

例2【2023 年全國新課標(biāo)Ⅱ卷第5題】已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,直線y=x+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍,則m=( )。

如果我們還生活在一百年前的上海灘、一百五十年前的美國西部，或者兩百年前的霧都倫敦，對于大部分人來說，是必須教孩子打回去的。一方面在一個混亂的年代，信奉的是力量至上的原則，整個社會的法則就是如此，因此必須從小讓孩子了解并且適應(yīng)這樣的環(huán)境，才能在以后的生活中有更強(qiáng)的生存能力?！按蚧厝ァ笔沁@種崇尚暴力年代的必修課。

考點(diǎn)解讀:解答直線與橢圓相交的問題,常用到“設(shè)而不求”的方法,即聯(lián)立直線和橢圓的方程,消去y(或x)得到一元二次方程,然后借助根與系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件,建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系求解。利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的,不要忽略方程根的判別式。

考點(diǎn)3 對橢圓的綜合應(yīng)用的考查

橢圓定義在焦點(diǎn)三角形中的應(yīng)用技巧如下。

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(diǎn)(-2,3)的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明:線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。

命題意圖:本例是考查與橢圓有關(guān)的定點(diǎn)問題,考查同學(xué)們邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

解題思路:(1)依題意列式求解a,b,c,進(jìn)而得結(jié)果;(2)設(shè)直線PQ的方程,進(jìn)而可求點(diǎn)M,N的坐標(biāo),結(jié)合韋達(dá)定理驗證為定值即可。

CMV感染是艾滋病患者最常見的皰疹病毒感染，可分為CMV血癥和器官受累的CMV病。CMV可侵犯患者多個器官系統(tǒng)，包括眼睛、肺、消化系統(tǒng)、中樞神經(jīng)系統(tǒng)等，其中CMV視網(wǎng)膜脈絡(luò)膜炎是艾滋病患者最常見的CMV感染。

(2)由題意知,直線PQ的斜率存在,設(shè)PQ:y=k(x+2)+3。

所以線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3)。

截至2016年底，我國已并網(wǎng)發(fā)電的秸稈直燃發(fā)電項目近260個，累計并網(wǎng)裝機(jī)容量約為6400MW。主要分布在山東省、安徽省、黑龍江省、江蘇省、河北省、湖北省、吉林省、河南省、湖南省、山西省。

考點(diǎn)解讀:近年高考命題對圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題考查較多,是近年高考命題的熱點(diǎn),且?？汲Ｐ?試題綜合性較強(qiáng),難度較大。圓錐曲線中定點(diǎn)問題的常用解法:(1)引進(jìn)參數(shù)法,引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動直線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系,找到定點(diǎn);(2)特殊到一般法,根據(jù)動點(diǎn)或動直線的特殊情況探索出定點(diǎn),再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)。圓錐曲線中定值問題的常用解法:(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān);(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值。