栗明平,龔正華

(大理大學(xué)教師教育學(xué)院,云南大理,671003)

一、引言

量感是小學(xué)階段的數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)新課標(biāo))提出,量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知,并提出以下要求:知道度量的意義;對(duì)度量單位能進(jìn)行換算、選擇并理解統(tǒng)一度量單位的必要性;初步感知存在的誤差,能合理得到或估計(jì)度量的結(jié)果。[1]本研究基于新課標(biāo)對(duì)小學(xué)生量感培養(yǎng)的要求,從分析量感特點(diǎn)的角度出發(fā)探尋小學(xué)生量感的培養(yǎng)路徑。

二、量感的特點(diǎn)

(一)直觀性與抽象性的統(tǒng)一

量感的直觀性是指學(xué)生借助度量工具測(cè)量事物的屬性,并達(dá)到對(duì)事物的直觀感知。量感的直觀性包括三個(gè)方面。一是學(xué)生需要借助具體的度量工具對(duì)事物進(jìn)行測(cè)量,完成對(duì)事物的直觀感知,其中被測(cè)事物、度量工具都是可以直接觀察的。二是學(xué)生利用已明確屬性的事物和被測(cè)事物進(jìn)行比較,間接形成對(duì)被測(cè)事物的直觀感知。在缺少度量工具時(shí),采用兩個(gè)事物的同一屬性進(jìn)行比較獲得直觀感知。學(xué)生對(duì)被測(cè)事物形成直觀感知的同時(shí),將其以表象的形式保留在頭腦中,進(jìn)而不斷發(fā)展數(shù)學(xué)眼光。三是度量單位在日常生活表達(dá)中所展現(xiàn)的直觀性。日常生活所使用的度量單位是使用概念,可以逐步發(fā)展成科學(xué)概念,如一堆、一個(gè)、一群等。

量感的抽象性是指量的概念和度量的意義具有高度的抽象性,量要抽去事物各種質(zhì)的外殼,才能達(dá)到對(duì)其本質(zhì)的理解。[2]量感的抽象性使得其不容易被學(xué)生當(dāng)前的感性思維所理解。量感的抽象性主要表現(xiàn)在三個(gè)方面。一是對(duì)物體屬性進(jìn)行表示時(shí)所使用的度量單位以及度量單位的換算是抽象的。二是量的概念、含義是抽象的,例如,教師無(wú)法直觀地回答學(xué)生“什么是量”。三是量感作為一種“感覺(jué)我”,自身是無(wú)法具體呈現(xiàn)的。

(二)客觀誤差性與主觀要求準(zhǔn)確性的統(tǒng)一

量感的誤差性是指在使用度量工具和方法的過(guò)程中引起的誤差。在科學(xué)界,誤差是無(wú)法避免的,甚至誤差是取得相對(duì)絕對(duì)的必要條件。量感的誤差性不是讓學(xué)生追求無(wú)限接近標(biāo)準(zhǔn)值,而是讓學(xué)生理解誤差是客觀存在的。量感的誤差性包括兩個(gè)方面。一是任何度量工具本身都會(huì)有一定的誤差范圍,即用兩個(gè)不同的度量工具去測(cè)量同一事物時(shí),得出的結(jié)果可能相同。二是度量過(guò)程是嚴(yán)格的、不容出錯(cuò)的。運(yùn)用度量方法時(shí),任何一個(gè)步驟出現(xiàn)錯(cuò)誤,即使答案符合標(biāo)準(zhǔn)的范圍,也會(huì)導(dǎo)致誤差。

量感的準(zhǔn)確性是在承認(rèn)客觀存在的誤差后,事物的可測(cè)量屬性能被準(zhǔn)確地表達(dá)與測(cè)量。量感的準(zhǔn)確性主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面。一是學(xué)生能準(zhǔn)確規(guī)范地使用度量工具、度量方法并得出準(zhǔn)確值。二是在人為主觀規(guī)定允許的誤差范圍的基礎(chǔ)上追求估計(jì)結(jié)果或?qū)崪y(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。例如,在測(cè)量課本的長(zhǎng)度并且要求結(jié)果以mm作為單位時(shí),能被允許的誤差僅僅在1mm—2mm之間。而在估量山峰的高度時(shí),能被允許誤差的范圍則是幾百米,需采用估計(jì)的結(jié)果。

(三)同一量感內(nèi)部要有適切性

量感的適切性是指在特定的場(chǎng)合與問(wèn)題情境之下在五個(gè)量感類(lèi)別中選擇合適的量感類(lèi)別,并在同一類(lèi)型的量感中選擇適切的度量單位、度量工具和度量方法。五類(lèi)量感類(lèi)別是空間量感、角度量感、時(shí)間量感、輕重量感、幣值量感。[3]量感類(lèi)別的適切性主要包括三個(gè)方面。一是基于問(wèn)題情境,在五類(lèi)量感類(lèi)別中選擇適切的量感類(lèi)別。例如,在表示鉛筆的價(jià)格時(shí),就要選擇幣值量感。二是基于已選的量感類(lèi)別和實(shí)際情況去選擇適切的度量工具及度量方法。任何一個(gè)物理屬性的測(cè)量,可提供的測(cè)量工具和測(cè)量方法都是多樣的,因此,需要在處于一定的情境的前提下,選擇適合的測(cè)量工具和度量單位解決問(wèn)題。例如,測(cè)量桌子的長(zhǎng)度時(shí),選擇米尺更為合適。三是基于問(wèn)題要求選擇適切的度量單位。在表達(dá)物體的某種可測(cè)量屬性時(shí),不能局限于某一種方式。例如,對(duì)于長(zhǎng)度100厘米的表達(dá),它在同一類(lèi)型的度量單位就有“米”“分米”等。100厘米也可以表示成1米、10分米。它們之間是相互替代的關(guān)系,因此表示出來(lái)的意義是相同的,只是使用的“度量單位”不同。

(四)不同類(lèi)別的量感可以相互轉(zhuǎn)換

量感的轉(zhuǎn)換性以不同類(lèi)別量之間的關(guān)系為基礎(chǔ),用一種或幾種類(lèi)型的量去表示另一個(gè)量。[4]不同量感類(lèi)別轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵在于抓住不同度量單位之間的內(nèi)涵與關(guān)系。由于不同類(lèi)別單位量間的關(guān)系是固定的,在確定了一個(gè)或者幾個(gè)量之后,另一個(gè)量就可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換性表達(dá)。例如,路程、時(shí)間、速度三者間的關(guān)系是標(biāo)準(zhǔn)的,不容更改的。在表示速度時(shí),速度是路程與時(shí)間之比。單位路程內(nèi),測(cè)量時(shí)間可以表示速度,也可以通過(guò)單位時(shí)間內(nèi)測(cè)量路程來(lái)表示速度。在進(jìn)行比較時(shí),利用不同類(lèi)型的量的關(guān)系可以迅速比較,且簡(jiǎn)便易懂。例如,小明花了十分鐘走了1千米,小盼花了二十分鐘走了1千米,求哪位同學(xué)平均速度更快。在確定了路程、平均速度和時(shí)間的關(guān)系之后,就可迅速地求出小明的平均速度更快。

三、量感的培養(yǎng)路徑

(一)立足四類(lèi)生活經(jīng)驗(yàn),幫助學(xué)生理解量感的性質(zhì)

學(xué)齡期兒童的思維形式由具體形象思維向抽象邏輯性思維過(guò)渡。[5]建構(gòu)主義學(xué)生觀強(qiáng)調(diào)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)世界的豐富性和差異性,學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室的,他們?cè)谌粘Ｉ詈鸵酝膶W(xué)習(xí)中形成了豐富的經(jīng)驗(yàn)。[6]在日常生活中,五類(lèi)量感類(lèi)別是學(xué)生切實(shí)感受過(guò)且已司空見(jiàn)慣的,只是沒(méi)有進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)。具身認(rèn)知理論的具身性表達(dá)出思維、認(rèn)知的發(fā)生不僅涉及身體構(gòu)造、神經(jīng)結(jié)構(gòu)、感官和運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)等的參與,還涉及身體的感受、體驗(yàn)、經(jīng)歷等經(jīng)驗(yàn)層面的嵌入。[7]學(xué)生充分利用自己的“身體”,將其作為教學(xué)工具,成為一個(gè)與被測(cè)事物比較的“標(biāo)準(zhǔn)量”。量感的抽象性與學(xué)生的理性思維緊密聯(lián)系。培養(yǎng)學(xué)生對(duì)量感性質(zhì)的理解,關(guān)鍵在于教授學(xué)生將已有經(jīng)驗(yàn)與量感結(jié)合起來(lái)。

一是利用家庭生活的經(jīng)驗(yàn)。小學(xué)生與家長(zhǎng)相處的時(shí)間較長(zhǎng),家長(zhǎng)會(huì)在生活中有意無(wú)意地對(duì)學(xué)生進(jìn)行量感教育。同時(shí)在學(xué)校學(xué)習(xí)的量感知識(shí),也可以在家庭日常生活中達(dá)到鞏固、學(xué)以致用、理論與實(shí)踐相結(jié)合的效果。例如,在講解幣值單位時(shí),把學(xué)生日常購(gòu)買(mǎi)學(xué)習(xí)用品或者零食的經(jīng)驗(yàn)加入教學(xué),“一只鉛筆是一元錢(qián),一個(gè)橡皮五毛錢(qián)”。這就將生活與教學(xué)結(jié)合起來(lái),便于學(xué)生體會(huì)感受量感。在課堂上系統(tǒng)地教授幣值量感后,學(xué)生再進(jìn)行實(shí)踐與揣摩,充分體會(huì)到量感來(lái)自生活并應(yīng)用于生活。二是利用身體的經(jīng)驗(yàn)?？斩吹刂v解間接經(jīng)驗(yàn)不如學(xué)生直觀體驗(yàn)的直接經(jīng)驗(yàn)。例如,在長(zhǎng)度教學(xué)中,學(xué)生可在體驗(yàn)中感受毫米到千米的變化以及它們之間的進(jìn)率。如1毫米約等于手指甲的厚度,1厘米約等于指甲的寬度等。學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象的知識(shí)時(shí),把自己的“身體”引進(jìn)課堂可以獲取直接經(jīng)驗(yàn)。三是要利用教材或者課堂的臨時(shí)經(jīng)驗(yàn)。教材中所提到的“量一量”“按要求畫(huà)線段”“在括號(hào)里填上合適的單位”等可以積累臨時(shí)的經(jīng)驗(yàn),除此之外,課本的問(wèn)題回答的實(shí)踐操作部分也可獲得更多的經(jīng)驗(yàn)。教師可引導(dǎo)學(xué)生將課堂和生活中的經(jīng)驗(yàn)有效結(jié)合,進(jìn)行正遷移學(xué)習(xí)。四是利用教師所營(yíng)造的意境經(jīng)驗(yàn)。教師應(yīng)積累一定的意境輔助學(xué)生量感的學(xué)習(xí)。教師構(gòu)造的意境包括兩種。第一種是通過(guò)語(yǔ)言構(gòu)造意境來(lái)幫助學(xué)生理解生活中所使用的概念。不管在課堂教學(xué)中還是非課堂教學(xué)之中,教師在與學(xué)生進(jìn)行對(duì)話交流時(shí),應(yīng)盡量多采用日常概念的語(yǔ)言。第二種是通過(guò)文字構(gòu)造意境。教師在描述事情或圖畫(huà)時(shí),可利用模糊的日常用語(yǔ)或文學(xué)詞匯進(jìn)行表達(dá),例如,百花齊放,爭(zhēng)相斗艷。

數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具,還是表達(dá)和交流的語(yǔ)言。這個(gè)語(yǔ)言是學(xué)生難以理解的科學(xué)的抽象概念。數(shù)學(xué)的科學(xué)概念是從日常生活經(jīng)驗(yàn)中提煉總結(jié)得來(lái)的。一方面,教師應(yīng)抓住量感的科學(xué)概念生成的過(guò)程,借助上述不斷積累的四類(lèi)經(jīng)驗(yàn)幫助學(xué)生獲得豐富的日常概念,并逐步上升為科學(xué)概念或者抽象概念。例如,提問(wèn)這堆貨物有多少立方米,這一群有多少個(gè)人?！叭骸薄岸选奔礊槿粘８拍?教師利用“立方米”的抽象概念進(jìn)行引導(dǎo),可幫助學(xué)生學(xué)會(huì)使用科學(xué)概念表示日常概念。另一方面,應(yīng)借助上述四類(lèi)經(jīng)驗(yàn)幫助學(xué)生發(fā)展關(guān)于“量”的抽象思維。所有的經(jīng)驗(yàn)都蘊(yùn)含著學(xué)生的高級(jí)思維活動(dòng),學(xué)生可以這些經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),在大腦中不斷地思考其科學(xué)概念與定義。教師可以合生活經(jīng)驗(yàn)中的量為評(píng)價(jià)的載體,并采用持續(xù)性評(píng)價(jià)與形成性評(píng)價(jià)相結(jié)合的方式評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)量的掌握情況。例如,評(píng)判學(xué)生能否正確理解度量單位的含義時(shí),教師可借助各種活動(dòng)、作業(yè)、生活對(duì)學(xué)生表現(xiàn)出來(lái)的量感的抽象性進(jìn)行評(píng)價(jià),在糾錯(cuò)與矯正量感的過(guò)程中,使學(xué)生充分體驗(yàn)量感的抽象性。

(二)反復(fù)實(shí)踐操作感悟量感的誤差客觀性與主觀要求準(zhǔn)確性

量感要求初步感知度量工具和方法引起的誤差,能合理得到或估計(jì)度量的結(jié)果。[1]這類(lèi)估計(jì)需要學(xué)生不斷累積經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在反復(fù)的實(shí)踐操作過(guò)程中,積累眾多的經(jīng)驗(yàn),以達(dá)到量的結(jié)果表述要求。在對(duì)量感結(jié)果表述的培育過(guò)程中,學(xué)生可以基于實(shí)際操作進(jìn)行觀察、調(diào)整、估測(cè)等活動(dòng),以豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)構(gòu)筑量感結(jié)果表述的基石。[8]

學(xué)生可通過(guò)反復(fù)(或利用他人的操作以達(dá)到反復(fù)的效果)實(shí)踐操作了解誤差的客觀性與準(zhǔn)確的主觀性。教師需要明確誤差是無(wú)法避免的,引起誤差的原因也是眾多的,只能確定一個(gè)相對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)值,此值是人為規(guī)定的,可以基于條件進(jìn)行更改。教師進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的度量工具和度量方法教學(xué)時(shí),每一步都應(yīng)嚴(yán)格按照規(guī)定和要求進(jìn)行展示,教授之后,將課堂留給學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作,在此過(guò)程中必須對(duì)學(xué)生的實(shí)踐操作嚴(yán)格要求,并促進(jìn)學(xué)生從動(dòng)作技能學(xué)習(xí)逐步過(guò)渡到心智技能學(xué)習(xí)。學(xué)生采用“標(biāo)準(zhǔn)”的度量工具和“標(biāo)準(zhǔn)”度量方法進(jìn)行多次測(cè)量,得出自己的“標(biāo)準(zhǔn)值”,再與他人進(jìn)行比較,體會(huì)到每次的所得值和他人所得值可能都有所不同,同時(shí)將自己的所得值與公認(rèn)“標(biāo)準(zhǔn)值”進(jìn)行比較。學(xué)生對(duì)反復(fù)操作的所得值的異同進(jìn)行原因分析,充分體驗(yàn)到誤差是無(wú)法避免且必不可少的。

學(xué)生可通過(guò)反復(fù)操作掌握正確估計(jì)的步驟。學(xué)生需理解對(duì)物體的估計(jì)是必要的,只要是在能接受范圍之內(nèi),一切的估計(jì)都是合理的。這需要經(jīng)過(guò)粗略估計(jì)、測(cè)量、近似估計(jì)三個(gè)階段。粗略估計(jì)是指學(xué)生在已有的直觀經(jīng)驗(yàn)或合理想象的基礎(chǔ)上,對(duì)物體的客觀物理屬性進(jìn)行簡(jiǎn)要估計(jì)。測(cè)量是指學(xué)生進(jìn)行粗略估計(jì)后,對(duì)物體的客觀物理量采用準(zhǔn)確的度量工具和度量方法進(jìn)行實(shí)踐測(cè)量。對(duì)于實(shí)際測(cè)量有以下兩種情況。第一種是學(xué)生在無(wú)法進(jìn)行實(shí)測(cè)時(shí)則利用前人的經(jīng)驗(yàn)。例如,估計(jì)珠穆朗瑪峰的高度時(shí),學(xué)生無(wú)法進(jìn)行登頂測(cè)試,就需利用前人知識(shí)進(jìn)行佐證。第二種是學(xué)生能用自己的度量工具進(jìn)行實(shí)際測(cè)量。近似估計(jì)是指在進(jìn)行實(shí)際測(cè)量之后,再對(duì)物體的客觀物理量進(jìn)行一個(gè)近似估計(jì),最終達(dá)到無(wú)限接近正確值。在一次次的實(shí)踐估計(jì)中,學(xué)生檢查在頭腦中建立的單位的表象、度量單位、度量方法是否合適。學(xué)生進(jìn)行估計(jì)時(shí),在明確誤差的必要性后根據(jù)情況進(jìn)行迅速且合理的估計(jì),借此培養(yǎng)量感。

(三)主題式教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)量感類(lèi)別的感知與應(yīng)用

一是利用主題式教學(xué)幫助學(xué)生適切地選擇度量單位。布魯納指出,不論我們選教什么學(xué)科,務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。[9]教師在教學(xué)中需要將知識(shí)組織成一個(gè)結(jié)構(gòu)并教授給學(xué)生。同時(shí),新課標(biāo)也提出主題式學(xué)習(xí)。[1]教師將各個(gè)量感類(lèi)別看作結(jié)構(gòu)并作為一個(gè)專(zhuān)題或主題進(jìn)行教學(xué)。在主題教學(xué)中,首先了解各類(lèi)量感類(lèi)別是用作哪個(gè)領(lǐng)域,其次了解同一類(lèi)型量之間的關(guān)系即進(jìn)率,最后根據(jù)實(shí)際應(yīng)用情況選擇明確的單位及其相關(guān)的度量工具和度量方法。

例如,在《曹沖稱(chēng)象》的故事中進(jìn)行輕重量感的教學(xué)時(shí),可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的主題式教學(xué)設(shè)計(jì)。此設(shè)計(jì)首先明確以輕重量感作為一個(gè)專(zhuān)題,在主題中理解什么問(wèn)題情境下會(huì)使用輕重量感。此設(shè)計(jì)采用了稱(chēng)象的故事,同時(shí)也結(jié)合日常生活事例進(jìn)行說(shuō)明,加深情境印象。在以后的問(wèn)題情境中學(xué)生能進(jìn)行學(xué)習(xí)遷移,并能迅速使用此類(lèi)量感類(lèi)別。其次,充分認(rèn)識(shí)在這一量感類(lèi)型之下的所有的量。在此主題中學(xué)生需要理解克、千克、噸的意義并明確每個(gè)具體單位的實(shí)際情境。教師可利用同一類(lèi)型單位的有限可加性或者頭腦中積累的表象累加進(jìn)行推理,從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)它們之間的進(jìn)率。[10]學(xué)生在生活實(shí)踐中接觸到的單位可直接進(jìn)行表象建立學(xué)習(xí),無(wú)法直接接觸到的大單位則運(yùn)用想象進(jìn)行學(xué)習(xí)。想象學(xué)習(xí)是憑借單位之間的進(jìn)率,加深對(duì)同類(lèi)單位的理解與總結(jié)。例如,10000000克=10000千克=10噸。最后,學(xué)生可利用已學(xué)會(huì)的基本理論知識(shí),針對(duì)物體可測(cè)量的物理量選擇合適的單位與相對(duì)應(yīng)的度量工具。為了滿足不同目的,人們發(fā)明了眾多度量物體的工具。測(cè)量工具雖有其單位的獨(dú)特性,但也有表達(dá)一定物理屬性的共性。例如,有的桿秤的度量單位是千克,有的則是克。在選擇合適的度量工具時(shí),學(xué)生需了解特定問(wèn)題的解決所使用的方法和手段都不是唯一的,需要綜合考慮經(jīng)濟(jì)、場(chǎng)地等各種因素。在教學(xué)中,教師準(zhǔn)備各種度量工具,讓學(xué)生通過(guò)看、摸、用等一系列反復(fù)的操縱充分了解測(cè)量工具和正確使用度量工具的方法,在此過(guò)程中使學(xué)生儲(chǔ)備足夠多的工具的個(gè)性和共性特征。需要注意的是,在對(duì)同一類(lèi)型的量進(jìn)行最終表示時(shí),明確在眾多的度量單位中,每個(gè)同一類(lèi)型的不同度量單位有其獨(dú)特的含義,在不嚴(yán)格糾結(jié)所表示的含義時(shí),它們是相通的。例如,1000個(gè)“1”克和一個(gè)“1”kg,它們?cè)诒硎据p重量感時(shí)都是同樣的質(zhì)量,但在具體的意義上卻有所不同。

二是主題式教學(xué)幫助學(xué)生采取多種方式表達(dá)物體可測(cè)量屬性。學(xué)生在學(xué)習(xí)完所有的量感類(lèi)別后,再進(jìn)行一次大主題的學(xué)習(xí)。一方面是為了讓學(xué)生理解不同類(lèi)型量感運(yùn)用的實(shí)際情境,避免錯(cuò)誤使用量感類(lèi)別。另一方面是為了讓學(xué)生明確量感類(lèi)別之間的關(guān)系以便進(jìn)行轉(zhuǎn)化性表示。在大主題教學(xué)時(shí),教師要幫助學(xué)生掌握每一個(gè)度量單位所表示的意義和使用的情境。同時(shí),掌握幾個(gè)度量單位之間的聯(lián)系,視實(shí)際的情況,將未知量迅速轉(zhuǎn)成另一類(lèi)或者幾類(lèi)量,但需要注意的是,異類(lèi)物理量不能直接進(jìn)行表示,也不能進(jìn)行比較,因?yàn)樗鼈兊亩攘繂挝皇遣煌?代表不同意義,需利用它們的關(guān)系進(jìn)行判斷和計(jì)算。例如,在路程問(wèn)題中,問(wèn)題情境已知總路程為1千米,施工隊(duì)5天能完成,求每天修建的速度是多少。這里就需要利用時(shí)間量感和空間量感的關(guān)系表示速度。

四、結(jié)語(yǔ)

小學(xué)生量感的培養(yǎng)是當(dāng)今核心素養(yǎng)時(shí)代背景下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然之意與必然要求。量感是新課標(biāo)要求學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)觀察世界的一部分。從新課標(biāo)角度出發(fā)分析量感的特點(diǎn)以及量感的培養(yǎng)要求,能尋求量感培養(yǎng)的實(shí)踐路徑,為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)小學(xué)生量感提供保障,為未來(lái)發(fā)展學(xué)生的抽象能力奠定基礎(chǔ),促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。