劉 祎

（宿遷學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 宿遷 223800）

1 引言

機(jī)械臂不僅可以代替人類進(jìn)行強(qiáng)度大、重復(fù)性高、危險(xiǎn)性高的生產(chǎn)活動(dòng)，而且其工作效率、使用成本也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于人力。機(jī)械臂軌跡規(guī)劃是機(jī)械臂控制技術(shù)的核心內(nèi)容之一，軌跡的優(yōu)劣極大地影響其運(yùn)行性能和使用壽命［1］。因此研究機(jī)械臂軌跡規(guī)劃具有重要價(jià)值。

按照規(guī)劃空間的不同，機(jī)械臂軌跡規(guī)劃可以分為關(guān)節(jié)空間和笛卡爾空間2類。關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃是指確定關(guān)節(jié)角與時(shí)間的函數(shù)［2］，其優(yōu)點(diǎn)是可以直接用于電機(jī)控制量設(shè)計(jì)，缺點(diǎn)是難以使末端執(zhí)行器跟蹤設(shè)定軌跡。笛卡爾空間軌跡規(guī)劃是確定末端執(zhí)行器的位姿與時(shí)間的函數(shù)［3］，其優(yōu)點(diǎn)是規(guī)劃效果直觀明了，缺點(diǎn)是需轉(zhuǎn)化到關(guān)節(jié)空間才能進(jìn)行控制，轉(zhuǎn)化過程計(jì)算量較大，且容易出現(xiàn)奇異性和機(jī)械自鎖問題。這里研究的是關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃問題，根據(jù)不同的規(guī)劃要求，關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃分為針對(duì)給定路徑的規(guī)劃和點(diǎn)到點(diǎn)間規(guī)劃。針對(duì)給定路徑的規(guī)劃，是根據(jù)給定的末端路徑規(guī)劃出各關(guān)節(jié)軌跡；點(diǎn)到點(diǎn)間規(guī)劃，是指給定若干個(gè)必經(jīng)點(diǎn)規(guī)劃出各關(guān)節(jié)軌跡［4］，這種機(jī)械臂一般在無障礙物環(huán)境下運(yùn)行，比如垛碼、裝配機(jī)器人等。根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)的不同，一般將機(jī)械臂軌跡規(guī)劃分為時(shí)間最少優(yōu)化、能耗最低優(yōu)化、沖擊最小優(yōu)化等，文獻(xiàn)［5］研究了深海用機(jī)械臂的最小能耗優(yōu)化方法，使用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建了機(jī)械臂能耗模型，使用自適應(yīng)粒子群算法求解了優(yōu)化模型，有效降低了機(jī)械臂能耗。文獻(xiàn)［6］提出了4-3-3-3-4的分段多項(xiàng)式軌跡，分別使用粒子群算法和差分進(jìn)化算法進(jìn)行時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃，粒子群算法優(yōu)化的各關(guān)節(jié)更平滑且時(shí)間最優(yōu)。文獻(xiàn)［7］針對(duì)機(jī)械臂的振動(dòng)和磨損問題，采用5次非均勻B樣條函數(shù)構(gòu)造插值曲線，并使用NSGA-II算法進(jìn)行優(yōu)化，使機(jī)械臂運(yùn)行過程中的沖擊較小。當(dāng)前關(guān)于路徑規(guī)劃的研究，大都更加關(guān)注時(shí)間最優(yōu)而忽略其他性能，對(duì)時(shí)間、能耗和沖擊的綜合優(yōu)化才更加合理。另外，算法的優(yōu)化性能也能夠影響路徑規(guī)劃的優(yōu)劣。

這里針對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡的優(yōu)化問題，設(shè)計(jì)了笛卡爾空間必經(jīng)點(diǎn)，以5次多項(xiàng)式為軌跡基元用于規(guī)劃點(diǎn)與點(diǎn)間的軌跡。以達(dá)到各必經(jīng)點(diǎn)時(shí)間為優(yōu)化對(duì)象，建立了多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，提出了非支配排序高斯粒子群算法的優(yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)行時(shí)間、能耗和沖擊的多方面優(yōu)化。

2 問題描述與建模

2.1 問題描述

這里以PUMA560機(jī)械臂為研究對(duì)象，如圖1所示。該機(jī)械臂具有6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，前3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)用于控制末端執(zhí)行器的位置，后3個(gè)關(guān)節(jié)用于控制末端執(zhí)行器的姿態(tài)，這里針對(duì)末端執(zhí)行器的位置進(jìn)行研究和優(yōu)化，因此只與前3個(gè)關(guān)節(jié)角相關(guān)。

圖1 PUMA560機(jī)械臂Fig.1 PUMA560 Manipulator

根據(jù)任務(wù)需求，設(shè)置PUMA560機(jī)械臂末端執(zhí)行器必須經(jīng)過的3點(diǎn)在笛卡爾空間分布，如圖2所示。圖中點(diǎn)與點(diǎn)之間的軌跡為機(jī)械臂的現(xiàn)行運(yùn)行軌跡，現(xiàn)行軌跡點(diǎn)與點(diǎn)間運(yùn)行時(shí)間均為2s。這里研究內(nèi)容為：在保證末端執(zhí)行器經(jīng)過必經(jīng)點(diǎn)前提下，對(duì)機(jī)械臂運(yùn)行軌跡進(jìn)行優(yōu)化。

圖2 給定的軌跡點(diǎn)Fig.2 Given Trajectory Points

使用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法，基于PUMA560的D-H 模型參數(shù)，得到3個(gè)笛卡爾空間點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)空間點(diǎn)，如表1所示。

表1 相應(yīng)的關(guān)節(jié)空間位置Tab.1 Corresponding Joint Space Positions

這里所研究問題描述為：對(duì)于給定的3個(gè)位置點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之間使用5次多項(xiàng)式作為軌跡基元，第一點(diǎn)為初始位置，初始位置對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為初始時(shí)刻，記為t0。通過對(duì)機(jī)械臂末端到達(dá)第二點(diǎn)和第三點(diǎn)的時(shí)刻t1、t2進(jìn)行優(yōu)化，達(dá)到減小運(yùn)行時(shí)間、節(jié)省能量消耗等目的。第三點(diǎn)為末端位置，末端位置對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為終止時(shí)刻，記為tf，這里的tf=t2

2.2 軌跡基元

這里使用5次多項(xiàng)式作為點(diǎn)與點(diǎn)間的插值軌跡，也即軌跡基元。即關(guān)節(jié)n的關(guān)節(jié)角θn隨時(shí)間t的變化函數(shù)為［8］：

式中：a0～a5—第0次項(xiàng)系數(shù)到第5次項(xiàng)系數(shù)。

將該段軌跡初始時(shí)刻和終止時(shí)刻的位置、速度、加速度等作為約束條件，可以對(duì)式（1）進(jìn)行求解，也即可以確定點(diǎn)與點(diǎn)之間的軌跡。初始時(shí)刻和終止時(shí)刻關(guān)節(jié)角分別記為θ0和θf，初始速度記為v0，終止速度記為vf，初始加速度記為α0，終止加速度記為αf。則得到軌跡基元待定參數(shù)為：

將式（2）得到的系數(shù)代入到式（1）中，即可得到點(diǎn)與點(diǎn)之間的運(yùn)行軌跡。

2.3 問題建模

這里對(duì)機(jī)械臂軌跡規(guī)劃設(shè)定3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，分別為運(yùn)行時(shí)間最短、能量消耗最低、脈動(dòng)沖擊最小。

（1）運(yùn)行時(shí)間最短。根據(jù)2.1 節(jié)的問題描述，機(jī)械臂運(yùn)行時(shí)間為：

式中：T—機(jī)械臂的運(yùn)行時(shí)間；y1—時(shí)間優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

（2）能量消耗最低。機(jī)械臂驅(qū)動(dòng)電機(jī)的能耗模型為：

式中：y2—能耗優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；n—關(guān)節(jié)角編號(hào)；αn(t)—關(guān)節(jié)角n隨時(shí)間變化的加速度函數(shù)。

（3）脈動(dòng)沖擊最小。機(jī)械臂在運(yùn)行過程中的脈動(dòng)沖擊計(jì)算方法為：

式中：y3—脈動(dòng)沖擊優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；

Jn(t)—關(guān)節(jié)角n隨時(shí)間變化的加加速度函數(shù)。

機(jī)械臂軌跡在優(yōu)化過程中，應(yīng)在關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)能力的約束范圍內(nèi)，關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)能力約束包括轉(zhuǎn)動(dòng)角范圍、角速度約束、角加速度約束、角加加速度約束，則多目標(biāo)優(yōu)化模型為：

式中：θn_max—關(guān)節(jié)n的角度極值；Vn_max—關(guān)節(jié)n的速度極值；αn_max—關(guān)節(jié)角n的加速度極值；Jn_max—關(guān)節(jié)角n的加加速度極值。PUMA560機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)能力約束，如表2所示。

表2 PUMA560活動(dòng)能力約束Tab.2 Mobility Constraint of PUMA560

3 多目標(biāo)優(yōu)化模型求解

對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題，一般具有2種處理方法：（1）使用加權(quán)系數(shù)法，將多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)轉(zhuǎn)化為一個(gè)目標(biāo)；（2）使用非支配排序法，得到多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的Pareto解集。第1種方法可以視為第2種情況下的一個(gè)特殊解，因此這里在非支配排序的基礎(chǔ)上，提出了基于非支配排序粒子群算法的多目標(biāo)優(yōu)化方法。

3.1 基于非支配排序的多目標(biāo)優(yōu)化選擇方法

多目標(biāo)優(yōu)化的選擇過程是基于非支配排序和擁擠度實(shí)現(xiàn)的。非支配排序是針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問題提出的排序方法，與傳統(tǒng)排序方法相比，它使用多個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，個(gè)體具有某一指標(biāo)的絕對(duì)優(yōu)勢就說明此個(gè)體可?。?］。具體的講，對(duì)于L個(gè)最小化優(yōu)化問題，若對(duì)于任意一個(gè)目標(biāo)l∈{1，2，…L}都有fl(xA)≤fl(xB)，則稱個(gè)體A支配個(gè)體B。在種群中若某一個(gè)體不被其余任意個(gè)體支配，則此個(gè)體稱為非支配個(gè)體。非支配排序過程為：首先選擇種群中的非支配個(gè)體作為第1層，去除第1層個(gè)體后，其余個(gè)體中的非支配個(gè)體作為第2層，不斷重復(fù)以上過程，直至排序完畢。

擁擠度因子是針對(duì)各層個(gè)體的聚集程度定義的，每一層兩端的個(gè)體擁擠度定義為無窮大，其余個(gè)體的擁擠度大小為：

則多目標(biāo)優(yōu)化的選擇方法為：將更新前后的個(gè)體進(jìn)行混合并分層，首先保留非支配層較小的個(gè)體，當(dāng)選擇到某一支配層個(gè)體種群規(guī)模超出時(shí)，使用擁擠度因子進(jìn)行選擇，保留最后一層擁擠度因子較大的個(gè)體，直至種群規(guī)模維持不變。

3.2 基于高斯粒子群的個(gè)體更新

傳統(tǒng)粒子群算法中，粒子依據(jù)種群信息、個(gè)體經(jīng)驗(yàn)和自身慣性進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，給出粒子更新方法并進(jìn)行缺陷分析［10］，為：

分析式（8）可知，隨著迭代的進(jìn)行，所有粒子在引導(dǎo)作用下向種群最優(yōu)聚集，當(dāng)某一粒子與種群最優(yōu)相似度較大，此時(shí)有由此可以看出，當(dāng)某一粒子與種群最優(yōu)接近時(shí)，粒子只在自身慣性作用下更新，自身經(jīng)驗(yàn)和種群信息將失去牽引作用，粒子群算法幾乎喪失了更新能力。為了解決這一問題，一般使用隨機(jī)產(chǎn)生粒子的方式，但是隨機(jī)產(chǎn)生粒子后，新生粒子適應(yīng)度難以超過種群最優(yōu)，在式（8）作用下又會(huì)再次陷入上述問題。因此，這里提出向種群最優(yōu)的鄰域?qū)W習(xí)，而不是單純的向種群最優(yōu)學(xué)習(xí)。具體方法為：向種群最優(yōu)施加高斯擾動(dòng)，得到其鄰域，使用種群最優(yōu)的鄰域?qū)ζ溆嗔Ｗ舆M(jìn)行引導(dǎo)，即：

高斯擾動(dòng)的幅度依據(jù)算法需要進(jìn)行設(shè)置，算法前期種群最優(yōu)的學(xué)習(xí)價(jià)值較小，且粒子需要大范圍搜索，因此使用較大的標(biāo)準(zhǔn)差；算法后期種群最優(yōu)的學(xué)習(xí)價(jià)值較大，且算法具有收斂的需求，因此使用較小的標(biāo)準(zhǔn)差?；谝陨戏治觯@里將標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置為遞減函數(shù)，為：

式中：σ0—初始標(biāo)準(zhǔn)差，為常值；

Kmax—最大迭代次數(shù)。

3.3 高斯粒子群與粒子群算法對(duì)比

傳統(tǒng)粒子群算法與高斯粒子群算法的粒子速度均由3部分組成，分別為自身慣性、自身經(jīng)驗(yàn)和種群信息，以上3種影響因素分別用矢量u→1、u→2和u→3來代替，則傳統(tǒng)粒子群算法和高斯粒子群算法的粒子更新和多樣性對(duì)比，如圖3所示。粒子群算法向固定的種群最優(yōu)學(xué)習(xí)，而高斯粒子群算法是向種群最優(yōu)的鄰域?qū)W習(xí)，高斯粒子群算法的學(xué)習(xí)范圍更廣，既保留了高效的精英學(xué)習(xí)方式，同時(shí)增加了粒子多樣性，由此可以看出，高斯粒子群算法優(yōu)化深度和優(yōu)化能力好于傳統(tǒng)的粒子群算法。

圖3 兩種粒子群算法速度更新區(qū)域Fig.3 Speed Update Area of the Two PSO

3.4 非支配排序高斯粒子群算法流程

根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)和優(yōu)化參數(shù)，將粒子位置設(shè)置為2 維，即x=(t1，t2)?；诜侵渑判蚋咚沽Ｗ尤核惴ǖ亩嗄繕?biāo)優(yōu)化流程為：

（1）初始化算法參數(shù)，包括粒子規(guī)模、最大迭代次數(shù)Kmax、自身學(xué)習(xí)因子c1、種群學(xué)習(xí)因子c2、運(yùn)動(dòng)慣性w、初始標(biāo)準(zhǔn)差σ0；初始化粒子位置；（2）粒子按照式（9）和式（10）定義的方式進(jìn)行位置更新；（3）將位置更新前后的粒子進(jìn)行混合，并依據(jù)各目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行非支配排序并選擇；（4）k=k+1，判斷k=Kmax？若否則返回（3）；若否則算法結(jié)束，輸出Pareto前沿解。

4 仿真驗(yàn)證與分析

4.1 優(yōu)化結(jié)果

在3.3節(jié)從原理上對(duì)比了高斯粒子群與傳統(tǒng)粒子群算法的優(yōu)劣，也即從原理上保證了高斯粒子群算法的優(yōu)越性，因此不再對(duì)2種算法的優(yōu)化性能進(jìn)行驗(yàn)證，而直接使用高斯粒子群算法進(jìn)行求解。設(shè)置機(jī)械臂的邊界條件為：速度v0=vf=0，加速度α0=αf=0。算法參數(shù)設(shè)置為：粒子規(guī)模為100、最大迭代次數(shù)Kmax=200、自身學(xué)習(xí)因子c1=1.50、種群學(xué)習(xí)因子c2=1.50、運(yùn)動(dòng)慣性w=0.6、初始標(biāo)準(zhǔn)差σ0=0.1 · range，range 表示優(yōu)化維度的取值范圍。使用非支配排序高斯粒子群算法得到的Pareto前沿解，如圖4所示。對(duì)圖4給出的優(yōu)化結(jié)果作以下說明：（1）圖中給出的優(yōu)化結(jié)果只是各關(guān)節(jié)針對(duì)自身目標(biāo)、必經(jīng)點(diǎn)和約束得到的優(yōu)化結(jié)果，機(jī)械臂聯(lián)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)間運(yùn)行時(shí)間按照各關(guān)節(jié)運(yùn)行時(shí)間最大值進(jìn)行確定；（2）Pareto前沿解集給出了不同方案下的優(yōu)化結(jié)果，設(shè)計(jì)者可以按照優(yōu)化需求選擇優(yōu)化方案。由圖3優(yōu)化結(jié)果可以看出，3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)中，脈動(dòng)量與能耗成正相關(guān)關(guān)系，但是脈動(dòng)量和能耗與實(shí)踐成負(fù)相關(guān)，具有一定的制約關(guān)系。

圖4 優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Optimizing Result

4.2 優(yōu)化前后對(duì)比與分析

按照3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)同等重要選擇一組優(yōu)化結(jié)果，即對(duì)3個(gè)優(yōu)化目標(biāo)權(quán)值均設(shè)置為1/3。得到此時(shí)的3個(gè)關(guān)節(jié)優(yōu)化結(jié)果分別為［1.5017，1.9315］，［1.7016，1.9914］，［1.6016，1.9832］。各關(guān)節(jié)點(diǎn)之間按照運(yùn)行時(shí)間最大值進(jìn)行確定，得到整個(gè)機(jī)械臂的運(yùn)行結(jié)果為［1.7016，1.9914］。

前文中提到，圖2所示軌跡為現(xiàn)行軌跡，將優(yōu)化后軌跡與現(xiàn)行軌跡進(jìn)行對(duì)比結(jié)果，如圖5～圖7所示。

圖5 關(guān)節(jié)1優(yōu)化前后對(duì)比Fig.5 Comparison of Joint1 Before and After Optimization

圖6 關(guān)節(jié)2優(yōu)化前后對(duì)比Fig.6 Comparison of Joint2 Before and After Optimization

圖7 關(guān)節(jié)3優(yōu)化前后對(duì)比Fig.7 Comparison of Joint3 Before and After Optimization

由圖5～圖7可以直觀看出，經(jīng)過優(yōu)化機(jī)械臂的運(yùn)行時(shí)間明顯減少，關(guān)節(jié)角速度幅值比優(yōu)化前略大，但是由于優(yōu)化后的運(yùn)行時(shí)間短，因此能耗仍需進(jìn)一步計(jì)算才能比較，無法直觀看出。統(tǒng)計(jì)優(yōu)化前后的運(yùn)行時(shí)間、能耗和沖擊量，如表3所示。

表3 優(yōu)化前后對(duì)比Tab.3 Comparison Before and After Optimization

由表3中數(shù)據(jù)可知，經(jīng)過優(yōu)化，機(jī)械臂軌跡的運(yùn)行時(shí)間、能耗及脈動(dòng)沖擊均有所下降，其中運(yùn)行時(shí)間由4s減為3.6930s，減少了7.68%?？偰芎挠?41.1721 減少為85.7751，減少了39.24%。脈動(dòng)沖擊由200.0528 減少為114.7420，減少了42.64%。由以上數(shù)據(jù)可以看出，經(jīng)過優(yōu)化，機(jī)械臂軌跡的運(yùn)行時(shí)間、能耗和沖擊均有較大的減少，說明了這里優(yōu)化方法的有效性。

5 結(jié)論

這里針對(duì)機(jī)械臂軌跡的多目標(biāo)優(yōu)化問題，提出了非支配排序高斯粒子群優(yōu)化方法。以運(yùn)行時(shí)間、能耗和沖擊為目標(biāo)建立了多目標(biāo)優(yōu)化模型，使用非支配排序高斯粒子群算法求解，得到了優(yōu)化結(jié)果，實(shí)現(xiàn)了效率、能耗、沖擊的減少和優(yōu)化。