周建東

比較是通過將兩類具有相同或相似屬性的事物進行對比，進而分析事物的異同，認識規(guī)律。運用比較的方法，可以防止知識之間的相互干擾，把表面形式相似、容易彼此混淆的知識區(qū)分清楚，加深理解[1]。烏申斯基說過：“比較是一切理解和思維的基礎”[2]。比較是數(shù)學學習的常用方式和手段之一，它能激起學生主動地、深入地、有質(zhì)量地、有指向地研習，促進數(shù)學思維由表及里、由淺入深。數(shù)學教學中，教師要敏銳把握合適時機，引領學生展開比較，讓學生在比較中辯明說清、辨析明義，把握本質(zhì)、入腦入心。

一、在知識生長之處比較——發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，內(nèi)驅(qū)引入

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》也指出，“要關注數(shù)學概念的現(xiàn)實背景，引導學生從數(shù)學概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結構。”[3]教師要在知識生長之處引導學生適時比較，讓學生在強烈的內(nèi)心驅(qū)動下發(fā)現(xiàn)新舊知識存在的關聯(lián)，自然綻放新知。如筆者在教學蘇教版五年級上冊“認識公頃”時，是這樣來展開比較的：

知識點1：我們之前已經(jīng)學習了一些面積單位，你能從小到大有序地說說嗎？

生：……

知識點2：這些面積單位的大小是如何規(guī)定的？

生1：邊長是1 厘米的正方形，面積是1 平方厘米；

生2：邊長是1 分米的正方形，面積是1 平方分米；

生3：邊長是1 米的正方形，面積是1 平方米。

知識點3：觀察平方厘米、平方分米、平方米這三個面積單位，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生4：面積單位通常都是以一個正方形的大小來規(guī)定的；

生5：面積單位跟正方形的邊長有關，邊長越大面積單位越大；

生6：正方形的長度都是10 倍的關系在變大；

生7：我發(fā)現(xiàn)，邊長是多少長度的正方形，面積單位就是1 平方多少。

知識點4：你能根據(jù)剛才的發(fā)現(xiàn)，自己創(chuàng)造一些更大的面積單位嗎？出示圖1：

圖1

邊長是（ ）的正方形，面積是1（ ）。

學生通過比較，思維頓開，在1 平方米的基礎上創(chuàng)造出了更大的面積單位：“邊長是10 米的正方形，面積是1 平方十米”“邊長是100 米的正方形，面積是1 平方百米”“邊長是1000 米的正方形，面積是1 平方千米……”，此時，教師指出：“1 平方百米就是1 公頃，公頃就是今天要學習的新的面積單位?！?/p>

上述教學中，教師緊緊抓住知識生長之處讓學生比較發(fā)現(xiàn)之間的脈絡延展，讓學生自己創(chuàng)造一些更大的面積單位，學生在強烈的學習欲望的驅(qū)動下，自然引入新知“公頃”。

二、在分層探究之后比較——揭示規(guī)律，建立模型

教師要在學生探究的各個環(huán)節(jié)適時引導學生比一比、想一想、說一說，讓知識在比較中破繭而出。如教學蘇教版三年級下冊“求整體的幾分之一”，筆者是這樣來逐步深入組織學生展開比較的：

第一層次：改變數(shù)量之后的比較。探究“一籃蘑菇共6 個，1/3 是黑蘑菇，黑蘑菇有多少個？”，從“這籃蘑菇的1/3 是黑蘑菇”，想到把這籃蘑菇平均分成3 份，黑蘑菇就是1 份，由此產(chǎn)生用圓片代替蘑菇來分一分得到結果，或者用整數(shù)除法“6 ÷ 3”算出一份是幾個的想法。接著把一籃蘑菇的個數(shù)改為9 個，求黑蘑菇的個數(shù)。教師在學生獨立思考、實物操作、分數(shù)理解探究解決問題的基礎上出示圖2 和圖3：

圖2

圖3

同樣是這籃蘑菇的1/3，為什么每份黑蘑菇的個數(shù)不相同呢？此時，學生的思維就聚焦到這籃蘑菇的總個數(shù)上，求黑蘑菇的個數(shù)也就是平均分為若干份后求每份是多少個，每份的個數(shù)與總個數(shù)有關。雖然兩次都是求這籃蘑菇的1/3 是多少個，但由于組成整體的個數(shù)不同，所以整體的1/3 的個數(shù)不同。

第二層次：一份數(shù)的比較。此時，教師又出示圖4 和圖5：

圖4

圖5

現(xiàn)在這籃蘑菇的總個數(shù)都是6 個，為什么每份黑蘑菇的個數(shù)不一樣呢？學生的關注點自然而然就指向平均分的份數(shù)即題中的分數(shù)，雖然整體包含的蘑菇個數(shù)相同，但把整體平均分的份數(shù)不同，所以每份的個數(shù)就不同。

第三層次：整體比較。將上述解決的問題的過程同時用圖6、圖7、圖8出示：

圖6

圖7

圖8

圖9

教師總結：都是求的什么？你有什么體會？學生在比較中概括得出了問題的共同點：都是求一個整體的幾分之一是多少，體會到解決這類問題要抓住題中整體包含的數(shù)量和分數(shù)，關鍵是理解分數(shù)的意義，把整體的數(shù)量平均分成幾份，數(shù)量關系也就顯而易見了。

上述教學中，在分層探究之后，學生有目的、有針對性地進行了三次比較，在比較中發(fā)現(xiàn)求整體的幾分之一的規(guī)律，主動而又深刻地建模，為后續(xù)求整體的幾分之幾打下堅實的基礎。

三、在變式遞進之中比較——體驗過程，感悟深化

變式可以加強學生的數(shù)學技能和思維訓練，引導學生發(fā)現(xiàn)“變”中“不變”的本質(zhì)，同時還可以讓學生探索“不變”中的“變”的規(guī)律，讓學生在變式中觸摸思維的脈搏[4]。如蘇教版六年級上冊“解決問題的策略”，在學生完成練習題“1 張桌子和4 把椅子的總價是2700 元，椅子的單價是桌子的1/5，桌子和椅子的單價各是多少？”后，抓住關鍵信息適時進行了兩次變式比較：

變式一：“椅子的單價是桌子的1/5”還可以怎樣說？（椅子與桌子價格的比是1∶5、桌子的價格是椅子的5 倍。）換成這些說法后，什么變了？什么沒變？（表述兩種量關系的形式變了，但假設的依據(jù)不變、假設后的數(shù)量也不變。）

變式二：“1 張桌子和4 把椅子的總價是2700 元”變式為“王叔叔帶了3000 元，買了1 張桌子和4 把椅子后，還剩300 元”，怎么解決？“王叔叔帶了2400 元去買1 張桌子和4 把椅子，還差300 元”，又該怎么解決？這樣改編后，什么變了？什么沒變？（總量沒有變，數(shù)量關系不變。）上述變式比較中，緊扣假設的依據(jù)、假設的數(shù)量關系，將假設策略的運用不斷向深處探尋。

教師要找準脈絡、掐準“穴位”，在變式中即時組織學生展開深入比較，讓學生在比較中明晰運用假設策略解決實際問題的題型結構，確定解題思路，感受假設的策略對于解決特定問題的價值，增強解決問題的策略意識，進一步發(fā)展分析、綜合的推理能力。

四、在混淆出錯之時比較——突出重點，指向本質(zhì)

對一些相似或相近的數(shù)學知識，學生或是依葫蘆畫瓢照搬照用，或是審題不清分析草率，經(jīng)常會出現(xiàn)混淆。教師要在學生混淆出錯之時，指引學生采用多種方法進行比較，找到錯誤癥結，規(guī)整思路，主動尋求正確的方法。如以蘇教版六年級上冊“列方程解稍復雜的百分數(shù)應用題”為例。筆者在教學中，有針對性地出示一組典型題“建造一座污水處理池實際投資比原計劃節(jié)約10%，1.節(jié)約了4.8 萬元，原計劃投資多少萬元？2.實際投資43.2 萬元，原計劃投資多少萬元？3.建造一座污水處理池實際投資是原計劃的90%，實際節(jié)約了4.8 萬元，原計劃投資多少萬元？”讓學生自主解答。在反饋交流中，對第一小題用“解：設原計劃投資x 元。x- 10%x= 4.8”。錯誤方法解答的學生人數(shù)果然不少。此時，筆者讓學生先將兩小題仔細比較，再將第一和第三小題比較，可以讀一讀、圈一圈、畫一畫、說一說等，從題目本身和解題思路兩方面比較之后再來辨析下定論。學生用自己的方法進行了兩次細致地比較，發(fā)現(xiàn)錯誤的癥結在于沒有抓住題中的已知量理解意思，并根據(jù)題意從已知量出發(fā)分析等量關系，已知量表示的意思相同，但等量關系不一定相同。教師在學生比較交流反饋之時，相機出示圖示，從理解題意、畫線段圖、分析等量關系等方面比較。

上述教學中，教師著力于混淆出錯處濃墨重彩引導學生用多種方法比較，在比較中突出重點，化解難點，條分縷析、明白透徹，指向本質(zhì)、提升思維[3]。

五、在思維定式之際比較——豐富提升，融會貫通

在學生的學習中，知識遷移是一種重要的學習方法[4]。但也因為新舊知識的遷移，學生容易產(chǎn)生思維定式，對學習新知識產(chǎn)生零遷移甚至是負遷移，造成新盲點。如果沒有厘清這些新盲點，學生容易對新知識，甚至是對原本的舊知識產(chǎn)生模棱兩可的認知。此時，教師如能在知識的新盲點上巧用比較策略，通過對比幫助學生掃清知識的盲點，將有助于他們建立起清晰的知識體系，為提高思維的靈活性奠定扎實的基礎[5]。

如在教學蘇教版六年級上冊“比例尺”時，例題及隨后練習呈現(xiàn)的均是縮小比例尺，易于使學生造成思維定式，簡單地認為，所有比例尺化簡后的前項都為“1”。于是在學完縮小比例尺后，筆者出示了“一個精密零件長2 毫米，把它繪在圖紙上長10 厘米，求這幅圖的比例尺”一題。絕大部分學生認為結果是1∶50。筆者以錯誤結果為資源，讓學生說說對1：50 的理解：“圖上1 厘米，表示實際50 厘米；圖上距離是實際距離的1/50；實際距離是圖上距離的50 倍?！惫P者追問：“這個比例尺符合實際情況嗎？題中的圖上距離與實際距離比較哪個大呢？它是圖形的縮小還是放大呢？”而后，再讓學生結合比例尺的意義去審題、去理解：題中的圖上距離應是實際距離的50 倍，原來是受縮小比例尺的思維定式影響，習慣性地認為比例尺的前項通常為1，混淆、顛倒了題中的圖上距離和實際距離，本題是一個放大比例尺，結果應為50∶1。至此，再讓學生深入比較兩種比例尺的聯(lián)系和區(qū)別，在追根究底中使學生理解到都是根據(jù)比例尺的意義——用圖上距離∶實際距離，關鍵是要正確審題，搞清題中的圖上距離和實際距離；同時，它們又有區(qū)別：縮小比例尺的比值都小于“1”，而放大比例尺的比值都大于“1”。

學生在比較中巧妙地化解了思維定式的負遷移，有效地提升了思維層次，深刻地把握了知識的實質(zhì)。

六、在回顧反思之間比較——完備建構，優(yōu)化思路

教師要引導學生在回顧反思中比較，可以把相同的知識點放在一起進行比較，那么就可以更好地激發(fā)學生的數(shù)學前經(jīng)驗，喚醒以前的知識結構，并把新的知識結構融入舊的知識結構之中，形成一種全新的完備知識結構。如筆者在教學蘇教版六年級上冊“解決問題的策略”時，在引入、揭示和感受假設策略之后，引導學生在兩個層次的回顧反思中比較。

第一層次：回顧例題的解題過程，是怎樣假設的？這些假設具有什么共同特征？假設在解決這道例題時起到什么作用？讓學生初步體會到假設是解決問題的一種策略。

第二層次：回顧以往的數(shù)學學習，曾運用假設的策略解決過哪些問題？

生1：計算除數(shù)是兩位數(shù)的除法，把除數(shù)當作整十數(shù)試商；

生2：估算時把接近整百或整十的數(shù)看作整百數(shù)或整十數(shù)，估算出大致的結果；

生3：已知兩個數(shù)的和與差，假設兩個數(shù)同樣多，分別求出這兩個數(shù)；

生4：在列方程解決實際問題時，設未知數(shù)時用到了假設策略；

……

教師引導比較：“這些運用假設的策略解決問題的過程有什么共同點？”“假設策略對解決這些特定問題具有什么價值？”“以后再遇到一個復雜或者陌生問題時，你會怎樣想呢？”學生在比較中直指學習目標，發(fā)現(xiàn)假設策略是一種重要且常用的解決問題的策略，可以運用在不同的地方，假設策略的表現(xiàn)形式靈活多樣，既可以用圖形來表達，也能用線段表達，還能在計算中表達。這些解決問題的過程，實際上都是通過假設把復雜問題轉化為簡單問題的過程。

學生在兩個層次的回顧反思比較中，充分體驗和感受了假設策略的價值，增進了策略運用意識，豐富完備了假設策略的建構，優(yōu)化了解決問題的思路，提升了思維力和學習力。

數(shù)學會因為比較而深刻，因為比較而豐富。比較是推動學生的數(shù)學學習走向?qū)嵸|(zhì)、走向深入、走向智慧的方法[6]?？傊?，在課堂教學中，教師要善于捕捉良機，引導鼓勵學生學會比較、主動比較、善于比較，在比較中學習，在比較中提升。