劉曉燕

?江蘇省蘇州市吳中區(qū)城西中學(xué)

在初中代數(shù)中,換元法是一種能夠靈活運用、十分重要且有效的解題方法.換元法,即變量替換,是把某個代數(shù)式看成一個新的未知數(shù)(元)來實施替換,其本質(zhì)還是轉(zhuǎn)化.通過這種轉(zhuǎn)化能夠達(dá)到“化繁為簡、化難為易、化陌生為熟悉、事半功倍”的效果[1].換元法被廣泛地應(yīng)用于解方程(組)、因式分解、代數(shù)式變形、化簡求值、等式證明等各類數(shù)學(xué)問題的解答之中,現(xiàn)針對其常見的解題思路與方法作如下探討.

1 代數(shù)式變形后換元

在初中數(shù)學(xué)中,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了方程(組)的最基本的解法,而換元法是其中最方便、快捷且最具優(yōu)越性的一種解法.它能夠把高次降為低次、無理式化為有理式、分式化為整式,將復(fù)雜的方程化為簡單的、最基本的方程,從而使方程(組)順利得解.運用換元法解方程(組),關(guān)鍵是觀察分析出能夠換元的整式或分式,有時需要對方程(組)進(jìn)行整理變形(如因式分解、配方、添拆項等)才能觀察出如何換元[2].

例1解方程:(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0.

解：把原方程變形為(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15=0.

設(shè)y=x2+8x+11,則原方程為(y-4)(y+4)+15=0,即y2-1=0,解得y1=1,或y2=-1.

所以得到方程x2+8x+11=1,或x2+8x+11=-1.

思路與方法：本題如果按照常規(guī)解題思路,即先把左邊的括號全部展開,然后再分解,運算非常繁瑣.所以需要換個思路,嘗試將左邊的四個因式分成兩組,變成[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]+15=0的形式,分別利用整式的乘法展開,再設(shè)輔助變量,用換元法求解.

由 [①2-②]÷2,得uv=2.

所以u,v可以看作是方程z2-3z+2=0的兩根.因此可得u=1,v=2;或u=2,v=1.

還原得關(guān)于x,y的方程組

由此易得原方程組的解為

經(jīng)檢驗知,以上四組解都是原方程組的解.

2 利用原代數(shù)式換元

在因式分解時,將相同的代數(shù)式換元是最常用的方法.當(dāng)題目中多處出現(xiàn)相同的代數(shù)式時,可以把這個代數(shù)式設(shè)為一個字母(例如a),從而把整個代數(shù)式變?yōu)殛P(guān)于a的代數(shù)式.

例3分解因式:(x2-4x)2-2(x2-4x)-15.

解：設(shè)x2-4x=a,則

(x2-4x)2-2(x2-4x)-15

=a2-2a-15

=(a-5)(a+3)

=(x2-4x-5)(x2-4x+3)

=(x-5)(x+1)(x-3)(x-1).

思路與方法：通過觀察發(fā)現(xiàn),原代數(shù)式中x2-4x出現(xiàn)了多次,將它設(shè)為另一個字母后,既可以做到“設(shè)元務(wù)盡”(不再出現(xiàn)x),又便于繼續(xù)分解.

例4分解因式:(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)+a(a-b+c)(a+b-c)+b(a+b-c)(-a+b+c)+c(-a+b+c)(a-b+c).

解：設(shè)x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,則

思路與方法：憑經(jīng)驗可知,本題如果用整式的乘法展開、整理將會十分繁瑣,需另想辦法.通過對原式的觀察發(fā)現(xiàn),如果利用原代數(shù)式換元,設(shè)x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,那么x+y+z=a+b+c,y+z=2a,z+x=2b,x+y=2c,再進(jìn)行代換就會使原式大為簡化.從本題的解題過程中,我們可以再次感受到換元法“以一當(dāng)多、便于觀察、簡化運算、開闊思路”的巨大優(yōu)越性.

3 引進(jìn)輔助元素?fù)Q元

代數(shù)式的恒等變形是解決有關(guān)代數(shù)式問題的重要手段,當(dāng)代數(shù)式的形式較復(fù)雜時,可以嘗試運用換元法,通過引進(jìn)輔助元素使其形式變得簡單.

思路與方法：針對題設(shè)條件中的連等,引入輔助變量,將三個變量集中在一個變量上,從而簡化了運算過程.

思路與方法：顯然,本題如果按照去分母、計算、化簡,由左邊推出右邊的常規(guī)方法來證明,將非常困難.但采用引進(jìn)輔助元素代換的方法,不僅簡化了書寫,而且更容易發(fā)現(xiàn)各量之間的隱含關(guān)系,分子與分母不斷分解,最終達(dá)到簡化證明過程的目的.

4 結(jié)論

從上述典型例題的思路與方法的分析中可以看出,運用換元法解題具有很強的實用性和靈活性.利用換元法引入輔助元素時,需要根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)、特點靈活加以運用,只有引元恰當(dāng)才能使運算過程得到簡化;有些問題要經(jīng)過適當(dāng)?shù)恼?、變?才便于換元時進(jìn)一步利用條件中的隱含關(guān)系.